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【解析版】天津市耀华中学2013届高三第一次月考 理科数学试题


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【解析版】天津市耀华中学 2013 届高三第一次月考 理科数 学试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 l20 分钟。 第 I 卷(选择题共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题的

4 个选项中,只有一项 是符合题目要求的,请将答案涂在答题卡上。 1、i 是虚数单位,复数 A、i 【答案】A
(3 + 2 i )( 2 ? 3 i ) 1 3i = ? ? i ( 13 2 ? 3 i ( 2 ? 3 i) 2 ? 3 i ) 【解析】 ,选 A.
3+2i

3+2i 2 -3 i

等于 D、12+13i

B、-i

C、12-13i

2、下列命题中是假命题的是 A、 ? x ? (0 ,
?
2 ), x > s in x

B、 ? x 0 ? R , sin x 0 + cos x 0 = 2 D、 ? x 0 ? R , lg x 0 = 0

C、 ? x ? R ,3 x > 0 【答案】B
s in x 0 + c o s x 0 =

【解析】因为

2 s in x 0 ? (

?
4

)?

2

,所以 B 错误,选 B.

3、在下列区间中,函数 f ( x )= e x + 4 x ? 3 的零点所在的区间为 A、 (
1 4

,0)

B、 (0,

1 4



C、 (

1 4



1 2



D、 (

1 2



3 4



【答案】C 【解析】
1 4
( 1 1 , ) ,选 C. 4 2 a b >1 ”是“ a > b > 0 ”的
1 1 1 4 ) =e 4 ? 2 =e 4 ? 1 6 ?

f(


0

f(

1 2

1

)= e 2 ? 1=

e ?1 ? 0

,所以函数的零点在

4、设 a,b ? R,那么“ A、充分不必要条件 C、充要条件 【答案】B
第 1 页 共 12 页

B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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a >1

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?b ? 0 ?b ? 0 ? ? a ? b a ? b ,即 b (a ?b ) ?0 ,得 ? 或? ,即 a ? b ? 0

a

?1 ?

a?b b

? 0

【解析】由 b

得, b
a >1

或 a ? b ? 0 ,所以“ b

”是“ a > b > 0 ”的必要不充分条件,选 B.
?
3

5、把函数 y = sin x (x ? R ) 的图象上所有的点向左平行移动 所有点的横坐标缩短到原来的 A、 y = s in ( 2 x C、 y = s in ( 2 x + 【答案】C
?
3 ), x ? R ), x ? R 1 2

个单位长度,再把所得图象上

倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数是 B、 y = s in (
x 2 +

?
6

), x ? R 2? 3 ), x ? R

?
3

D、 y = s in ( 2 x +

【解析】把函数 y = sin x ( x ? R ) 的图象上所有的点向左平行移动 ? 个单位长度,得到函数
3

y ? s in ( x ?

?
3

) ,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 倍(纵坐标不变),得到函 2

数 y ? s in ( 2 x ?

?
3

) ,所以选 C.

6、已知函数 f ( x )= x 2 ? cos x ,则 f (0.6), f (0), f (-0.5) 的大小关系是 A、 f (0)< f (0.6)< f (-0.5) C、 f (0.6)< f (-0.5)< f (0) 【答案】B 【解析】因为函数 当 0? x?
?
f ( x )= x ? cos x
2

B、 f (0)< f (-0.5)< f (0.6) D、 f (-0.5)< f (0)< f (0.6)

为偶函数,所以 f ( ? 0.5) ? f (0.5) , f ' ( x )=2 x ? sin x ,
? 0 ? x ? 递增,所以有 s i?n x , 所 以 函 数 在 0 2

时 , f '( x = 2? ) x 2

f (0)< f (0.5)< f (0.6) ,即 f (0)< f ( ? 0.5)< f (0.6) ,选 B.

7、在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,a= 3 ,b= 2 ,且 1+2cos(B+C)=0, 则 BC 边上的高等于 A、 3 -1 【答案】D
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B、 3 +1

C、

3 -1 2

D、

3 +1 2

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1 2

【解析】由 1 ? 2 cos( B ? C ) ? 0 ,得 1 ? 2 c o s A ? 0 , c o s A ?
3 2

,所以 A ?

?
3

。有正弦定理



a s in A

?

b s in B

, 即
s in

?
3

?

得 s in B , sin B ?

2 2

, 因为 b ? a , 所以 B ? A , B ? 即

?
4



由余弦定理得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2 b cc o s A 得 3 ? 2 ? c 2 ?
2 ? 2 6

2 2 c ,即 c ?

2 c ? 1 ? 0 ,解得
3

c ?

,所以 BC 边上的高为 h ? c s in B ?

2 ? 2

6

?

2 2

?

1? 2

,选 D.

8、定义域为 R 的函数 f ( x ) 满足 f ( x + 2)= 2 f ( x ) ,当 x ? [0,2)时,
? x - x , x ? [ 0 ,1) t 1 f ( x )= ? 若 x ? [-4,-2] 时, f ( x ) ? - 恒成立,则实数 t 的取值范围是 |x -1 .5 | 4 2t , x ? [1,2 ) ? -( 0 .5 )
2

A、[-2,0) ? (0,l) B、[-2,0) ? [l,+∞) C、[-2,l] 【答案】D

D、( -? ,-2] ? (0,l]

f ( x ? 2) ? f ( x ? 4) 【解析】当 x ? [-4,-2] ,则 x ? 4 ? [0 ,2 ] ,所以 f ( x ) ? 2 4

1

1

?1 2 [( x ? 4 ) ? ( x ? 4 )], x ? [ ? 4 , ? 3) ?4 ? =? ? ? 1 ( 0 .5 ) x ? 4 ? 1 .5 , x ? [ ? 3, ? 2 ) ? 4 ?

?1 2 ( x ? 7 x ? 1 2 ), x ? [ ? 4 , ? 3) ?4 ? =? ,当 x ? [?4, ?3] ? ? 1 ( 0 .5 ) x ? 2 .5 , x ? [ ? 3, ? 2 ) ? 4 ?
7 2 ) ?
2

时, f ( x ) =

1 4

( x ? 7 x ? 12) ?
2

1 4

[( x ?

1 4

] 的对称轴为 x = ?
1 4 ( 0 .5 )
x ? 2 .5

7 2

,当 x ? [ ?4, ?3] 时,

最小值为 f ( ? 小值为 ?
1 4
t 4 1 2t 1 4

7 2

)= ?

1 16

,当 x ? [ ? 3 , ? 2 ) , f ( x ) = ?

,当 x ? ? 2 .5 时,最小,最
1 4

,所以当 x ? [ - 4 , - 2 ]时,函数 f ( x ) 的最小值为 ? ,即
? 0

,即 ?

1 4

?

t 4

?

1 2t

,所以

t ?t?2
2

?

?

t

?t ? 0 ?t ? 0 或? 2 ,解 ? 0 ,所以不等式等价于 ? 2 ?t ? t ? 2 ? 0 ?t ? t ? 2 ? 0

得 0 ? t ? 1 或 t ? ? 2 ,即 t 的取值范围是 ( ?? , ? 2] ? (0,1] ,选 D. 第 II 卷 (非选择题共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。请将答案填写在答题纸上. 9、计算 ? ( 2 x + e x ) d x =
-1 1



【答案】 e ?

1 e

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【解析】 ? -1
1 x ( 2 x + e )d x ? ( x ? e )

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1 ?1

2

x

=1 ? e ? 1 ?

1 e

? e?

1 e

10 、 设 集 合 是
B = { y |y = 5 x+2

A={ a | f ( x )= 8 x 3 ? 3 ax 2 + 6 x 是 (0 , +∞) 上 的 增 函 数 } , ;

, x ? [-1,3 ]} ,则 ?R ( A ? B ) =

【答案】 ( ?? ,1) ? (4, ?? )
' 【 解 析 】 f ( x = 2 ? ) 4 x
2

?6 x, 要 使 函 数 在 ( 0 ?,? a 6
1 x ,因为 5 = x? , x+2

) 上 是 增 函 数 , 则
? 2 4x? 1 x ? 4

f ( '

x = 2 ? ) 4 x
2

? x ? 6 6 a

0 恒成立,即

a ? 4x ?

4x ?

1 x

,所以

a ? 4 ,即集合

A ? { a a? 4 }

B = {y y|

.集合

[ -1, 3 ] } ? { y 1? x ? 5 }

,所以

A ? B ?{ x 1 ? x ? 4 }

,所以

?R ( A ? B )= ( ?? ,1) ? (4, ?? )

.

11、函数 f ( x )= A sin ( ? x + ? )( A , ? , ? 为常数,A>0, ? >0)的部分图象如图所示,则 f(0)的

值是



【答案】

6 2

【解析】由图象可知 A ? 所以函数
f ( x )=

2,

T 4

?

7? 12

?

?
3 12

?

?
4

,所以 T ? ? ,又 T ?
7? ? + )= 2 ? 12 3

2?

?
sin (

? ? ,所以 ? ? 2 , 7? + )= ? 2 ? 6

2 sin (2 x + ? )

,由 f ( 7 ? )= 2 sin (2



得 s in ( 7 ? + ? )= ? 1 , 所 以 7 ? + ? = 3 ? ? 2 k ? , k ? Z , 即 ? = ? ? 2 k ? , k ? Z , 所 以
6
f ( x) =

6

2

? 2 s i n ( 2 x + ,) f ( 0 )= 3

2 s in

?
3

?

2?

3 2

?

6 。 2

12、已知 a>0,且 a ? 1,若函数 f ( x )= a lg (x
第 4 页 共 12 页

2

-2 x + 3)

有最大值,则不筹式 lo g a ( x 2 -5 x + 7 )> 0 的

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解集为 【答案】 (2, 3) ;

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【解析】所以 x 2 ? 2 x ? 3 ? ( x ? 1) 2 ? 2 ? 2 有最小值 2, lg( x 2 ? 2 x ? 3) ? lg 2 ,要使函数
f (x) 有 最 大 值 , 则 指 数 函 数 单 调 递 减 , 则 有 0 ? a ? 1 , 由
2

l o g ( x - 5 x+ 7 ) > 0 a

2



0 ? x ? 5x+7 ? 1
2

? ,即 ? 0 ? x ? 5 x + 7 ,解得 2 ? x ? 3 ,即不等式的解集为。 ? 2 ? x ? 5x+7 ? 1 ?

13、在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,若 a 2 + b 2 = 2012 c 2 ,则
ta n A ?ta n B ta n C ( ta n A + ta n B )

的值为



【答案】

2011 2

s in A s in B ta n A ?ta n B ta n C ( ta n A + ta n B ) ? cos A cos B s in A s in B ( ? ) cos C cos A cos B s in C

【解析】
s in A s in B ? s in C cos C
= ab c
2 2 2

?

s in A s in B c o s C s in A s in B c o s C cos A cos B = = 2 s in A c o s B ? c o s A s in B s in C s in A ? B) ( s in C cos A cos B
2

?

a ?b ?c 2ab

?

2012c ? c
2

2

2c
2

2

?
1 2

2011 2



14、若关于 x 的不等式 x + 数 ? 的取值范围是 【答案】 ( ?? , ? 1] 【解析】 x +
( 1 2 )
n m ax 2

1 2

x?(

) ? 0 对任意 n ? N 在 x ? (- ? , ? ] 上恒成立,则实 常
n

*



1 2

x?(

1 2

) ? 0 得 x +
n 2 2

1 2

x ? (

1 2

) ,即 x +

n

2

1 2

x ? (

1 2

)

n m ax

恒成立。因为
1 2 x 1 4 1 4

? 1 2

1 2

, 即 x +
1 4 ) ?
2

1 2 1

x ?

1 2

2 在 ( ? ? ,? ] 恒 成 立 , 令 y ? x +

, 则 时,函

y ? x +
2

x ?( x ?

,二次函数开口向上,且对称轴为 x = ?
2

1 4

。当 x ? ?

16 1 2

数单调递减,要使不等式恒成立,则有 ? +

? ?

1 2

,解得 ? ? ? 1 。当 x ? ?

,左边的最

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小值在 x = ?
1 4

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1 16 ? 1 8 ? ? 1 6

处取得, 此时 x +

2

1 2

x ?

, 不成立, 综上 ? 的取值范围是 ? ? ? 1 ,

即 ( ?? , ? 1] 。 三、解答题;本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤。 15、 (本小题满分 13 分,已知函数 f ( x )= 3 s in ( 2 x (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)求使函数 f ( x ) 取得最大值的 x 集合; (3)若 ? ? ( 0 ,
?
2 ) ,且 f ( ? )= 5 3

?
6

)+ 2 s in ( x -

2

?
12

)( x ? R )

,求 cos 4? 的值。

16、(本小题满分 13 分)口袋中有大小、质地均相同的 9 个球,4 个红球,5 个黑球,现在从 中任取 4 个球。 (1)求取出的球颜色相同的概率; (2)若取出的红球数设为 ? ,求随机变量 ? 的分布列和数学期望。

17、(本小题满分 13 分)在△ABC 中,A,C 为锐角,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c, 且 cos 2 A =
3 5 10 10

, s in C =



(1)求 co s ( A + C ) 的值; (2)若 a - c = 2 -1 ,求 a,b,c 的值; (3)已知 tan ( ? + A + C )=2 ,求
1 2 s in ? c o s ? + c o s ?
2

的值。

18、 (本小题满分 13 分)在如图所示的多面体中, ? 平 EF 面 AEB,AE ? EB,AD//EF, EF//BC.BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G 为 BC 的中点。 (1)求证:AB//平面 DEG; (2)求证:BD ? EG;
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(3)求二面角 C—DF—E 的正弦值。

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19、(本小题满分 14 分)设函数 f ( x )= a ( x -

1 x

)- ln x

(1)当 a=1 时,求曲线 y = f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若函数 f ( x ) 在其定义域内为增函数,求实数 a 的取值范围; (3)设函数 g ( x )= 范围。
e x

,若在[l,e]上至少存在一点 x 0 使 f ( x 0 ) ? g ( x 0 ) 成立,求实数 a 的取值

20、(本小题满分 14 分)设函数 f ( x )= x 2 + b ln ( x +1) ,其中 b≠0。 (1)当 b>
1 2

时,判断函数 f ( x ) 在定义域上的单调性;

(2)求函数 f ( x ) 的极值点; (3)证明对任意的正整数 n,不等式 ln (
1 n +1)> 1 n
2

-

1 n
3

都成立。

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