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【2015届备考】2014全国名校数学试题分类解析汇编(12月第一期):G8多面体与球]


G8

多面体与球

【数学理卷·2015 届河北省衡水中学高三上学期期中考试(201411) 】11、四面体 ABCD 的 四个顶点都在球 O 的表面上, AB ? 平面 ABCD , ? BCD是边长为 3 的等边三角形,若

AB ? 2 ,则球 O 的表面积为(
A. 4? B. 12?

) C. 16? D. 32?

【知识点】几何体的体积与表面积.G8 【答案】 【解析】C 面 BCD, △BCD 是边长为 3 的等边三角形. ∴Rt△ABC≌Rt△ABD,△ACD 是等腰三角形, △BCD 的 中 心 为 G , 作 OG∥AB 交 AB 的 中 垂 线 HO 于 O , O 为 外 接 球 的 中 心 , 解析:解:取 CD 的中点 E,连结 AE,BE,∵在四面体 ABCD 中,AB⊥平

3 3 ?1 ? BE ? , BG ? 3, R ? BG 2 ? ? AB ? ? 3 ? 1 ? 2 . 2 ?2 ?
四面体 ABCD 外接球的表面积为:4π R =16π . 故选:C. 【思路点拨】取 CD 的中点 E,连结 AE,BE,作出外接球的球心,求出半径,即可求出表面积
2

2

2015 届湖南省浏阳一中、 【数学文卷· 攸县一中、 醴陵一中三校高三联考 (201411) 】 19. (本 小 题 满 分 12 分 ) 如 图 , 在 四 棱 锥

P ? ABCD





?ABC ? ?ACD ? 90? , ?BAC ? ?CAD ? 60? ,
PA ? 平面 ABCD , E 为 PD 的中点, PA ? 2 AB ? 2 .

(I ) 求证: CE ∥平面 PAB ;

( II ) 求四面体 PACE 的体积. 【知识点】直线与平面平行;几何体的体积. G4,G8

1 V? S 3 【答案】 【解析】(I)略(II)

PAC

1 2 3 ? h ? ? 2? 3 ? 3 3 解析:1)法一:

取 AD

得中点 M,连接 EM,CM.则 EM//PA

因为 EM ? 平面PAB, PA ? 平面PAB, 所以, EM / /平面PAB (2 分)

在 Rt ACD 中, ?CAD ? 60?, CM ? AM 所以, ?ACM ? 60? 而 ?BAC ? 60? ,所以,MC//AB. (3 分)

因为 MC ? 平面PAB, AB ? 平面PAB, 所以, MC / /平面PAB 又因为 EM (4 分)

MC ? M

所以, 平面EMC / /平面PAB 因为 EC ? 平面EMC, 所以,EC / /平面PAB (6 分)

法二:

延长 DC,AB,交于 N 点,连接 PN.

因为 ?NAC ? ?DAC ? 60?, AC ? CD 所以,C 为 ND 的中点. (3 分)

因为 E 为 PD 的中点,所以,EC//PN 因为 EC ? 平面PAB, PN ? 平面PAB,

所以,EC / /平面PAB

(6 分) (7 分)

2)法一:由已知条件有;AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD= 2 3 因为, PA ? 平面ABCD ,所以, PA ? CD 又因为 CD ? AC , AC

(8 分) (10 分)

PA ? A ,所以, CD ? 平面PAC

因为 E 是 PD 的中点,所以点 E 平面 PAC 的距离 h ? 所以,四面体 PACE 的体积 V ?

1 CD ? 3 , 2

S

PAC

?

1 ? 2? 2 ? 2 2

1 S 3

PAC

1 2 3 ? h ? ? 2? 3 ? 3 3

(12 分)

【思路点拨】由题意可直接证明直线与平面平行,再根据几何体的体积公式求出四面体的体 积.


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