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(课件):高三数学第10章第七节


第七节

事件的独立性及二项分布

第 七 节 事 件 的 独 立 性 及 二 项 分 布

双基研习·面对高考

考点探究·挑战高考

考向瞭望·把脉高考

双基研习·面对高考

基础梳理

1.条件概率 一般地,A

、B为两个事件,且P(A)>0,称P(B|A)=

P?AB? . ________为在事件A发生的条件下,事件B发生的条 P?A?

件概率,一般把P(B|A)读作A发生的条件下B的概 率. 古典概型中,若用n(A)表示事件A中基本事件的个
n?AB? 数,则P(B|A)=_________. n?A?

2.事件的独立性 设A、B为两个事件,如果P(B|A)=______,则 P(B) 称事件A与事件B相互独立,并把A,B这两个事 件叫做相互独立事件. 3.独立重复试验 一般地,由n次试验构成,且每次试验相互独立 完成,每次试验的结果仅有两种对立的状态,即 A与____,每次试验中P(A)=p>0,我们将这样 A 的试验称为n次独立重复试验.

4.二项分布 若将事件A发生的次数设为X,事件A不发生的 概率为q=1-p,那么在n次独立重复试验中, 事件A恰好发生k次的概率是P(X= k k n- k Pn(k)=Cnp (1-p) (k=0,1,2,?,n) k)___________________________ _______, 于是得到X的分布列:
X P 0 C0 p0qn n 1 - C1 p1qn 1 n ? ? k - Ck pkqn k n ? ? n Cnpnq0 n

由于表中的第二行恰好是二项式展开式(q+p)n
C0 qn+C1 p1qn 1+?+Ck pkqn k+?+Cnpn(q=1-p) n n n =n
- -

_____________________________________ B(n,p) _各对应项的值,则称这样的离散型随机变量X 服从参数n、p的二项分布,记为X~ _________.

思考感悟

“相互独立”与“事件互斥”有何不同?
提示:两事件互斥是指两个事件不可能同时发

生,两事件相互独立是指一个事件发生与否对
另一事件发生的概率没有影响.两事件相互独

立不一定互斥.

课前热身 1.甲、乙两地都位于长江下游,根据天气预报 的纪录知,一年中下雨天甲市占20%,乙市占 18%,两市同时下雨占12%.则甲市为雨天,乙 市也为雨天的概率为多少?

解:甲市为雨天记为 A,乙市为雨天记为 B, 则 P(A)=0.2,P(B)=0.18,P(AB)=0.12, P?AB? 0.12 ∴P(B|A)= = =0.6. 0.2 P?A? 即甲市为雨天,乙市也为雨天的概率为 0.6.

2.在 4 次独立重复试验中事件 A 出现的概率相同, 65 若事件 A 至少发生一次的概率为 ,则事件 A 在 1 81 次试验中出现的概率为多少?
65 解:A 至少发生一次的概率为 ,则 A 的对立事件 A : 81 65 16 2 4 事件 A 都不发生的概率为 1- = =( ) , 81 81 3 2 1 所以 A 在一次试验中出现的概率为 1- = . 3 3

3.(2011年江苏南通质检)一个暗箱中有形状和 大小完全相同的3只白球与2只黑球,每次从中 取出一只球,取到白球得2分,取到黑球得3 分.甲从暗箱中有放回地依次取出3只球. (1)写出甲总得分ξ的分布列; (2)求甲总得分ξ的期望E(ξ).

解:(1)甲总得分情况有 6 分,7 分,8 分,9 分四种可能,记 ξ 为甲总得分. ?3 ?3= 27 , P(ξ=6)= 5 ? ? 125

P(ξ=7)=C1 3 P(ξ=8)=C2 3

?2 ??3 ?2= 54 , ?5 ??5 ? 125 ?2 ?2?3 ?= 36 , ?5 ? ?5 ? 125

?2 ?3= 8 . P(ξ=9)= 5 ? ? 125
6 7 27 54 P 125 125 (2)甲总得分 ξ 的期望 ξ 8 36 125 9 8 125

27 54 36 8 36 E(ξ)=6× +7× +8× +9× = . 125 125 125 125 5

考点探究·挑战高考

考点突破

条件概率
条件概率是古典概型中概率的特殊情形,其特 殊性是“在事件A发生的条件下”事件B才发生, 也就是在一定条件下A、B同时发生,即AB发生, 这里的事件A、B有联系,但不独立,即若B发 生,A一定发生.解决此类问题时关键是分清事 件A、B和AB各是什么,A、B有怎样的关系, 选取怎样的表达符号和计算公式.

A发生的条件下B发生的概率公式P(B|A)=
P?AB? n?AB? = P?A? n?A?

是实际应用中一种重要的求条件概

率的方法依据.

例1 1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有

5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一 球放入2号箱,然后从2号箱随机取出一球,问 (1)从1号箱中取出的是红球的条件下,从2号箱 取出红球的概率是多少? (2)从2号箱取出红球的概率是多少? 【思路分析】 从2号箱取出红球,有两种互斥 的情况:一是当从1号箱取出红球时,二是当从1 号箱取出白球时.

【解】 记事件 A:最后从 2 号箱中取出的是红球; 事件 B:从 1 号箱中取出的是红球. 4 2 1 P(B)= = ,P( B )=1-P(B)= , 3 2+4 3 3+1 4 (1)P(A|B)= = . 8+1 9 3 1 (2)∵P(A| B )= = , 8+1 3 ∴P(A)=P(AB)+P(A B ) =P(A|B)P(B)+P(A| B )P( B ) 4 2 1 1 11 = × + × = . 9 3 3 3 27

【名师点评】

在等可能性事件的问题中,求条

件概率时通用的方法是利用条件概率公式 P(B|A) P?AB? = ,这就需要求出 P(AB)和 P(A),从而用到 P?A? 了原来的概率知识.

事件的相互独立性 (1)相互独立事件是指两个试验中,两事件发 生的概率互不影响;相互对立事件是指同一 次试验中,两个事件不会同时发生. (2)求用“至少”表述的事件的概率时,先求 其对立事件的概率往往比较简便.

例2

(2010 年高考北京卷)某同学参加 3 门课程的考

4 试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为 , 5 第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为 p, q(p>q),且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.记 ξ 为该生取得优秀成绩的课程数,其分布列为 ξ 0 1 2 3 6 24 p a b 125 125

(1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率; (2)求p,q的值; (3)求数学期望E(ξ). 【思路分析】 由于各门课程取得优秀成绩相互 独立,因而利用相互独立事件的概率公式求解. 【解】 事件 Ai 表示“该生第 i 门课程取得优 4 秀成绩”,i=1,2,3,由题意知 P(A1)= ,P(A2) 5 =p,P(A3)=q. (1)由于事件“该生至少有 1 门课程取得优秀成 绩”与事件“ξ=0”是对立的,所以该生至少 有 1 门课程取得优秀成绩的概率是

6 119 1-P(ξ=0)=1- = . 125 125 (2)由题意知 1 6 - - - P(ξ=0)=P( A 1 A 2 A 3)= (1-p)(1-q)= . 5 125 4 24 P(ξ=3)=P(A1A2A3)= pq= . 5 125 6 整理得 pq= ,p+q=1. 25 3 2 由 p>q,可得 p= ,q= . 5 5

-- - (3)由题意知 a=P(ξ=1)=P(A1 A 2 A 3)+P( A - -- 1A2 A 3)+P( A 1 A 2A3) 4 1 1 37 = (1-p)(1-q)+ p(1-q)+ (1-p)q= . 5 5 5 125 b=P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3) 58 = , 125 E(ξ)=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+2P(ξ=2)+ 9 3P(ξ=3)= . 5

【名师点评】 (1)复杂问题可考虑拆分为等价 的几个事件的概率问题,同时结合对立事件的概 率求法进行求解. (2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要 有: ①利用相互独立事件的概率乘法公式; ②正面计算较繁或难以入手时,可以从对立事件 入手计算.

独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验,是在同样的条件下重复地、各次 之间相互独立地进行的一种试验.在这种试验中, 每一次试验只有两种结果,即某事件要么发生,要 么不发生,并且任何一次试验中发生的概率都是一 样的. (2)在 n 次独立重复试验中, 事件 A 恰好发生 k 次的 - 概率为 P(X=k)=Ck pk(1-p)n k,k=0,1,2,?,n. n 在利用该公式时一定要审清公式中的 n,k 各是多 少.

(2010年高考湖南卷)如图是某城市通过抽样 得到的居民某年的月均用水量(单位:吨)的频率分 布直方图. (1)求直方图中x的值; (2)若将频率视为概率,从这个城市随机抽取3位居 民(看作有放回的抽样), 求月均用水量在3至4吨 的居民数X的分布列 和数学期望.

例3

【思路分析】 (1)利用频率分布直方图的相关 知识解决,(2)为二项分布.

【解】 (1)依题意及频率分布直方图知, 1×(0.02+0.1+x+0.37+0.39)=1,解得 x =0.12. (2)由题意知,X~B(3,0.1), 0 3 因此 P(X=0)=C3 ×0.9 =0.729,P(X=1) =C1×0.1×0.92=0.243. 3 2 2 P(X=2)=C 3 ×0.1 ×0.9= 0.027, P(X= 3) 3 3 =C3×0.1 =0.001.

故随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3

P 0.729 0.243 0.027 0.001 X的数学期望为E(X)=3×0.1=0.3. 【名师点评】 二项分布是概率中一个重要的概 率模型,它是研究独立重复试验的数学模型,其 要点是:(1)每次试验是独立重复的;(2)每次试 验是一个两点分布.

变式训练 在甲、乙两个批次的某产品中, 分别抽出 3 件进行质量检验.已知甲、 乙批 1 1 次产品检验不合格的概率分别为 、 ,假设 4 3 每件产品检验是否合格相互之间没有影响. (1)求至少有 2 件甲批次产品不合格的概率; (2)求甲批次产品检验不合格件数恰好比乙 批次产品检验不合格件数多 1 件的概率.

解:(1)记“至少有 2 件甲批次产品检验不合格”为事 件 A. 由题意,事件 A 包括以下两个互斥事件: ①事件 B:有 2 件甲批次产品检验不合格.由 n 次独 立重复试验中某事件发生 k 次的概率公式,得 1 ?1 9 2?1?2? P(B)=C3 4 1- 4 = ; ? ?? ? 64 ②事件 C:3 件甲批次产品检验都不合格.由相互独 立事件概率公式,得

?1 ?3= 1 . P(C)= 4 ? ? 64

5 所以,P(A)=P(B)+P(C)= . 32 (2)记“甲批次产品检验不合格件数恰好比乙 批次产品检验不合格件数多 1 件”为事件 D. 由题意,事件 D 包括以下三个互斥事件: ①事件 E:3 件甲批次产品检验都不合格, 且有 2 件乙批次产品检验不合格.

?1 ?3· 2?1 ?2?1-1 ?1= 1 ; 其概率 P(E)= 4 C 3 3 ? ? ? ? ? 3 ? 288

②事件 F:有 2 件甲批次产品检验不合格,且有 1 件乙批次产品检验不合格. 1 ?1 1?1? ? 1 ?2 1 2?1 ?2? 其概率 P(F)=C3 4 1- 4 · 3 3 ·1-3 = ; C ? ?? ? ? ?? ? 16 ③事件 G:有 1 件甲批次产品检验不合格,且有 0 件乙批次产品检验不合格. 1 ?2 ? 1 ?3 1 1?1? ? 其概率 P(G)=C3 4 ·1- 4 ·1-3 = . ? ?? ? ? ? 8 55 所以 P(D)=P(E)+P(F)+P(G)= . 288

方法感悟 方法技巧 1.古典概型中,A 发生的条件下 B 发生的条件 P?AB? n?AB? 概率公式为 P(B|A)= = ,其中,在 P?A? n?A? n?AB? 实际应用中 P(B|A)= 是一种重要的求条 n?A? 件概率的方法. 2.运用公式 P(AB)=P(A)P(B)时一定要注意公 式成立的条件,只有当事件 A、B 相互独立时, 公式才成立.

3.在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发 k k n- k 生 k 次的概率为 P(X=k)=Cnp (1-p) , k =0,1,2,?,n,其中 p 是一次试验中该事 k k n- k 件发生的概率.实际上,Cnp (1-p) 正好 n 是二项式[(1-p)+p] 的展开式中的第 k+1 项.

失误防范 1.独立重复试验中,每一次试验只有两种结果, 即某事件要么发生,要么不发生,并且任何一次

试验中某事件发生的概率相等.注意恰好与至多
(少)的关系,灵活运用对立事件.

2.二项分布要注意确定成功概率.

考向瞭望·把脉高考

考情分析 从近几年的江苏高考试题来看,相互独立事件的 概率、n次独立重复试验的概率是考查的热点, 题型为解答题,属中档题,主要考查对基本知识 的应用及运算能力. 预测2012年江苏高考,相互独立事件的概率,n 次独立重复试验仍然是考查的重点,同时应注意 二项分布的应用.

规范解答

(本题满分14分)(2010年高考大纲全国卷Ⅱ) 如图,由M到N的电路中有4个元件,分别标为T1 , T2,T3,T4,电流能通过T1,T2,T3的概率都是p, 电流能通过T4的概率是0.9.电流能否通过各元件相 互独立.已知T1 ,T2 , T3 中至少有一个能通过电 流的概率为0.999.



(1)求p; (2)求电流能在M与N之间通过的概率; (3)ξ表示T1,T2,T3,T4中能通过电流的元件个 数,求ξ的期望.
【解】 记 Ai 表示事件:电流能通过 Ti,i=1,2,3,4, A 表示事件:T1,T2,T3 中至少有一个能通过电流, B 表示事件:电流能在 M 与 N 之间通过.2 分 (1) A = A 1·A 2·A 3,A1,A2,A3 相互独立, P( A )=P( A 1·A 2·A 3)=P( A 1)P( A 2)P( A 3)=(1- p)3,





又 P( A )=1-P(A)=1-0.999=0.001. 3 故(1-p) =0.001,p=0.9.6 分 (2)B=A4+ A 4· 1 · 3+ A 4·A 1· 2 · 3, A A A A P(B)=P(A4+ A 4· 1 · 3+ A 4·A 1· 2 · 3) A A A A =P(A4)+P( A 4· 1 · 3)+P( A 4·A 1· 2 · 3) A A A A = P(A4) + P( A 4)P(A1)P(A3) + P( A 4)P( A
1)P(A2)P(A3)



=0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9

=0.9891.10分
(3)由于电流能通过各元件的概率都是0.9,且电

流能否通过各元件相互独立,
故ξ~B(4,0.9),

E(ξ)=4×0.9=3.6.14分

【名师点评】 本题易失误的是(1)不正确地进 行讨论并计算. (2)二项分布应满足的条件是 ①每次试验中,事件发生的概率是相同的.②各 次试验中的事件是相互独立的.③每次试验只有 两种结果:事件要么发生,要么不发生.④随机 变量是这n次独立重复试验中事件发生的次 数.正确判断二项分布,有利于简化运算,提高 解题速度.

名师预测 1.由于当前学生课业负担较重,造成青少年 视力普遍下降,现从某高中随机抽取16名学生, 经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力 状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎, 小数点后的一位数字为叶)如下:

(1)指出这组数据的众数和中位数;

(2)若视力测试结果不低于5.0,则称为“好视力”,
求校医从这16人中随机选取3人,至多有1人是“好 视力”的概率; (3)以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数 据,若从该校(人数很多)任选3人,记ξ表示抽到“好 视力”学生的人数,求ξ的分布列及数学期望.

解:(1)众数:4.6 和 4.7;中位数:4.75. (2)设 Ai 表示所取 3 人中有 i 个人是“好视力”, 至多有 1 人是“好视力”记为事件 A,则 P(A) 2 C3 C1 C12 121 12 4 =P(A0)+P(A1)= 3 + 3 = . C 16 C 16 140 (3)ξ 的可能取值为 0、1、2、3, 3 3 27 P(ξ=0)=( ) = , 4 64

27 11 3 2 P(ξ=1)=C 3 ( ) = ,

44 64 9 2 1 23 P(ξ=2)=C 3( ) = , 4 4 64 13 1 P(ξ=3)=( ) = . 4 64 分布列为 ξ 0 1 27 27 P 64 64

2 9 64

3 1 64

27 27 9 1 E(ξ)=0× +1× +2× +3× =0.75. 64 64 64 64

2.某校从参加高二年级学业水平测试的学生中 抽出80名学生,其数学成绩(均为整数)的频率分 布直方图如图所示.

(1)估计这次测试数学成绩的平均分; (2)假设在[90,100]段的学生的数学成绩都不相同, 且都超过94分.若将频率视为概率,现用简单随 机抽样的方法,从95,96,97,98,99,100这6个数中 任意抽取2个数,有放回地抽取了3次,记这3次抽 取中,恰好是两个学生的数学成绩的次数为ξ,求 ξ的分布列及数学期望E(ξ). 解:(1)利用中值估算抽样学生的平均分: 45×0.05 + 55×0.15 + 65×0.2 + 75×0.3 + 85×0.25+95×0.05=72. 所以,估计这次考试的平均分是72分.

(2)从 95,96,97,98,99,100 中抽 2 个数的全部可能的基本 结果数是 C2=15, 15 种结果, 有 学生的成绩在[90,100] 6 段的人数是 0.005×10×80=4(人), 这两个数恰好是两个学生的数学成绩的基本结果数是 C2=6, 4 6 2 两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率 P= = . 15 5 2 随机变量 ξ 的可能取值为 0、1、2、3,且 ξ~B(3, ). 5

k 2 k 3 3- k ∴P(ξ=k)=C3( ) ( ) ,k=0,1,2,3,

5 5 ∴变量 ξ 的分布列为: ξ 0 1 2 8 36 54 P 125 125 125 2 6 E(ξ)=np=3× = . 5 5

3 27 125

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