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高中数学复习 (44)


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1.柱体、锥体、台体的侧面积,就是各侧面面积之和,表面积 是各个面的面积之和,即侧面积与底面积之和.

2.把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形,称为它的展
开图,它的表面积就是展开图的面积.

3.圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积 S圆柱侧=2πrl,S柱=2πr(r+l);
<

br />S圆锥侧=πrl,S锥=πr(r+l);
S圆台侧=π(r′+r)l,S台=π(r′2+r2+r′l+rl).

4.柱、锥、台体的体积

1 Sh , V长方体=abc,V正方体=a3,V柱=Sh,V锥= 3 1 V台= (S′+S+ )h. SS ?
这是柱体?锥体?台体统一计算公式,特别的圆柱?圆锥?圆台 还可以分别写成: V圆柱=πr2h,V圆锥=
1 πr2h,V圆台= 3

3

1 πh(r′2+r′r+r2). 3

5.球的体积及球的表面积 设球的半径为R,V球= 4 πR3,S球=4πR2. 3

考点陪练

1.一个长方体有公共顶点的三个面的面积分别是 2, 3, 6, 则这个长方体对角线的长是 ? A.2 C.6 B.3 2 D. 6

?

解析 : 设长方体的长?宽?高分别为a、b、c,由题意不妨设 ?ab ? 2, ?a ? 2, ? ? ? ?bc ? 3, 解得 ?b ? 1, 所以长方体的对角线长为 ? ? ?c ? 3 , ? ?ac ? 6, a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2 ? 1 ? 3 ? 6.
答案:D

2.圆台上、下底面面积分别是π、4π,侧面积是6π,这个圆台 的体积是( )

2 3 A. ? 3 7 3 C. ? 6

B.2 3? 7 3 D. ? 3

解析 : 设圆台上、下底面半径分别为r1 , r2 , 母线长为l, 高为h. ?? r12 ? ? , ?r1 ? 1, ? 2 ? 则 ?? r2 ? 4? , 解得 ?r2 ? 2, ?? (r ? r )l ? 6? , ?l ? 2. ? ? 1 2 由l ? h ? ? r2 ? r1 ? , 得h 2 ? 22 ? 12 ? 3, 即h ? 3, 故V圆台
2 2 2

1 1 2 2 ? ? h(r1 ? r1r2 ? r2 ) ? ? 3 3
答案:D

7 3 3 (1 ? 1? 2 ? 2 ) ? ?. 3
2 2

3.用与球心距离为1的平面去截球,所得的截面面积为π,则球 的体积为( )

8? A. 3 C.8 2?

8 2? B. 3 32? D. 3

解析 : 截面圆的半径为1, 又球心到截面距离等于1, 所以球 4 8 3 的半径R ? 2, 故球的体积V ? ? R ? 2? . 3 3

答案:B

4.(2010·广州一模)如果一个几何体的三视图如下图所示(单 位长度: cm),则此几何体的表面积是( )

A.(80+16
B.96 cm2 C.(96+16 D.112 cm2

2) cm

2

2 ) cm 2

解析:将几何体还原,如图:该几何体是由边长为4的正方体和 一个底面边长为4高为2的正四棱锥构成的,在正四棱锥中,

可得 EG ? 2 2,

四棱锥的表面积为S1=4×

1 ×4× 2

2 2 ? 16 2, 正方体除

去一个面的表面积为S2=5×42=80,所以此几何体的表面积

S ? 80 ? 16 2. 答案:A

5.(2010·山东临沂二模)有一个正三棱柱,其三视图如图,则其 体积等于( )

A.3

B.1

3 3 C. 2

D.4

解析:由图知该几何体为底面为正三角形的三棱柱,底面三角 形高为2,三棱柱的高为
3,

故体积为

1 4 3 V? ? ? 3 ? 2 ? 4. 2 3
答案:D

类型一

棱柱?棱锥?棱台的表面积?体积

解题准备:求解有关多面体表面积问题的关键是利用几何图

形的性质找到其特征几何图形,从而体现出高、斜高、边
长等几何元素间的关系,如棱柱的矩形、棱锥中的直角三 角形、棱台中的直角梯形等.

1.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系,可表示为

2.解决不规则几何体的问题应注意应用以下方法: (1)几何体的“分割”

依据已知几何体的特征,将其分割成若干个易于求体积的几
何体,进而求解. (2)几何体的“补形” 有时为了计算方便,可将几何体补成易求体积的几何体,如长 方体、正方体等.

【典例1】 如图,三棱柱ABC—A1B1C1中,若E?F分别为AB? AC的中点,平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1?V2的两部分

,那么V1:V2=________.

[解析] 设三棱柱的高为h,上下底的面积为S,体积为V,则 V=V1+V2=Sh.

∵E?F分别为AB?AC的中点,
1 ? S AEF ? S . 4 1 1 1 7 V1 ? h( S ? S ? S S ) ? Sh, 3 4 4 12 5 V2 ? Sh ? V1 ? Sh, 12 ? V1 : V2 ? 7 : 5.

[答案] 7:5.

类型二

圆柱、圆锥、圆台的表面积、体积

解题准备:1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开

图的面积,因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各
线段与原几何体的关系是掌握它们的面积公式及解决相关 问题的关键.

2.计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据条件找出相应的 底面面积和高,要充分利用多面体的截面及旋转体的轴截

面,将空间问题转化为平面问题.

【典例2】 已知底面半径为 3cm ,母线长为 6cm 的圆柱,挖 去一个以圆柱上底面圆心为顶点,下底面为底面的圆锥,求

所得几何体的表面积和体积.

[解] 如图,圆柱一个底面的面积为 S底=πr2=π?(
3 )2=3π(cm3).

圆柱侧面面积为:
S柱侧=2π×
2 3 ? 6 ? 6 2π(cm ).

所挖圆锥的母线长为

3 ? 6 =3(cm).

所挖圆锥的侧面面积为 : 1 S锥侧 ? ? 2? ? 3 ? 3 ? 3 3? ? cm 2 ? . 2 则所得几何体的表面积为 : S ? S底 ? S柱侧 ? S锥侧 ? 3? ? 6 2? ? 3 3? ? (3 ? 6 2 ? 3 3)? ? cm2 ? .

所得几何体的体积 : V ? V柱 ? V锥 ? S底 1 6 ? S底 3 2 6 ? S底 3 6

2 ? ? 3? ? 6 ? 2 6? ? cm3 ? . 3

类型三

球的表面积、体积

解题准备:球的表面积与体积都只与半径R有关,是以R为自变

量的函数,一个球的半径给定,它的表面积、体积随之确定,
反过来,给定一个球的表面积或体积,这个球的半径也就确 定了.

【典例3】 如图,正三棱锥的高为1,底面边长为 2 6, 内有一 个球与它的四个面都相切.求:(1)棱锥的全面积;(2)内切球

的表面积与体积.

[解] ?1? 底面正三角形的中心到一边的距离为 1 3 FD ? ? ? 2 6 ? 2, 3 2 则正三棱锥侧面的斜高为PD ? 12 ? ( 2) 2 ? 3. 1 ? S侧 ? 3 ? ? 2 6 ? 3 ? 9 2. 2 1 3 ? S全 ? S侧 ? S底 ? 9 2 ? ? ? (2 6) 2 ? 9 2 ? 6 3. 2 2

(2)设正三棱锥P—ABC的内切球球心为O,连接OP?OA?OB ?OC,而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r.

∴VP—ABC=VO—PAB+VO—PBC+VO—PAC+VO—ABC

1 1 1 ? S侧 r ? SABC r ? S全 r ? (3 2 ? 2 3)r. 3 3 3 又VP -ABC 1 1 3 ? ? ? (2 6) 2 ?1 ? 2 3, 3 2 2

? (3 2 ? 2 3)r ? 2 3, 得 2 3 2 3(3 2 ? 2 3) r? ? ? 6 ? 2, 18 ? 12 3 2?2 3 ? S内切球 ? 4? ( 6 ? 2) 2 ? (40 ? 16 6)? . V内切球 4 72 6 ? 176 ? ? ( 6 ? 2)3 ? ?. 3 3

类型四 由几何体的三视图求几何体的表面积与体积 解题准备:已知空间几何体的三视图求表面积?体积是高考考

查的热点,对三视图的应用是解题的关键.主要体现在以下
两个方面的应用:一是数据的给出,通过三视图的长?宽?高 对应出空间几何体的相关长?宽?高,从而求表面积和体积, 但是要注意三视图中的数据与原几何体中的数据不一定一 一对应,识图时注意甄别.二是揭示空间几何体的结构特征. 包括几何体的形状,平行垂直等结构特征,这些正是数据运 算的依据.

【典例4】 一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位 :m):

(1)试画出它的直观图;
(2)求它的表面积和体积.

[分析] 由三视图,正确的画出几何体的直观图,确定几何体中 线段的位置关系及数量关系.

[解] (1)直观图如图所示.

(2)解法一:由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角,且 该几何体的体积是以A1A,A1D1,A1B1为棱的长方体的体积



在直角梯形AA1B1B中,作BE⊥A1B1, 则AA1EB是正方形, ∴AA1=BE=1 在Rt△BEB1中,BE=1,EB1=1

3 , 4

∴BB1=

2

∴几何体的表面积S=S正方形AA1D1D+2S梯形AA1B1B+S矩形
1×(1+2)×1+1× +S +S =1+2 × 2 BB1C1C 正方形ABCD 矩形A1B1C1D1 2 +1+1×2=7+ 2 (m2). 3 3 ∴几何体的体积V= ×1×2×1= (m3), 2 4 3 ∴该几何体的表面积为(7+ 2 )m2,体积为 m 3. 2

解法二:几何体也可以看作是以AA1B1B为底面的直四棱柱,其 表面积求法同解法一,

V直四棱柱D1C1CD—A1B1BA=Sh= 3 = (m2). 2 ∴几何体的表面积为(7+ 2

1 2

×(1+2)×1×1
3 2

)m2,体积为

m 3.

[反思感悟] (1)由三视图画几何体的直观图,掌握“长对正、 宽相等,高平齐”的规则,是确定几何体特征的关键.

(2)把不规则几何体分割成几个规则几何体或者是补上一部分
使之成为规则几何体,是求不规则几何体常用方法.

错源一

问题考虑不全

【典例1】 是否存在这样的球,在该球内有距离为3的两个平

行截面且截面的面积分别为5π和8π?若存在,求出球面的
表面积;若不存在,请说明理由.

[错解] 假设存在满足题意的球,过圆心与截面的圆心作球的 轴截面,如图.圆O是球的大圆,A1B1,A2B2分别是两个平行

截面圆的直径,C1,C2分别是两个截面圆的圆心,设两截面圆
的半径分别为r1,r2,(r1>r2),由题意可得 r12 ? 8, r22 ? 5, 又
R 2 ? r22 ? R 2 ? r12 ? 3, 此方程无解,所以满足题意的球不

存在.

[剖析] 错解只考虑了两个平行截面都在球心同一侧的情形, 事实上两个平行截面不一定都在球心的同一侧.

[正解] 假设存在满足题意的球.

(1)如果两个平行截面都在球心的同一侧,则解法同错解.(2)如 果两个平行截面在球心两侧,过圆心与截面的圆心作球的

轴截面,如图.圆O是球的大圆,A1B1,A2B2分别是两个平行
截面圆的直径,C1,C2分别是两个截面圆的圆心,设两截面圆 的半径分别为r1,r2(r1<r2).由题意可得 又 r12 ? 8, r22 ? 5,

解得R2=9, R 2 ? r22 ? R 2 ? r12 ? 3,
所以球的表面积S=4πR2=36π.

综上可得,存在满足题意的球,该球的表面积为36π.

错源二

对三视图的形成认识不清

【典例2】 设某几何体的三视图如图(尺寸的长度单位为m).

则该几何体的体积为________m3.

[错解] 该几何体为三棱锥,底面为腰为4,底为3的等腰三角形 ,高为2.

1 1 55 55 3 ∴ V ? ? 2 ? ? 3? ? (m ). 3 2 2 2 [剖析] 把正视图看成三棱锥的一个面造成误解.三视图中的
每一个视图都是整个几何体在某一屏幕上的投影,不一定 是某个面留下的投影.这类问题不能孤立的分析某一视图.

[正解] 由三视图可知原几何体是一个三棱锥,由“长对正,宽 相等,高平齐”的原则可知三棱锥的高为2,底面三角形的底

边长为4,高为3,则所求棱锥的体积为
V=

1 1 ? ×3×4×2=4. 3 2

[答案] 4

技法一

等积转化思想方法

【典例1】 如图,一个三棱柱容器中盛有水,且侧棱AA1=8,若

AA1B1B水平放置时,液面恰好过AC,BC,A1C1,B1C1的中点
,则当底面ABC水平放置时,液面的高为多少?

1 3 [解] 当AA1B1B水平放置时,纵截面中水的面积占1- 4 ? 4 , 3 . 所以水的体积与三棱柱体积比为 当底面ABC水平放 4
3 置时,液面高度为8× 4

=6.

[方法与技巧] 容器中水的体积不会减少,运用等积思想可不 用计算体积,而通过体积比进而化为高度比.

技法二

巧解三棱锥的体积

【典例2】 已知正三棱锥P—ABC的三条侧棱两两垂直,侧棱

长都等于a,如图1,求此三棱锥的体积.

[解] 解法一:设顶点P在底面ABC上的射影为O,则O为 △ABC的中心,连接CO延长交AB于M,连接PM,则

CM⊥AB且M为AB的中点.
在△ABC中,易求得
1 1 6 OM ? MC ? AC 2 ? AM 2 ? a. 3 3 6 在Rt PMO中, PO ? PM 2 ? MO 2 ? 所以VP ? ABC 1 ? S 3
ABC

3 a, 3

a3 PO ? . 6

解法二:转换三棱锥顶点,如图2.因为AP⊥PB⊥PC,

所以三棱锥A—PBC的高为PA,底面△PBC为直角三角形. 所以VP—ABC=VA—PBC=
1 ·S△PBC·AP 3

1 1 2 a3 ? ? a ?a ? . 3 2 6

解法三:由三棱锥PA⊥PB⊥PC,易联想到以PBC为底面可以 补成三棱柱AB′C′-PBC,如图3,它与三棱锥A—PBC的高均

为AP,底面为△PBC,易知锥体的体积是与其等底等高的柱 1 体体积的 , 3

于是VP ? ABC ? VA ?PBC

1 a3 ? VAB ?C ??PB C ? . 3 6

[方法与技巧] 该题题目虽小,但其解法涵盖了求解几何体体 积常用的几种思维方法.解法一是直接法,它是对应体积公

式的通法;解法二是等体积转化法,针对锥体的几何特点,变
换顶点,体积不变.解法三是补形法,这是直接法遇阻时经常 采用的间接求解策略.诸如还可将三棱锥补形成为四棱柱,

三棱柱补形成为平行六面体等,与此法相对的还有分割法,
即将一个几何体分割成几部分来进行求解.


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