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2016届高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查 必修部分14 导数的应用(一)


开卷速查(十四)

导数的应用(一)

A 级 基础巩固练 1. 函数 f(x)=x2-2ax+a 在区间(-∞, 1)上有最小值, 则函数 g(x) f ?x ? = x 在区间(1,+∞)上一定( A.有最小值 C.是减函数 ) B.有最大值 D.是增函数

解析:由函数 f(x)=x2-2ax+a 在区间(-∞,1)上有最小值,可得 f ?x ? a a a<1,又 g(x)= x =x+x -2a,则 g′(x)=1-x2,易知在 x∈(1, +∞) 上 g′(x)>0,所以 g(x)在(1,+∞)上为增函数. 答案:D 2.函数 f(x)=x3-3x2+2 在区间[-1,1]上的最大值是( A.-2 C.2 B.0 D.4 )

解析:f′(x)=3x2-6x,令 f′(x)=0,得 x=0 或 2. ∴f(x)在[-1,0)上是增函数,f(x)在(0,1]上是减函数. ∴f(x)max=f(0)=2. 答案:C 3.若函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 有极值,则导函数 f′(x)的图像 不可能是( )

A

B

C

D 解析: 若函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 有极值, 则此函数在某点两侧 的单调性相反, 也就是说导函数 f′(x)在此点两侧的导函数值的符号相 反,所以导函数的图像要穿过 x 轴,观察四个选项中的图像只有 D 项 是不符合要求的,即 f′(x)的图像不可能是 D,故选 D. 答案:D 4.已知函数 y=x3-3x+c 的图像与 x 轴恰有两个公共点,则 c= ( ) A.-2 或 2 C.-1 或 1 B.-9 或 3 D.-3 或 1

解析: 设 f(x)=x3-3x+c, 对 f(x)求导可得, f′(x)=3x2-3, 令 f′(x) =0,可得 x=± 1,易知 f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递增,在(- 1,1)上单调递减.若 f(1)=1-3+c=0,可得 c=2;若 f(-1)=-1+3 +c=0,可得 c=-2. 答案:A 5.函数 f(x)=x3-3x-1,若对于区间[-3,2]上的任意 x1,x2,都 有|f(x1)-f(x2)|≤t,则实数 t 的最小值是( A.20 C.3 B.18 D.0 )

解析: 因为 f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1), 令 f′(x)=0, 得 x=± 1, 所以-1,1 为函数的极值点. 又 f(-3)=-19, f(-1)=1, f(1)=-3, f(2) =1,所以在区间[-3,2]上 f(x)max=1,f(x)min=-19.又由题设知在区间 [-3,2]上 f(x)max-f(x)min≤t,从而 t≥20,所以 t 的最小值是 20. 答案:A 6. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x), 设其导函数为 f′(x), 当 x∈(- ∞,0]时,恒有 xf′(x)<f(-x),令 F(x)=xf(x),则满足 F(3)>F(2x-1) 的实数 x 的取值范围是( A.(-1,2)
?1 ? C.?2,2? ? ?

) 1? ? B.?-1,2?
? ?

D.(-2,1)

解析: 由 F(x)=xf(x), 得 F′(x)=f(x)+xf′(x)=xf′(x)-f(-x)<0, 所以 F(x)在(-∞,0]上单调递减,又可证 F(x)为偶函数,从而 F(x)在 [0,+∞)上单调递增,故原不等式可化为-3<2x-1<3,解得-1<x<2. 答案:A 1 3 7.若函数 f(x)=3x3-2x2+ax+4 恰在[-1,4]上单调递减,则实数

a 的值为__________. 1 3 解析:∵f(x)=3x3-2x2+ax+4, ∴f′(x)=x2-3x+a.又函数 f(x)恰在[-1,4]上单调递减,∴-1,4 是 f′(x)=0 的两根,∴a=-1×4=-4. 答案:-4 8.已知函数 f(x)=x3+3mx2+nx+m2 在 x=-1 时有极值 0,则 m +n=__________. 解析:∵f′(x)=3x2+6mx+n, ∴由已知可得
3 2 2 ? ?f?-1?=?-1? +3m?-1? +n?-1?+m =0, ? 2 ? ?f′?-1?=3×?-1? +6m?-1?+n=0,

?m=1, ?m=2, ? ? ∴? 或? ?n=3, ?n=9, ? ? ? ?m=1, 当? 时, f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0 恒成立与 x=-1 ?n=3 ?

是极值点矛盾,
?m=2, ? 当? 时,f′(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3), ? ?n=9

显然 x=-1 是极值点,符合题意,∴m+n=11. 答案:11

9.右图是函数 y=f(x)的导函数的图像,给出下面四个判断. ①f(x)在区间[-2,-1]上是增函数; ②x=-1 是 f(x)的极小值点;

③f(x)在区间[-1,2]上是增函数,在区间[2,4]上是减函数; ④x=3 是 f(x)的极小值点. 其中,所有正确判断的序号是__________. 解析:由函数 y=f(x)的导函数的图像可知: (1)f(x)在区间[-2, -1]上是减函数, 在[-1,2]上为增函数, 在[2,4] 上为减函数; (2)f(x)在 x=-1 处取得极小值,在 x=2 处取得极大值. 故②③正确. 答案:②③ 1 10.已知函数 f(x)=ax2+blnx 在 x=1 处有极值2. (1)求 a,b 的值; (2)判断函数 y=f(x)的单调性并求出单调区间. b 解析:(1)f′(x)=2ax+x, 1 又 f(x)在 x=1 处有极值2,

?f?1?=1, 2 ∴? ?f′?1?=0,

?a=1, 即? 2 ?2a+b=0.

1 解得 a=2,b=-1. 1 (2)由(1)可知 f(x)=2x2-lnx,其定义域是(0,+∞),且 f′(x)=x 1 ?x+1??x-1? -x= . x 令 f′(x)=0,解得 x=1 或 x=-1(舍去). 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x f ′( x ) f (x )

(0,1) - ?

1 0 极小值

(1,+∞) + ?

所以函数 y=f(x)的单调减区间是(0,1),单调增区间是(1,+∞). B级 能力提升练

11.[2014· 安徽]设函数 f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中 a>0. (1)讨论 f(x)在其定义域上的单调性; (2)当 x∈[0,1]时,求 f(x)取得最大值和最小值时的 x 的值. 解析:(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′(x)=1+a-2x-3x2. 令 f′(x)=0,得 x1= x2= -1- 4+3a , 3

-1+ 4+3a ,x1<x2. 3

所以 f′(x)=-3(x-x1)(x-x2). 当 x<x1 或 x>x2 时,f′(x)<0; 当 x1<x<x2 时,f′(x)>0. 故 f(x)在(-∞, x1)和(x2, +∞)内单调递减, 在(x1, x2)内单调递增. (2)因为 a>0,所以 x1<0,x2>0. ①当 a≥4 时,x2≥1. 由(1)知,f(x)在[0,1]上单调递增. 所以 f(x)在 x=0 和 x=1 处分别取得最小值和最大值. ②当 0<a<4 时,x2<1. 由(1)知,f(x)在[0,x2]上单调递增,在[x2,1]上单调递减. 所以 f(x)在 x=x2= -1+ 4+3a 处取得最大值. 3

又 f(0)=1,f(1)=a,所以当 0<a<1 时,f(x)在 x=1 处取得最小 值; 当 a=1 时,f(x)在 x=0 处和 x=1 处同时取得最小值; 当 1<a<4 时,f(x)在 x=0 处取得最小值.
? ex ? 2 12. [2014· 山东]设函数 f(x)=x2-k?x +lnx?(k 为常数, e=2.718 28… ? ?

是自然对数的底数). (1)当 k≤0 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求 k 的取值范围. 解析:(1)函数 y=f(x)的定义域为(0,+∞). x2ex-2xex ? 2 1? f′(x)= -k?-x2+x? x4
? ?

xex-2ex k?x-2? = x3 - x2 ?x-2??ex-kx? = . x3 由 k≤0 可得 ex-kx>0, 所以当 x∈(0,2)时,f′(x)<0,函数 y=f(x)单调递减, x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,函数 y=f(x)单调递增. 所以 f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+∞). (2)由(1)知,k≤0 时,函数 f(x)在(0,2)内单调递减,故 f(x)在(0,2) 内不存在极值点; 当 k>0 时,设函数 g(x)=ex-kx,k∈(0,+∞). 因为 g′(x)=ex-k=ex-elnk, 当 0<k≤1 时, 当 x∈(0,2)时,g′(x)=ex-k>0,y=g(x)单调递增. 故 f(x)在(0,2)内不存在两个极值点;

当 k>1 时,得 x∈(0,lnk)时,g′(k)<0,函数 y=g(x)单调递减. x∈(lnk,+∞)时,g′(x)>0,函数 y=g(x)单调递增. 所以函数 y=g(x)的最小值为 g(lnk)=k(l-lnk). g?0?>0, ? ?g?lnk?<0, f(x) 在 (0,2) 内存在两个极值点当且仅当 ? g?2?>0, ? ?0<lnk<2,

函数

解得

e2 e<k< 2 , 综上所述,函数 f(x)在(0,2)内存在两个极值点时,k 的取值范围为 e? ? ?e, ?. 2? ?
2


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