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【全程复习方略】(全国通用)2016高考数学 单元评估检测(二)


单元评估检测(二)
第二章 (120 分钟 150 分) 一、选择题(本大题 共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的) 1.(2015·信阳模拟)下列函数中既是奇函数,又在(0,+∞)上单调递增的是 ( )

A.y=sin x

1 B.y=-x2+ x

C.y=x3+3x D.y=e|x| 【解析】选 C.选项 A,C 中函数为奇函数,又函数 y=sin x 在(0,+∞)上不是单调函数,故选 C.

[?
2.若函数 y=x2-3x-4 的定义域为[0,m],值域为

25 , ?4] 4 ,则 m 的取值范围是(

)

A.(0,4]

3 [ , 4] B. 2 3 [ , ??) D. 2

3 [ ,3] C. 2

3 25 3 x 2 ? 3x ? 4 ? (x ? ) 2 ? . 2 4 当 x=0 或 x=3 时,y=-4,所以 2 ≤m≤3. 【解析】选 C.y=

3.(2015·西安模拟)已知函数 f(x)=

?2x ? 1, x ? 1, ? ? 2 ? ? x ? ax, x ? 1,

若 f(f(0))=4a,则实数 a=(

)

1 A. 2

4 B. 5

C.2

D.9

【解析】选 C.f(0)=20+1=2,f(f(0))=f(2)=4+2a=4a,解得 a=2. 4.函数 y=esin x(-π ≤x≤π )的大致图象为( )

【解析】选 D.取 x=-π ,0,π 这三个值,可得 y 总是 1,故排除 A,C;

? 当 0<x< 2 时,y=sin x 是增函数,y=ex 也是增函数,故 y=esin x 也是增函数,故选 D.

-1-

1 【加固训练】函数 f(x)=ln x- 2 x2 的图象大致是(

)

1 1? x2 【解析】选 B.函数的定义域为{x|x>0},函数的导数 f′(x)= x -x= x ,由

1? x2 1? x2 x >0 得,0<x<1,即增区间为(0,1).由 f′(x)= x <0 得,x>1,即减区间为(1,+∞),所以当 x=1 时, f′(x)=
1 函数取得极大值,且 f(1)=- 2 <0,所以选 B.

?? a ? 3? x ? 5, x ? 1, ? ? 2a ? ,x ?1 5.已知函数 f(x)= ? x 是(-∞,+∞)上的减函数,则 a 的取值范围是
( ) A.(0,3) B.(0,3] C.(0,2) 【解析】选 D.因为 f(x)为(-∞,+∞)上的减函数, D.(0,2]

? ?a ? 3 ? 0, ? ?2a ? 0, ? 2a ?? a ? 3? ?1 ? 5 ? , 1 解得 0<a≤2. 所以 ?
2 ? ?ax ? 1, x ? 0, ? 2 a ? 1? eax , x ? 0(a ? 1), ? ? ? 【加固训练】若 f(x)= 在定义域(-∞,+∞)上是单调函数,则 a 的取值范围是(

)

A.(1, 2 ]

B.[-

2 ,-1)∪[ 2 ,+∞)

C.(-∞,-

2 ]∪(1,

2]

2 (0, ) 3 ∪[ 2 ,+∞) D.

【解析】选 C.f(x)在定义域(-∞,+∞)上是单调函数时, (1)函数的单调性是增函数时,可得当 x=0 时,(a2-1) eax≤ax2+1=1,即 a2-1≤1,解得- 2 ≤a≤ 2 , 因为 x≥0 时,y=ax2+1 是增函数,所以 a>0,
-2-

又因为 x<0 时,(a2-1)eax 是增函数,所以 a2-1>0,得 a<-1 或 a>1, 因此,实数 a 的取值范围是:1<a≤ 2 . (2)函数的单调性是减函数时,可得当 x=0 时,(a2-1)eax≥ax2+1=1,即 a2-1≥1,解得 a≤- 2 或 a≥ 2 . 因为 x≥0 时,y=ax2+1 是减函数,所以 a<0, 又因为 x<0 时,(a2-1)eax 是减函数,所以 a2-1>0,得 a<-1 或 a>1, 因此,实数 a 的取值范围是:a≤- 2 , 综上所述,得 a∈(-∞,- 2 ]∪(1, 2 ],故选 C. 6.(2015·山东师大附中模拟)方程 x3-6x2+9x-10=0 的实根个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 【解析】选 C.设 f(x)=x3-6x2+9x-10,f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),由此可知函数的极大值为 f(1)=-6<0,极小 值为 f(3)=-10<0,所以方程 x3-6x2+9x-10=0 的实根个数为 1 个. 7.定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则 ( ) A.f(2)<f(5)<f(8) B.f(5)<f(8)<f(2) C.f(5)<f(2)<f(8) D.f(8)<f(2)<f(5) 【解题提示】利用奇 偶性、周期性将待比较函数值调节到同一个单调区间上,再比较大小. 【解析】选 B.因为 f(x-4)=-f(x),所以 f(x+8)=f(x), 所以函数 f(x)是周期函数,且周期为 8, 所以 f(8)=f(0),f(5)=-f(1)=f(-1), 因为奇函数 f(x)在区间[0,2]上是增函数, 所以函数 f(x)在区间[-2,2]上是增函数, 又因为-2<-1<0<2,所以 f(5)<f(8)<f(2). 8.(2015·长春模拟)已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x>0 时,不等式 f(x)+x·f′(x)<0 成立,若 a=30.2·f(30.2),b=(logπ 2)·f(logπ 2),

1 1 (log 2 ) ? f(log 2 ) 4 4 ,则 a,b,c 间的大小关系为( c=

)

A.c>b>a B.c>a>b C.b>a>c D.a>c>b 【解析】选 A.由题意知,设 F(x)=xf(x),当 x>0 时,F′(x)=[xf(x)]′=f(x)+ xf′(x)<0,即函数 F(x)在(0,+∞)上单调递减,又 y=f(x)在 R 上是偶函数 ,则 F(x)在 R 上是奇函数,从而 F(x)在 R

1 1 1 上单调递减,又 30.2>1,0<logπ 2<1,log2 4 <0,即 30.2>logπ 2>log2 4 ,所以 F(30.2)<F(logπ 2)<F(log2 4 ),即
a<b<c. 9.已知 f(x)满足 f(4)=f(-2)=1,f′(x)为导函数,且导函数 y=f′(x)的图象如图所示,则 f(x)<1 的解集是( A.(-2,0) B.(-2,4) C.(0,4) )

-3-

D.(-∞,-2)∪(4,+∞) 【解析】 选 B.由 f′(x)的图象知,当 x<0 时,f′(x)<0,函数 y=f(x)是减函数,当 x>0 时,f′(x)>0,函数 y=f(x)是增 函数,且 f(4)=f(-2)=1,从而 f(x)<1 的解集是(-2,4).

? ?log 2 ? 5 ? x ? , x ? 1, ? ?f ? x ? 1? ? 1, x ? 1, 则 f(2 014)=( 10.(2015·双鸭山模拟)已知函数 f(x)= ?
A.2 012 B.2 013 C.2 014 D.2 015 【解析】选 D.f(2 014)=f(2 013)+1=f(2 012)+2=…=f(1)+2 013=log24+2 013= 2 015.

)

1

11.设 f(x)是定义域为 R 的偶函数,且对任意实数 x,恒有 f(x+1)=-f(x),已知 x∈(0,1)时,f(x)=log 2 (1-x),则函数 f(x) 在(1,2)上( ) A.是增函数,且 f(x)<0 B.是增函数,且 f(x)>0 C.是减函数,且 f(x)<0 D.是减函数,且 f(x)>0 【解析】选 D.由 f(x+1)=-f(x)得 f(x+2)=f(x),又 f(x)是定义域为 R 的偶函数,则 f(x+2)=f(x)=f(-x),则直线 x=1
1

是函数 f(x)的图象的一条对称轴,又 x∈(0,1)时,f(x)=log 2 (1-x)是增函数,且 f(x)>0,则函数 f(x)在(1,2)上是减函 数,且 f(x)>0.

x?2 12.(2015·忻州模拟)设函数 f(x)=log3 x -a 在(1,2)内有零点,则实数 a 的取值范围是(
A.(0,log32) C.(-1,-log32) B.(log32,1) D.(1,log34)

)

? ?f ?1? ? log 33 ? a ? 0, x?2 2 ? (1 ? ) ?f ? 2 ? ? log 3 2 ? a ? 0, 解 x x 【解析】 选 B.f(x)=log3 -a=log3 -a,则函数 f(x)在(1,2)上是减函数,从而 ?
得 log32<a<1. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上) 13.由两曲线 y=sin x(x∈[0,2π ])和 y=cos x(x∈[0,2π ])所围成的封闭图形的面积为

.

? 5? 【解析】由 sin x=cos x 得 tan x=1,所以 x= 4 或 x= 4 ,则所求面积为

5 ? 4 ?? S= 4 (sin x-cos x)dx

5 ? 4 ? =(-cos x-sin x) 4 =2 2 .
答案:2 2
-4-

14.(2015·淄博模拟)已知函数 f(x)为奇函数,当 x>0 时,f(x)=log2x,则满足不等式 f(x)>0 的 x 的取值范围 是 . 【解析】由 log2x>0 得 x>1,由 log2x<0 得 0<x<1, 又函数 f(x)为奇函数,则 f(x)>0 的解集为(-1,0)∪(1,+∞). 答案:(-1,0)∪(1,+∞)

2 1 ( )x 15.(2015·哈尔滨模拟)已知函数 f(x)=x2+ x ,g(x)= 2 -m.若?x1∈[1,2],?x2∈[-1,1]使 f(x1)≥g(x2),则实
数 m 的取值范围是 . 【解题提示】根据 f(x)min≥g(x)min 求解. 【解析】?x1∈[1,2],?x2∈[-1,1],

2 1 ( )x 使 f(x1)≥g(x2),只需 f(x)=x2+ x 在[1,2]上的最小值大于等于 g(x)= 2 -m 在[-1,1]上的最小值,因为 f′
3 2 2 x ?1 2 x2 (x)=2x- x = ≥0 在[1,2]上成立,且

?

?

f′(1)=0,

2 所以 f(x)=x2+ x 在[1,2]上单调递增, 12 ?
所以 f(x)min=f(1)=

2 1 =3.

1 ( )x 因为 g(x)= 2 -m 是单调递减函数, 1 所以 g(x)min=g(1)= 2 -m, 1 5 所以 2 -m≤3,即 m≥- 2 . 5 答案:[- 2 ,+∞)
16.已知定义在区间[0,1]上的函数 y=f(x)图象如图所示,对于满足 0<x1<x2<1 的任意 x1,x2 给出下列结论: ①f(x2)-f(x1)>x2-x1;

f ? x1 ? ? f ? x 2 ? x ? x2 ? f( 1 ) 2 2 ②x2f(x1)>x1f(x2);③ .
其中正确结论的序号是 .(把所有正确结论的序号都填写在横线上)

-5-

f ? x 2 ? ? f ? x1 ? x 2 ? x1 【解析】由 f(x2)-f(x1)>x2-x1 可得 >1,即两点(x1,f(x1))与(x2,f(x2))连线的斜率大于 1,显然① f ? x1 ? f ? x 2 ? ? x x 2 ,即表示两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))与原点连线的斜率的大小,可以 1 不正确;由 x2f(x1)>x1f(x2)得
看出结论②正确;结合函数图象,容易判断③的结论是正确的. 答案:②③ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

1 17.(10 分)设函数 f(x)=log3(9x)·log3(3x), 9 ≤x≤9.
(1)若 m=log3x,求 m 的取值范围. (2)求 f(x)的最值,并给出取最值时对应的 x 的值.

1 【解析】(1)因为 9 ≤x≤9,m=log3x 为增函数,
所以-2≤log3x≤2,即 m 的取值范围是[-2,2]. (2)由 m=log3x 得:f(x)=log3(9x)·log3(3x) =(2+log3x)·(1+log3x)

3 1 (m ? ) 2 ? 2 4, =(2+m)·(1+m)= 3 又因为-2≤m≤2,所以当 m=log3x=- 2 , 1 3 即 x= 9 时 f(x)取得最小值- 4 ,
当 m=log3x=2,即 x=9 时 f(x)取得最大值 12. 18.(12 分)(2015·湛江模拟)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x,恒有 f(x+2)=-f(x).当 x∈[0,2] 时,f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数. (2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式. (3)求 f(0)+ f(1)+f(2)+…+f(2 015)的值. 【解析】(1)因为 f(x+2)=-f(x), 所以 f(x+4)=-f(x+2)=f(x). 所以 f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)当 x∈[-2,0]时,-x∈[0,2]. 由已知得 f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2, 又 f(x)是奇函数,所以 f(-x)=-f(x)=-2x-x2, 所以 f(x)=x2+2x. 又当 x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0], 所以 f(x-4)=(x-4)2+2(x-4). 又 f(x)是周期为 4 的周期函数,
-6-

所以 f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.从而求得当 x∈[2,4]时,f(x)=x2-6x+8. (3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3 )=-1. 又 f(x)是周期为 4 的周期函数, 所以 f(0)+f(1)+f(2)+f(3) =f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=… =f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011) =f(2 012)+f(2 013)+f(2 014)+f(2 015)=0. 所以 f(0)+f(1) +f(2)+…+f(2 015)=0. 【加固训练】已知定义在实数集上的函数 f(x) 满足 xf(x) 为偶函数 ,f(x+2)=-f(x)(x ∈ R), 且当 1 ≤ x ≤ 3 时,f(x)=(2-x)3. (1)求-1≤x≤0 时,函数 f(x)的解析式. (2)求 f(2 016),f(2 016.5)的值. 【解析】(1)由 xf(x)为偶函数可知:f(x)是奇函数.设-1≤x≤0,则 1≤x+2≤2, 又因为 f(x+2)=-f(x),所以 f(x)=x3. (2)f(x+2)=-f(x)?f(x)=-f(x-2), 所以 f(x+2)=f(x-2), 所以 f(x)是周期为 4 的周期函数,

1 所以 f(2 016)=f(0)=0,f(2 016.5)=f(0.5)= 8 . 1 19.(12 分)(2015·重庆模拟)如图,在半径为 30 cm 的 4 圆形(O 为圆心)铝皮上截取一
块矩形材料 OABC,其中点 B 在圆弧上,点 A,C 在两半径上,现将此矩形铝皮 OABC 卷 成一个以 AB 为母线的圆柱形罐子的侧面 ( 不计剪裁和拼接损耗 ), 设矩形的边长 AB=x cm,圆柱的体积为 V cm3. (1)写出体积 V 关于 x 的函数解析式. (2)当 x 为何值时,才能使做出的圆柱形罐子的体积 V 最大? 【解题提示】(1)根据圆柱的体积公式求解. (2)利用导数求解. 【解析】(1)连接 OB,因为 AB=x cm, 所以 OA= 900 ? x
2

cm,

设 圆 柱 的 底 面 半 径 为 r cm, 则

900 ? x 2 =2 π r, 即 4 π 2r2=900-x2, 所 以 V= π r2x=

900 ? x 2 900x ? x 3 2 4? π · 4? ·x= ,其中 0<x<30.
-7-

900x ? x 3 900 ? 3x 2 4? 4? (2)由(1)知 V= (0<x<30),则 V′= . 900 ? 3x 2 4? 由 V′= =0,得 x=10 3 , 900x ? x 3 4? 因此 V= 在(0,10 3 )上是增函数,
在(10 3 ,30)上是减函数.所以当 x=10 3 时,V 有最大值.
1

20.(12 分)已知函数 f(x)=log 2 (x2-2ax+3). (1)若 f(x)的定义域为 R,求 a 的取值范围. (2)若 f(-1)=-3,求 f(x)的单调区间. (3)是否存在实数 a,使 f(x)在(-∞,2)上为增函数?若存在,求出 a 的范围?若不存在,说明理由. 【解析】(1)因为 f(x)的定义域为 R, 所以 x2-2ax+3>0 对 x∈R 恒成立, 因此必有Δ <0,即 4a2-12<0.解得- 3 <a< 3 . 故 a 的取值范围是(- 3 , 3 ).
1

( 2)由 f(-1)=-3 得 log 2 (4+2a)=-3. 所以 4+2a=8,所以 a=2.
1

这时 f(x)=log 2 (x2-4x+3), 由 x2-4x+3>0 得 x>3 或 x<1, 故函数定义域为(-∞,1)∪(3,+∞). 令 g(x)=x2-4x+3.
1

则 g(x)在(-∞,1)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增,又 y=log 2 x 在(0,+∞)上单调递减, 所以 f(x)的单调递增区间是(-∞,1),单调递减区间是(3,+∞). (3)不存在实数 a,使 f(x)在(-∞,2)上为增函数,理由如下: 令 g(x)=x2-2ax+3,要使 f(x)在(-∞,2)上为增函数,应使 g(x)在(-∞,2)上单调递减,且恒大于 0.

? ?a ? 2, ?a ? 2, ? ? ?g ? 2 ? ? 0, ?7 ? 4a ? 0, 因此 ? 即 a 无解.
所以不存在实数 a,使 f(x)在(-∞,2)上为增函数. 21.(12 分)(2015·兰州模拟)已知 f(x)=xln x,g(x)=-x2+mx-3. (1)求 f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值. (2)若对一切 x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)成立,求实数 m 的取值范围.

1 【解析】(1)f′(x)=ln x+1,令 f′(x)=0,得 x= e .
-8-

1 当 x∈(0, e ),f′(x)<0,f(x)单调递减; 1 当 x∈( e ,+∞),f′(x)>0,f(x)单调递增. 1 因为 t>0,t+2>2> e , 1 1 1 ①当 0<t< e 时,f(x)min=f( e )=- e ; 1 ②当 t≥ e 时,f(x)min=f(t)=tln t.

1 ? 1 ? ,0 ? t ? , ? ? e e ? ? tlnt, t ? 1 . ? e 所以 f(x)min= ?
3 3 (2)由 2xln x≥-x2+mx-3 得 m≤2ln x+x+ x .设 h(x)=2ln x+x+ x (x> 0),则

? x ? 3?? x ? 1?
h′(x)=

x2

.令 h′(x)=0,得 x=1 或 x=-3(舍),当 x∈(0,1)时,

h′(x)<0,h(x)单调递减;当 x∈(1,+∞)时,h′(x)>0,h( x)单调递增,所以 h(x)min=h(1)=4.所以 m≤h(x)min=4. 【误区警示】解答本题第(2)问时,易忽略 x>0 的条件,导致求导数的方程时产生增根.

ex 2 22.(12 分)(2015·贵阳模拟)已知函数 f(x)= ax ? x ? 1 ,其中 a∈R.
(1)若 a=0,求函数 f(x)的定义域和极值. (2)当 a=1 时,试确定函数 g(x)=f(x)-1 的零点个数,并证明.

xe x ex 2 ? x ? 1? . 【解析】(1)函数 f(x)= x ? 1 的定义域为{x|x∈R,且 x≠-1},f′(x)=
令 f′(x)=0,得 x=0.当 x 变化时,f′(x)和 f(x)的变化情况如下: x f′(x) f(x) (-∞,-1) 单调递减 (-1,0) 单调递减 0 0 极小值 (0,+∞) + 单调递增

所以 f(x)的单调减区间为(-∞,-1),(-1,0);单调增区间为(0,+∞). 故当 x=0 时,函数 f(x)有极小值 f(0)=1.

ex 2 (2)结论:函数 g(x)存在两个零点.证明过程如下:由题意,函数 g(x)= x ? x ? 1 -1,
-9-

1 3 (x ? ) 2 ? 2 4 >0.所以函数 g(x)的定义域为 R.求导 ,得 g′(x)= 因为 x2+x+1=

ex ? x 2 ? x ? 1? ? e x ? 2x ? 1?

? x 2 ? x ? 1?
x g′(x) g(x)

2

?

? x 2 ? x ? 1?
0 0

ex x ? x ? 1?
2

,

令 g′(x)=0,得 x1=0,x2=1,当 x 变化时,g(x)和 g′(x)的变化情况如下: (-∞,0) + 单调递增 (0,1) 单调递减 1 0 极小值 (1,+∞) + 单调递增

极大值

故函数 g(x)的单调减区间为(0,1);单调增区间为(-∞,0),(1,+∞). 当 x=0 时,函数 g(x)有极大值 g(0)=0;

e 当 x=1 时,函数 g(x)有极小值 g(1)= 3 -1.
因为函数 g(x)在(-∞,0)单调递增,且 g(0)=0,所以对于任意 x∈(-∞,0),g(x)≠0. 因为函数 g(x)在(0,1)单调递减,且 g(0)=0,所以对于任意 x∈(0,1),g(x)≠0.

e e2 因为函数 g(x)在(1,+∞)单调递增,且 g(1)= 3 -1<0,g(2)= 7 -1>0,
所以函数 g(x)在(1,+∞)上存在唯一 x0,使得 g(x0)=0, 故函数 g(x)存在两个零点(即 0 和 x0).

- 10 -


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