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2016届高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查 必修部分27 数系的扩充与复数的引入


开卷速查(二十七)

数系的扩充与复数的引入
)

A 级 基础巩固练 1.[2014· 重庆]复平面内表示复数 i(1-2i)的点位于( A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限

解析:复数 i(1-2i)=2+i,在复平面内对应的点的坐标是(2,1), 位于第一象限. 答案:A 2.[2014· 山东]已知 a,b∈R,i 是虚数单位,若 a-i 与 2+bi 互 为共轭复数,则(a+bi)2=( A.5-4i C.3-4i ) B.5+4i D.3+4i

解析:根据已知得 a=2,b=1,所以(a+bi)2=(2+i)2=3+4i. 答案:D 3.[2014· 安徽]设 i 是虚数单位, z 表示复数 z 的共轭复数.若 z z =1+i,则 i +i·z =( A.-2 C.2 ) B.-2i D.2i

z 解析:因为 z=1+i,所以 i +i·z =(-i+1)+i+1=2. 答案:C 7+i 4.[2014· 天津]i 是虚数单位,复数 =( 3+4i A.1-i 17 31 C.25+25i B.-1+i 17 27 D.- 7 + 7 i )

7+i ?7+i??3-4i? 25-25i 解析: = = 25 =1-i.选 A. 3+4i ?3+4i??3-4i? 答案:A z+i 5.[2014· 湖南]满足 z =i(i 为虚数单位)的复数 z=( 1 1 A.2+2i 1 1 C.-2+2i 1 1 B.2-2i 1 1 D.-2-2i -i 1 = 1-i 2 )

解析:去掉分母,得 z+i=zi,所以(1-i)z=-i,解得 z= 1 -2i,选 B. 答案:B

6.[2014· 江西] z 是 z 的共轭复数,若 z+ z =2,(z- z )i=2(i 是 虚数单位),则 z=( A.1+i C.-1+i ) B.-1-i D.1-i

解析:设 z=a+bi(a,b∈R),则 z =a-bi,又 z+ z =2,即(a+ bi)+(a-bi)=2,所以 2a=2,解得 a=1.又(z- z )i=2,即[(a+bi)-(a -bi)]· i=2,所以 bi2=1,解得 b=-1.所以 z=1-i. 答案:D 7.已知 __________. a+2i 解析:因为 i =b+i,所以 2-ai=b+i.由复数相等的充要条件 得 b=2,a=-1, a+2i i =b+i(a,b∈R),其中 i 为虚数单位,则 a+b=

故 a+b=1. 答案:1 8.在复平面上,复数 3 对应的点到原点的距离为__________. ?2-i?2

? 3 ? 3 3 解析:由题意可知??2-i?2?= 2= . 5 ? ? |2-i|

3 答案:5 9.若复数 z 满足(1+2i)z=|3+4i|(i 为虚数单位),则复数 z 等于 __________. 解析:∵ (1+2i)z=|3+4i|=5,∴z= 2i. 答案:1-2i 10.实数 m 分别取什么数值时,复数 z=(m2+5m+6)+(m2-2m -15)i (1)与复数 2-12i 相等; (2)与复数 12+16i 互为共轭复数; (3)对应的点在 x 轴上方. 解析:(1)根据复数相等的充要条件得
2 ? ?m +5m+6=2, ? 2 解得 m=-1. ?m -2m-15=-12, ?

5?1-2i? 5 = = 1- 1+2i ?1+2i??1-2i?

(2)根据共轭复数的定义得
2 ? ?m +5m+6=12, ? 2 解得 m=1. ?m -2m-15=-16, ?

(3)根据复数 z 对应点在 x 轴上方可得 m2-2m-15>0,解得 m< -3 或 m>5.

B级

能力提升练

11.已知复数 z 对应的向量如图所示,则复数 z+1 所对应的向量 正确的是( )

A

B

C

D 解析:由题图可知 z=-2+i,所以 z+1=-1+i,则复数 z+1 所 对应的向量的坐标为(-1,1).故 A 正确. 答案:A y 12.已知复数 z=x+yi(x,y∈R),且|z-2|= 3,则x的最大值为 __________.

解析:|z-2|= ?x-2?2+y2= 3, ∴(x-2)2+y2=3.
?y? 3 由图可知?x?max= 1 = 3. ? ?

答案: 3 3 2 13.复数 z1= +(10-a2)i,z2= +(2a-5)i,若 z 1+z2 是 a+5 1-a 实数,求实数 a 的值. 解析: z 1+z2= 3 2 +(a2-10)i+ +(2a-5)i a+5 1-a

? 3 2 ? =?a+5+1-a?+[(a2-10)+(2a-5)]i ? ?



a-13 +(a2+2a-15)i. ?a+5??a-1?

∵ z 1+z2 是实数, ∴a2+2a-15=0,解得 a=-5 或 a=3.

∵a+5≠0,∴a≠-5,故 a=3. z 14.已知 z 是复数,z+2i, 均为实数(i 为虚数单位),且复数(z 2-i +ai)2 在复平面上对应的点在第一象限,求实数 a 的取值范围. 解析:设 z=x+yi(x,y∈R), 则 z+2i=x+(y+2)i, 由题意得 y=-2. ∵ x-2i 1 z = = (x-2i)(2+i) 2-i 2-i 5

1 1 =5(2x+2)+5(x-4)i. 由题意得 x=4,∴z=4-2i. ∴(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i. 由于(z+ai)2 在复平面上对应的点在第一象限,
2 ? ?12+4a-a >0, ∴? 解得 2<a<6. ?8?a-2?>0, ?

∴实数 a 的取值范围是(2,6).


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