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模块综合测评


模块综合测评
(时间 120 分钟,满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.过点 A(3,-4),B(-2,m)的直线 l 的斜率为-2,则 m 的值为( A.6 C.2 【解析】 【答案】 由题意知 kAB= A ) B.1 D.4 m+4 =-2,∴m=6. -2

-3 )

2.在 x 轴、y 轴上的截距分别是-2、3 的直线方程是( A.2x-3y-6=0 C.3x-2y+6=0 B.3x-2y-6=0 D.2x-3y+6=0

【解析】 由直线的截距式得,所求直线的方程为 6=0. 【答案】 C

x y +3=1,即 3x-2y+ -2

32 3.已知正方体外接球的体积是 3 π,那么正方体的棱长等于( A.2 2 4 2 C. 3 【解析】 2 2 B. 3 4 3 D. 3

)

4 32 设正方体的棱长为 a,球的半径为 R,则3πR3= 3 π,∴R=2.又

4 3 ∵ 3a=2R=4,∴a= 3 . 【答案】 D

4.关于空间直角坐标系 Oxyz 中的一点 P(1,2,3)有下列说法: ①点 P 到坐标原点的距离为 13;

1

3? ?1 ②OP 的中点坐标为?2,1,2?; ? ? ③与点 P 关于 x 轴对称的点的坐标为(-1,-2,-3); ④与点 P 关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2,-3); ⑤与点 P 关于坐标平面 xOy 对称的点的坐标为(1,2,-3). 其中正确的个数是( A.2 C.4 ) B.3 D.5

【解析】 点 P 到坐标原点的距离为 12+22+32= 14,故①错;②正确; 与点 P 关于 x 轴对称的点的坐标为(1,-2,-3),故③错;与点 P 关于坐标原 点对称的点的坐标为(-1,-2,-3),故④错;⑤正确,故选 A. 【答案】 A

5.如图 1,在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,M、N 分别是棱 BB1、B1C1 的中 点,若∠CMN=90° ,则异面直线 AD1 和 DM 所成角为( )

图1 A.30° C.60° 【解析】 B.45° D.90° 因为 MN⊥DC,MN⊥MC,

所以 MN⊥平面 DCM. 所以 MN⊥DM. 因为 MN∥AD1,所以 AD1⊥DM. 【答案】 D

6.(2015· 福建高考)某几何体的三视图如图 2 所示,则该几何体的表面积等 于( )

2

图2 A.8+2 2 C.14+2 2 B.11+2 2 D.15

【解析】 由三视图知, 该几何体是一个直四棱柱, 上、 下底面为直角梯形, 如图所示.

直角梯形斜腰长为 12+12= 2,所以底面周长为 4+ 2,侧面积为 2×(4 1 + 2)=8+2 2,两底面的面积和为 2×2×1×(1+2)=3,所以该几何体的表面 积为 8+2 2+3=11+2 2. 【答案】 B

7.已知圆 x2+y2+2x+2y+k=0 和定点 P(1,-1),若过点 P 的圆的切线有 两条,则 k 的取值范围是( A.(-2,+∞) C.(-2,2) ) B.(-∞,2) D.(-∞,-2)∪(2,+∞)

【解析】 因为方程 x2+y2+2x+2y+k=0 表示一个圆, 所以 4+4-4k>0, 所以 k<2.由题意知点 P(1,-1)在圆外,所以 12+(-1)2+2×1+2×(-1)+k> 0,解得 k>-2,所以-2<k<2. 【答案】 C

8.在三棱柱 ABCA1B1C1 中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点 D 是侧面 BB1C1C 的中心,则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是( A.30° B.45° )

3

C.60° 【解析】

D.90° 如图,取 BC 的中点 E,连接 DE、AE、AD.依题设知 AE⊥平面

3 BB1C1C.故∠ADE 为 AD 与平面 BB1C1C 所成的角. 设各棱长为 2, 则 AE= 2 ×2 = 3,DE=1.

AE 3 ∵tan∠ADE=DE= 1 = 3, ∴∠ADE=60° ,故选 C. 【答案】 C

9.(2015· 开封高一检测)若 m、n 为两条不重合的直线,α、β 为两个不重合 的平面,则下列说法中正确的是( )

①若直线 m、n 都平行于平面 α,则 m、n 一定不是相交直线; ②若直线 m、n 都垂直于平面 α,则 m、n 一定是平行直线; ③已知平面 α、β 互相垂直,且直线 m、n 也互相垂直,若 m⊥α,则 n⊥β; ④若直线 m、n 在平面 α 内的射影互相垂直,则 m⊥n. A.② C.①③ 【解析】 B.②③ D.②④ 对于①,m 与 n 可能平行,可能相交,也可能异面;

对于②,由线面垂直的性质定理可知,m 与 n 一定平行,故②正确; 对于③,还有可能 n∥β;对于④,把 m,n 放入正方体中,如图,取 A1B 为 m,B1C 为 n,平面 ABCD 为平面 α,则 m 与 n 在 α 内的射影分别为 AB 与 BC, 且 AB⊥BC.而 m 与 n 所成的角为 60° ,故④错.因此选 A.

4

【答案】

A

10.(2015· 全国卷Ⅱ)已知三点 A(1,0),B(0, 3),C(2, 3),则△ABC 外接 圆的圆心到原点的距离为( 5 A.3 2 5 C. 3 【解析】 ) 21 B. 3 4 D.3

在坐标系中画出△ABC(如图),利用两点间的距离公式可得|AB|=|AC|=|BC| =2(也可以借助图形直接观察得出), 所以△ABC 为等边三角形. 设 BC 的中点为 2 2 3 D, 点 E 为外心, 同时也是重心. 所以|AE|=3|AD|= 3 , 从而|OE|= |OA|2+|AE|2 = 4 21 1+3= 3 ,故选 B. 【答案】 B

11.(2016· 重庆高一检测)已知 P(x,y)是直线 kx+y+4=0(k>0)上一点,PA 是圆 C:x2+y2-2y=0 的一条切线,A 是切点,若 PA 长度的最小值为 2,则 k 的值是( ) 【导学号:09960153】 A.3 C.2 2 【解析】 21 B. 2 D.2 圆 C:x2+y2-2y=0 的圆心是(0,1),半径是 r=1,

∵PA 是圆 C:x2+y2-2y=0 的一条切线,A 是切点,PA 长度的最小值为 2, ∴圆心到直线 kx+y+4=0 的最小距离为 5, 由点到直线的距离公式可得 ∵k>0,∴k=2,故选 D. |1+4| = 5, k2+1

5

【答案】

D

12.(2016· 德州高一检测)将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使 得 BD=a,则三棱锥 DABC 的体积为( 2 A. 12 a3 2 C. 4 a3 【解析】 a3 B.12 a3 D. 6 取 AC 的中点 O,如图, )

2 则 BO=DO= 2 a, 又 BD=a,所以 BO⊥DO,又 DO⊥AC, 所以 DO⊥平面 ACB, 1 VDDO ABC= S△ABC· 3 1 1 2 2 =3×2×a2× 2 a= 12 a3. 【答案】 A

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在题中的横 线上) 13.已知两条平行直线的方程分别是 2x+3y+1=0,mx+6y-5=0,则实 数 m=________. 【解析】 【答案】 2 3 1 由于两直线平行,所以m=6≠ ,∴m=4. -5 4

14.一个横放的圆柱形水桶,桶内的水漫过底面周长的四分之一,那么当桶 直立时,水的高度与桶的高度的比为________. 【解析】 x. 设圆柱形水桶的底面半径为 R,高为 h,桶直立时,水的高度为

6

?1 2 1 2? 横放时水桶底面在水内的面积为?4πR -2R ?,水的体积为 ? ? 1 ? ?1 V 水=?4πR2-2R2?h. ? ? 直立时水的体积不变,则有 V 水=πR2x, ∴x∶h=(π-2)∶4π. 【答案】 (π-2)∶4π

15.已知一个等腰三角形的顶点 A(3,20),一底角顶点 B(3,5),另一顶点 C 的轨迹方程是________. 【解析】 设点 C 的坐标为(x,y),

则由|AB|=|AC|得 ?x-3?2+?y-20?2 = ?3-3?2+?20-5?2, 化简得(x-3)2+(y-20)2=225. 因此顶点 C 的轨迹方程为(x-3)2+(y-20)2=225(x≠3). 【答案】 (x-3)2+(y-20)2=225(x≠3)

16.(2015· 湖南高考)若直线 3x-4y+5=0 与圆 x2+y2=r2(r>0)相交于 A,B 两点,且∠AOB=120° (O 为坐标原点),则 r=__________. 【解析】 如图,过点 O 作 OD⊥AB 于点 D,则|OD|= 5 =1. 3 +?-4?2
2

∵∠AOB=120° ,OA=OB, ∴∠OBD=30° , ∴|OB|=2|OD|=2,即 r=2. 【答案】 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)直线 l1 过点 A(0,1),l2 过点 B(5,0),如果 l1∥l2 且 l1

7

与 l2 的距离为 5,求 l1,l2 的方程. 【解】 若直线 l1,l2 的斜率都不存在,则 l1 的方程为 x=0,l2 的方程为 x

=5,此时 l1,l2 之间距离为 5,符合题意; 若 l1,l2 的斜率均存在,设直线的斜率为 k,由斜截式方程得直线 l1 的方程 为 y=kx+1,即 kx-y+1=0, 由点斜式可得直线 l2 的方程为 y=k(x-5),即 kx-y-5k=0,在直线 l1 上取 点 A(0,1),则点 A 到直线 l2 的距离 d= 12 ∴k= 5 . ∴l1 的方程为 12x-5y+5=0,l2 的方程为 12x-5y-60=0. 综上知,满足条件的直线方程为 l1:x=0,l2:x=5 或 l1:12x-5y+5=0,l2:12x-5y-60=0. 18.(本小题满分 12 分)已知圆 C1:x2+y2-4x+2y=0 与圆 C2:x2+y2-2y -4=0. (1)求证:两圆相交; (2)求两圆公共弦所在直线的方程. 【导学号:09960154】 【解】 (1)证明:圆 C1:x2+y2-4x+2y=0 与圆 C2:x2+y2-2y-4=0 化 |1+5k| 2 2 2=5,∴25k +10k+1=25k +25, 1+k

为标准方程分别为圆 C1:(x-2)2+(y+1)2=5 与圆 C2:x2+(y-1)2=5,则圆心 坐标分别为 C1(2,-1)与 C2(0,1),半径都为 5,故圆心距为 ?2-0?2+?-1-1?2 =2 2,又 0<2 2<2 5,故两圆相交. (2)将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在直线的方程, 即(x2+y2-4x +2y)-(x2+y2-2y-4)=0,得 x-y-1=0. 19.(本小题满分 12 分)如图 3,在三棱锥 ABPC 中,AP⊥PC,AC⊥BC, M 为 AB 中点,D 为 PB 中点,且△PMB 为正三角形.

图3
8

(1)求证:DM∥平面 APC; (2)求证:平面 ABC⊥平面 APC. 【证明】 (1)∵M 为 AB 的中点,D 为 PB 的中点,

∴MD∥AP. 又∵DM?平面 APC,AP?平面 APC, ∴DM∥平面 APC. (2)∵△PMB 为正三角形,D 为 PB 中点, ∴MD⊥PB.又∵MD∥AP,∴AP⊥PB. 又∵AP⊥PC,PC∩PB=P,∴AP⊥平面 PBC. ∵BC?平面 PBC,∴AP⊥BC. 又∵AC⊥BC,且 AC∩AP=A,∴BC⊥平面 APC. 又∵BC?平面 ABC,∴平面 ABC⊥平面 APC. 20.(本小题满分 12 分)已知△ABC 的顶点 A(0,1),AB 边上的中线 CD 所在 的直线方程为 2x-2y-1=0,AC 边上的高 BH 所在直线的方程为 y=0. (1)求△ABC 的顶点 B、C 的坐标; (2)若圆 M 经过 A、B 且与直线 x-y+3=0 相切于点 P(-3,0),求圆 M 的方 程. 【解】 (1)AC 边上的高 BH 所在直线的方程为 y=0,所以 AC 边所在直线

的方程为 x=0, 又 CD 边所在直线的方程为 2x-2y-1=0, 1? ? 所以 C?0,-2?, ? ? 设 B(b,0), ?b 1? 则 AB 的中点 D?2,2?, ? ? 代入方程 2x-2y-1=0, 解得 b=2, 所以 B(2,0). (2)由 A(0,1),B(2,0)可得,圆 M 的弦 AB 的中垂线方程为 4x-2y-3=0,① 由与 x-y+3=0 相切,切点为(-3,0)可得,圆心所在直线方程为 y+x+3 =0,②
9

5? ? 1 ①②联立可得,M?-2,-2?, ? ? 半径|MA|= 1 49 50 4+ 4 = 2 ,

? 1? ? 5? 25 所以所求圆方程为?x+2?2+?y+2?2= 2 . ? ? ? ? 21.(本小题满分 12 分)如图 4,在三棱柱 ABCA1B1C1 中,侧棱垂直于底面, AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F 分别是 A1C1,BC 的中点.

图4 (1)求证:平面 ABE⊥平面 B1BCC1; (2)求证:C1F∥平面 ABE; (3)求三棱锥 EABC 的体积. 【解】 (1)证明:在三棱柱 ABCA1B1C1 中,

BB1⊥底面 ABC,所以 BB1⊥AB. 又因为 AB⊥BC, 所以 AB⊥平面 B1BCC1, 又 AB?平面 ABE, 所以平面 ABE⊥平面 B1BCC1. (2)证明:取 AB 的中点 G,连接 EG,FG. 因为 E,F 分别是 A1C1,BC 的中点, 1 所以 FG∥AC,且 FG=2AC. 因为 AC∥A1C1,且 AC=A1C1, 所以 FG∥EC1,且 FG=EC1,
10

所以四边形 FGEC1 为平行四边形.所以 C1F∥EG. 又因为 EG?平面 ABE,C1F?平面 ABE, 所以 C1F∥平面 ABE. (3)因为 AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC, 所以 AB= AC2-BC2= 3. 1 1 1 3 所以三棱锥 EABC 的体积 V=3S△ABC· AA1=3×2× 3×1×2= 3 . 22.(本小题满分 12 分)已知圆 M 过两点 A(1,-1),B(-1,1),且圆心 M 在 x+y-2=0 上. (1)求圆 M 的方程; (2)设 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点,PC、PD 是圆 M 的两条切线,C、 D 为切点,求四边形 PCMD 面积的最小值. 【导学号:09960155】 【解】 (1)法一 线段 AB 的中点为(0,0),其垂直平分线方程为 x-y=0.

?x-y=0, 解方程组? ?x+y-2=0. 所以圆 M 的圆心坐标为(1,1), 半径 r= ?1-1?2+?-1-1?2=2. 故所求圆 M 的方程为(x-1)2+(y-1)2=4. 法二 设圆 M 的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,(r>0),

2 2 2 根据题意得??-1-a? +?1-b? =r ,

?

?1-a?2+?-1-b?2=r2,

?a+b-2=0.

解得 a=b=1,r=2. 故所求圆 M 的方程为(x-1)2+(y-1)2=4. (2)由题知,四边形 PCMD 的面积为 1 1 S=S△PMC+S△PMD=2|CM|· |PC|+2|DM|· |PD|. 又|CM|=|DM|=2,|PC|=|PD|, 所以 S=2|PC|,

11

而|PC|= |PM|2-|CM|2 = |PM|2-4, 即 S=2 |PM|2-4. 因此要求 S 的最小值,只需求|PM|的最小值即可, 即在直线 3x+4y+8=0 上找一点 P,使得|PM|的值最小,所以 |PM|min= |3×1+4×1+8| =3, 32+42

所以四边形 PCMD 面积的最小值为 S=2 |PM|2-4=2 32-4=2 5.

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