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拉格朗日中值定理和函数单调性


第六章 微分中值定理及其应用
第一节 拉格朗日中值定理和函 数的单调性 一 罗尔定理与拉格朗日定 理

罗尔(Rolle)定理 如果函数 f ( x ) 在闭区间 [a , b] 上连续,在开区间(a , b ) 内可导,且在区间端点的函数 值相等,即 f (a ) ? f (b ) ,那末在(a , b ) 内至少有一点 ?(a ? ? ? b )

,使得函数 f ( x ) 在该点的导数等于零,

f ' (? ) ? 0 即

证 ? f ( x ) 在 [a , b] 连续,必有最大值 M 和最小值 m.
(1) 若 M ? m. 则 f ( x) ? M . 由此得 f ?( x ) ? 0. ? ? ? (a , b), 都有 f ?(?) ? 0. ( 2) 若 M ? m . ? f (a ) ? f (b ), ? 最值不可能同时在端点 取得. 设 M ? f (a ), 则在 (a , b) 内至少存在一点? 使 f (? ) ? M .

从而?是f的极值点又f在(a, b)内可导, f在点?处 . 可导, 故由费马定理推知 ?(? ) ? 0 f

注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立. 例如, y ? x , x ? [?2,2];
在 [?2,2] 上除 f ?(0) 不存在外, 满足罗尔定理 的一切条件, 但在区间[-2, 内找不到一点能 2]
使 f ?( x ) ? 0. ?1 ? x , x ? (0,1] 又例如, y ? ? ; ?0, x ? 0

y ? x , x ? [0,1].

几何解释:
在曲线弧AB上至少有一 点C , 在该点处的切线是 水平的.

y
C
y ? f ( x)

o a

?1

?2

b

x

拉格朗日(Lagrange)中值定理 如果函数 f(x)在 闭区间[a , b]上连续,在开区间(a , b ) 内可导,那末在
(a , b ) 内至少有一点?(a ? ? ? b ) ,使等式

f (b ) ? f (a ) ? f ' (? )( b ? a ) 成立.

证 分析: 条件中与罗尔定理相差 f (a ) ? f (b).
f (b) ? f (a ) 弦AB方程为 y ? f (a ) ? ( x ? a ). b?a 曲线 f ( x ) 减去弦 AB,
所得曲线a , b两端点的函数值相等 .

作辅助函数
f (b) ? f (a ) F ( x ) ? f ( x ) ? [ f (a ) ? ( x ? a )]. b?a
F ( x ) 满足罗尔定理的条件 ,

则在(a , b)内至少存在一点 , 使得 F ?(?) ? 0. ?

f (b) ? f (a ) 即 f ?( ? ) ? ?0 b?a

或 f (b) ? f (a ) ? f ?(? )(b ? a ).

拉格朗日中值公式

几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有 一点 C , 在该点处的切 线平行于弦 AB.

y
y ? f ( x)

M
A

B

N

o a

?1

x

?2 b

x

注意 : 与罗尔定理相比条件中 去掉了 f (a ) ? f (b). f (b) ? f (a ) 结论亦可写成 ? f ?(? ). b?a 推论1 如果函数 f ( x ) 在区间 I 上的导数恒为零,

那末 f ( x ) 在区间 I 上是一个常数.

例1

? 证明 arcsin x ? arccos x ? ( ?1 ? x ? 1). 2
1 1? x
2

证 设 f ( x ) ? arcsin x ? arccos x , x ? [?1,1]
? f ?( x ) ? ? (? 1 1? x
2

) ? 0.

? f ( x) ? C ,

x ? [?1,1]

? ? 又 ? f (0) ? arcsin 0 ? arccos 0 ? 0 ? ? , 2 2 ? 即C ? . 2 ? ? arcsin x ? arccos x ? . 2

x 例2 证明当x ? 0时, ? ln(1 ? x ) ? x . 1? x 证 设 f ( x ) ? ln(1 ? x ),
f ( x )在[0, x]上满足拉氏定理的条件,
? f ( x ) ? f (0) ? f ?(? )( x ? 0), (0 ? ? ? x )

1 ? f (0) ? 0, f ?( x ) ? , 由上式得 ln(1 ? x ) ? x , 1? x 1? ? 1 1 又?0 ? ? ? x 1? 1? ? ? 1? x ? ? 1, 1? x 1? ? x x x ? ? ? x, 即 ? ln(1 ? x ) ? x . 1? x 1? ? 1? x

推论2 若函数f和g均在区间I上可导, 且f ?( x) ? g ?( x), 则在区间I上f ( x)与g ( x)只相差某一常数即 , f ( x) ? g ( x) ? c (c为某一常数) 推论3 (导数极限定理 设函数f在点x0的某邻域 ) U ( x0 )内连续, 在U ( x0 )内可导, 且 lim f ?( x)极限存在,
? x ? x0

则f在点x0可导, 且f ?( x0 ) ? lim f ?( x).
x ? x0

二 单调函数

单调性的判别法
y

y ? f ( x) B
A

y

y ? f ( x)

o

a

b

x

o

x

定理 设函数 y ? f ( x)在 I上可导, 则f ( x)在I上

递增(减)的充要条件是 ?( x) ? 0(? 0). f

证 若f为增函数, 则对每一x0 ? I , 当x ? x0时, 有 f ( x) ? f ( x0 ) ? 0.令x ? x0 , 即得f ?( x0 ) ? 0. x ? x0 反之, 若f ( x)在区间I上恒有f ?( x0 ) ? 0, 则对任意 x1 , x2 ? I (设x1 ? x2 ), 应用拉格朗日定理 存在 ,

? ? ( x1 , x2 ) ? I , 使得 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ?(? )(x2 ? x1 ) ? 0
由此证得f在I上为增函数 .

定理 若函数f在(a, b)内可导, 则f在(a, b)内严格 递增(递减)的充要条件是: (i )对一切x ? (a, b), 有f ?( x) ? 0( f ?( x) ? 0); (ii )在(a, b)内的任何子区间上 ?( x)不恒为0. f
推论 设函数在区间 上可微, 若f ?( x) ? 0( f ?( x) ? 0), I 则f在I上严格递增 严格递减). (

单调区间求法
问题:如上例,函数在定义区间上不是单调的, 但在各个部分区间上单调.
定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 的,则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间 的分界点. 方法: 用方程 f ?( x ) ? 0的根及 f ?( x ) 不存在的点

来划分函数 f ( x )的定义区间 , 然后判断区间内导 数的符号.

. 例3 确定函数 f ( x) ? 2x3 ? 9x 2 ? 12x ? 3的单调区间

解 ? D : ( ??,?? ).
f ?( x ) ? 6 x 2 ? 18 x ? 12 ? 6( x ? 1)( x ? 2)
解方程f ?( x ) ? 0 得, x1 ? 1, x2 ? 2.
当 ? ? ? x ? 1时, f ?( x ) ? 0, ? 在(??,1]上单调增加; 当1 ? x ? 2时,

f ?( x ) ? 0, ? 在[1,2]上单调减少;

当2 ? x ? ??时, f ?( x ) ? 0, ? 在[2,??)上单调增加;
单调区间为 (?? ,1], [1,2], [ 2,?? ).

注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.
. y ? x 3 , y? x ?0 ? 0, 但在( ??,??)上单调增加 例如,

例4 当x ? 0时, 试证x ? ln(1 ? x )成立.
x . 证 设f ( x ) ? x ? ln(1 ? x ), 则 f ?( x ) ? 1? x

? f ( x )在[0,??)上连续, 且(0,??)可导,f ?( x ) ? 0,
? ? 在[0,??)上单调增加; f (0) ? 0,

?当x ? 0时,x ? ln(1 ? x ) ? 0, 即 x ? ln(1 ? x ).


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