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16届高三理科数学成都三诊考试试题和答案


成都市高 2 0 1 3 级高中毕业班第三次诊断性检测 数学 ( 理工类 ) 参考答案及评分意见
第 Ⅰ 卷  ( 选择题   共 5 0 分)

( 一、 选择题 : 本大题共 1 每小题 5 分 , 共5 0 小题 , 0 分) 1. C;  2. D;  3. A;  4. B;  5. C;  6. B;  7. A;  8. B;

 9. D;  1 0. A.

( 二、 填空题 : 本大题共 5 小题 , 每小题 5 分 , 共2 5 分)

第 Ⅱ 卷  ( 非选择题   共 1 0 0 分)

1 62 3+2 2 ; ; 1 1. ;  1 2.  1 3. 1 2;  1 4.  1 5. ②③④. 2 5 2 ( 三、 解答题 : 本大题共 6 小题 , 共7 5 分)

π? ? ? x+ ÷+ 3 ( 解: 1 6. Ⅰ) s i n 2 x +s i n2 f (x ) = 3 è 2? π? ? ? x+ ÷+ 3 . 3 分 s i n 2 x +c o s 2 x + 3 =2 s i n2 =3 è 6? π π π 由2 k π- ≤2 x+ ≤2 k π+ ( k ∈ Z), 2 6 2 π π 得k π- ≤ x ≤k π+ ( k ∈ Z). 3 6 π πù é ∴ 函数 f (x ) 的单调递增区间为 ê k ∈ Z) . k π- , k π+ ú ê ú ( ? 3 6? 6 分 π? 1 ? ? A+ ÷= ( , 由( 即s Ⅱ) Ⅰ) i n2 . f (A ) =1+ 3 , è 6? 2 π π 1 3 π 由 0< A < π? A+ . <2 < 6 6 6 π 5 π π , 8 分 即A = . ∴2 A+ = 6 6 3 1 ∵s i n B =2 s i n C, ∴b =2 c. 0分
2 2 ∵ a2 = b b c c o s A, ∴b =2 3 . +c -2 ( 解: 由已知 , 在三棱台 D 1 7. Ⅰ) E F -A B C 中, A B =2 D E, D E E F F D 1 ∴ = = = . A B B C C A 2 ∵ G, H 分别为 A C, B C 的中点 , ∴A B ∥ GH , E F ∥ BH , E F =BH . ∴B E ∥ HF . ∵A B ? 平面 GHF , B E ? 平面 GHF ,   GH ? 平面 GHF , HF ? 平面 GHF ,

1 2分

数 学 “三 诊 ”考 试 题 (理 )答 案 第 1 页 (共 4 页 )

3 分 ∴A B ∥ 平面 GHF , B E ∥ 平面 GHF . , , 又A 平面 B ∩B E =B A BB E? A B E D. 6 分 ∴ 平面 A B E D ∥ 平面 GHF . ( ) , , 由已知 底面 是以 为斜边的直角三角形 即 又F Ⅱ A B C A B A C ⊥B C, C ⊥ 底面 , , , , , , 分别以 所在的直线为 轴 轴 轴 建立如图所示的空间直角 A B C ∴ C AC BC F x z y 1 坐标系C( 由B 则 O) x z .取 A B =2, C =C F= A B, y 2 B C =C F =1, A C= 3 . , ∴ A ( 3, C (0, 0, 0) , B (0, 1, 0) , F (0, 0, 1) , 0 0) , ?3 ? ? 1 ? E ?0, , D? , 1÷ , 0, 1÷ . è 2 ? è2 ? 平面 D E F 的一个法向量为n1 = (0, 0, 1) . 设平面 A B E D 的法向量为n2 = (x , z) . y, ? ? 1 ? ? → → 3 ∵ AD = ? - , A E = ? - 3, , 1÷ , 0, 1÷ , è 2 ? 2 è ? ì ? 3 ì 3 → ? ? n2 AD =0 ?- 2x +z =0 z= x 由 ?í ?í 2 . → 1 ? n2 A E =0 ? ? 3 x z 0 - + + = y ? x ? y= 3 ? 2 取 x =2, 得平面 A B E D 的一个法向量为n2 = (2, 2 3,3 ) . n1 n2 3 5 7 ? , 1 ∵c o s n1 , n2? 1分 = = = n1 n2 1 9 4+1 2+3 又由图 , 知二面角 A -D E -F 为钝二面角 ,

{

5 7 1 . 2分 1 9 ( 解: 用 A 表示 “ 从这 2 抽到语言表 达 能 力 1 8. Ⅰ) 0 名参加测试的学生中随机抽取一名 , 优秀或逻辑思维能力优秀的学生 ” . ∵ 语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有 (6+n ) 名 . 6+n 2 解得 n =2. ∴ P (A ) = = , 2 0 5 4 分 ∴ m =4. 用 B 表示 “ 从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取 2 名 , 其中至少有一 名逻辑思维能力优秀的学生 ” . 2 C 1 5 7 6 6 分 ∴ P (B ) =1- 2 =1- . = 3 6 1 2 C 9 ( 随机变量 X 的可能取值为 0, Ⅱ) 1, 2. 语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数共有 8 名 , ∵2 0 名学生中 , 2 1 1 2 C C C 3 3 4 8 1 4 1 2 8C 1 2 8 ∴ P (X =0) = 2 = , P (X =1) = 2 = , P (X =2) = 2 = . 9 5 9 5 9 5 C C C 2 0 2 0 2 0 ∴ 二面角 A -D E -F 的余弦值为 - ∴ X 的分布列为 :

X P

3 3 4 8 1 4 7 6 4 ∴ X 的均值 E (X ) =0× 2分 +1× +2× = = . 1 9 5 9 5 9 5 9 5 5
数 学 “三 诊 ”考 试 题 (理 )答 案 第 2 页 (共 4 页 )

0 3 3 9 5

1 4 8 9 5

2 1 4 9 5

1 0分

( 解: 1 9. Ⅰ) ∵3 Sn +a 0, n -3=

① 3 ∴ 当 n =1 时 , 3 S1 +a1 -3=0, a1 = . 4 ② 又当 n ≥2, n ∈ N? 时 , 3 Sn-1 +a 0, n- 1 -3= 1 由 ①-② , 得3 即a a 0, a n +a n -a n- 1= n = n- 1 . 4 3 1 4 分 为首项 , 为公比的等比数列 . ∴ 数列 { a n } 是以 4 4 3 ? 1 ? n-1 3 6 分 ∴a n ∈ N? ) . ×? ÷ = n ( n = 4 è4 ? 4 1 1 ( , 由已知及 ( 得 1-Sn+1 = a Ⅱ) Ⅰ) . n+ 1 = n+ 3 4 1 1 1 1 n+ 2) - (2 8 分 ∴b l o o 2 = l =-n -1. g g n = 2 n+ 2 2 4 1 2 1 1 1 1 1 ∴ . 0分 = = - ( b b n +1) ( n +2) n +1 n +2 n n+ 1 1 1 1 ? ?1 1 ? ?1 1 ? ? 1 ÷ = ∴ Tn = ? - ÷ + ? - ÷ + + ? . - - 2 n +2 è2 3 ? è3 4 ? è n +1 n +2? 1 1分 1 1 5 0 4 1 1 , 由 解得 ≥ ≤ . - 2 n +2 1 0 0 9 n +2 2 0 1 8 1 即 n 的最小值为 2 ∴ n ≥2 0 1 6, 0 1 6. 2分 ( 解: 设圆心 C (x, 2 0. Ⅰ) y) . 化简 , 得 y2 =4 ∴ x2 +4= (x -2) 2 +y2 . x. 4 分 ∴ 曲线 C 的方程为y2 =4 x. ( 设 直 线l Ⅱ) ① 易知直 线l l A (x1 , 1, 2 的 斜 率 存 在 且 不 为 0. 1 的 斜 率 为k , y1 ) , B (x2 , y2 ) . ?x1 +x2 y1 +y2 ? ÷ . 则直线l , k (x -1) , P? 1 的方程为 y = 2 ? è 2 2 x =4 由 y 消去 y , 得k2 x2 - (2 k2 +4) x +k2 =0. k (x -1) y= Δ = (2 k2 +4) 2 -4 k4 =1 6 k2 +1 6>0. 4 4 ∴ x1 +x2 =2+ 2 , k (x1 +x2 -2) = . y1 +y2 = k k 2 2? ? ∴P? 1+ 2 , ÷ . k k? è 7 分 同理可得 Q (1+2 k2 , k) . -2 ; 当k =1 或 -1 时 , 直线 P 的方程为 Q x =3 k 当k ≠1 且k ≠-1 时 , 直线 P Q 的斜率为 . 1-k2 k 2 2 即 ( ( ) , ∴ 直线 P Q 的方程为y +2 k= 1-2 k k . -1) y + (x -3)k = 0 2 x- 1-k 其坐标为 (3, ∴ 直线 P Q 过定点 R , 0) . ( , ) 9 分 综上所述 , 直线 P 过定点 Q R 30 . 2 2? ? 知P? ②由①, 1+ 2 , ÷ , Q (1+2 k2 , k) , -2 k k? è

{

数 学 “三 诊 ”考 试 题 (理 )答 案 第 3 页 (共 4 页 )

1? ? 2 2?2 ? ? 4 1 2?2 2 k - 2 ÷ + ?2 k + 4 +k2 + 2 ÷ k + ÷ =4? =? è k? k ? k k ? è è 2 1 1 é ? ? ? ? ù 1 k2 + 2 ÷ + ? k2 + 2 ÷ -2ú 1分 =4ê ê? ú . k ? k ? ?è è ? 1 ( , 当且仅当k =1 或 -1 时取等号 ) ∵k2 + 2 ≥2 k 1 é? 1?2 9ù 2 ú . ? ÷ - ), 记t= k2 + 2 ( t ≥2 ∴ P Q 2 =4( t t-2) =4ê t + + ê 4ú ?è ? k 2? ∴ 当t=2 时 , P Q 2 的最小值为 1 6. 1 ∴ 当t=2 即k =1 或 -1 时 , P Q 的最小值为 4. 3分 ′ x 2 x ( 解: 2 1. Ⅰ) a +2) x -a -3] =e (x -1) (x +a +3) . g (x ) =e [x + ( 2 分 ′ x 2 , , 当 时 在 上单调递增 ( ) ( ) ( ) ① a =-4 ∵ g x =e x -1 ≥0 ∴ g x R . ′ 由g 解得 x <-a -3 或 x >1. (x ) >0, ② 当 a >-4 时 , (1, ∴ g (x ) 在 (- ∞ , -a -3) , + ∞ ) 上单调递增 ; ′ 由g 解得 -a -3< x <1. (x ) <0,  ∴ g (x ) 在 (-a -3, 1) 上单调递减 . ′ , , ③ 当 a <-4 时 由 g (x ) >0 解得 x >-a -3 或 x <1. (-a -3, ∴ g (x ) 在 (- ∞ , 1) , + ∞ ) 上单调递增 ; ′ 由g 解得 1< x <-a -3. (x ) <0,  ∴ g (x ) 在 (1, -a -3) 上单调递减 . , , ; 综上所述 当 a =-4 时 g (x ) 在 R 上单调递增 当a > -4 时 , 在 (-a -3, (1, 1) -a -3) , + ∞ ) 上单调递增 , g (x ) 在 (- ∞ , 上单调递减 ; 当a < -4 时 , 在 (1, (-a -3, 1) , + ∞ ) 上单调递增 , -a -3) g (x ) 在 (- ∞ , 7 分 上单调递减 . x ( Ⅱ) h (x ) =f (x ) -m x2 -x =e x2 -x . -m é1 ù , ∵ x1 , x2 ∈ ê 2ú , ê ?2 ú ? h (x1 ) h (x2 ) ∴ 由 x2 h (x1 ) -x1 h (x2 ) > x1 x2( x2 -x1) ? - > x2 -x1 . x1 x2 h (x1 ) h (x2 ) h (x1 ) h (x2 ) 不等式 且 x1 >x2. - >x2 -x1 等价于 +x1 > +x2, x1 x2 x1 x2 x h (x ) e 记 F (x ) = +x = - (m -1) x -1. x x 1 ù é , ∴ F (x ) 在 ê 2ú 上单调递增 . ê ?2 ú ? x ( e x -1) é1 ù ′ (x ) = ∴F 2ú - (m -1) ≥0 在 x ∈ ê ê , ú 时恒成立 . ?2 ? x2 x (x -1) e é1 ù 1 , ∴m ≤ 1分 2ú 时恒成立 . +1 在 x ∈ ê ê 2 ?2 ú ? x x x (x -1) [ (x -1) 2 +1] e x e ′ 记 P (x ) = (x ) = ∴P +1, >0. 2 x x4 é1 ù ?1 ? ÷= , ∴ P (x ) 在 ê P (x ) m 1-2 e . 2ú 上单调递增 , i n =P ? ê ?2 ú ? è2 ? 1 ∴ 实数 m 的取值范围为 (- ∞ , 4分 1-2 e] . ∴ P Q


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