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初高中衔接教材-数学


初高中衔接教材

数学
SHU XUE

第一部分



现有初高中数学知识存在的“脱节”

第二部分

初中数学与高中数学衔接紧密的知识点

第三部分

分章节突破
1.1 数与式的运算 1.1.

1 绝对值 1.1.2. 乘法公式 1.1.3.二次根式 1.1.4.分式 1.2 分解因式 2.1 一元二次方程 2.1.1 根的判别式 2.1.2 根与系数的关系(韦达定理) 2.2 二次函数 2.2.1 二次函数 y=ax2+bx+c 的图像 和性质 2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用 2.3 方程与不等式 2.3.1 二元二次方程组解法 2.3.2 一元二次不等式解法 3.1 相似形 3.1.1.平行线分线段成比例定理 3.1.2 相似形 3.2 三角形 3.2.1 三角形的“四心” 3.2.2 几种特殊的三角形 3.3 圆 3.3.1 直线与圆,圆与圆的位置关系 3.3.2 点的轨迹

第四部分

衔接知识点的专题强化训练
专题一数与式的运算 专题二因式分解 专题三一元二次方程根与系数的关系 专题四平面直角坐标系、一次函数、反比 例函数 专题五二次函数 专题六二次函数的最值问题 专题七不等式 各专题参考答案

第一部分

现有初高中数学知识存在的“脱节”

1.立方和与差的公式初中已删去不讲,而高中的运算还在用。 2.因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解,对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高 次多项式因式分解几乎不作要求,但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。 3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求,而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技 巧。 4.初中教材对二次函数要求较低,学生处于了解水平,但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、 作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值,研究闭区间上函数最值等等是高中 数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系,根与系数的关系(韦达定理)在初中不作要求,此类题目仅 限于简单常规运算和难度不大的应用题型,而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为 重要内容,高中教材却未安排专门的讲授。 6.图像的对称、平移变换,初中只作简单介绍,而在高中讲授函数后,对其图像的上、下;左、右平移, 两个函数关于原点,轴、直线的对称问题必须掌握。 7.含有参数的函数、方程、不等式,初中不作要求,只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、 不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 8.几何部分很多概念(如重心、垂心等)和定理(如平行线分线段比例定理,射影定理,相交弦定理等) 初中生大都没有学习,而高中都要涉及。 另外,像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化,不利于高中知识的讲授。

第二部分

初中数学与高中数学衔接紧密的知识点
1 绝对值: ⑴在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。 ⑵正数的绝对值是他本身,负数的绝对值是他的相反数,0 的绝对值是 0,即 ⑶两个负数比较大小,绝对值大的反而小

? a ( a ? 0) ? a ? ? 0( a ? 0) ? ? a ( a ? 0) ? ⑷两个绝对值不等式: | x |? a(a ? 0) ? ?a ? x ? a ; | x |? a(a ? 0) ? x ? ?a 或 x ? a
2 乘法公式: ⑴平方差公式: a ? b ? (a ? b)(a ? b) ⑵立方差公式: a ? b ? (a ? b)(a ? ab ? b )
2 2

3

3

2

2

⑶立方和公式: a ? b ? (a ? b)(a ? ab ? b ) ⑸完全立方公式: (a ? b) ? a ? 3a b ? 3ab ? b
3 3 2 2 3 3 2 2
2 2 2

3

⑷完全平方公式: (a ? b) ? a ? 2ab ? b 、 (a ? b ? c) ? a ? b ? c ? 2ab ? 2ac ? 2bc
2 2 2 2

3 分解因式: ⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变化叫做把这个多项式分解因式。 ⑵方法:①提公因式法,②运用公式法,③分组分解法,④十字相乘法。 4 一元一次方程: ⑴在一个方程中,只含一个未知数,并且未知数的指数是 1,这样的方程叫一元一次方程。 ⑵解一元一次方程的步骤:去分母,移项,合并同类项,未知数系数化为 1。 0 b b ⑶关于方程 ax ? b 解的讨论① a ? 0 时, 当 方程有唯一; 当 a ? b , ? 0 时, ② 方程无解③ a ? 0 , ? 0 时, 当 x? 方程有无数解;此时任一实数都是方程的解。 a 5 二元一次方程组: (1)两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。

(2)适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解。 (3)二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解。 (4)解二元一次方程组的方法:① 代入消元法,② 加减消元法。 6 不等式与不等式组 (1)不等式:①用符不等号(>、≠、<)连接的式子叫不等式。②不等式的两边都加上或减去同一个整式, 不等号的方向不变。③不等式的两边都乘以或者除以一个正数,不等号方向不变。④不等式的两边都 乘以或除以同一个负数,不等号方向相反。 (2)不等式的解集:①能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。②一个含有未知数的不等式的所 有解,组成这个不等式的解集。③求不等式解集的过程叫做解不等式。 (3)一元一次不等式:左右两边都是整式,只含有一个未知数,且未知数的最高次数是 1 的不等式叫一元 一次不等式。 (4)一元一次不等式组:①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成了一元一次不等式 组。②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分,叫做这个一元一次不等式组的解集。③求 不等式组解集的过程,叫做解不等式组。
2 7 一元二次方程:ax ? bx ? c ? 0(a ? b2 ? 4ac ? 0 ②方程有两根同号 ? ? ①方程有两个实数根 ? ? ? 0)

??0 ? ③方程有两 c ? x1 x2 ? ? 0 ? a ?

? ??0 根异号 ? ? c ? ? x1 x2 ? a ? 0 ?
④ 韦 达 定 理 及 应 用 :

b c x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? a a



2 x12 ? x2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 2x1x2

x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?

? b 2 ? 4ac ? a a

3 x13 ? x2 ? ( x1 ? x2 )( x12 ? x1 x2 ? x22 ) ? ( x1 ? x2 ) ?( x1 ? x2 ) 2 ? 3x1 x2 ? ? ?



8

函数 (1) 变量:因变量,自变量。 在用图象表示变量之间的关系时, 通常用水平方向的数轴上的点自变量, 用竖直方向的数轴上的点表示 因变量。 (2)一次函数: ①若两个变量 y , x 间的关系式可以表示成( b 为常数, k 不等于 0)的形式,则称 y 是 x 的一次函数。 ②当 b =0 时,称 y 是 x 的正比例函数。 (3)一次函数的图象及性质 ①把一个函数的自变量 x 与对应的因变量 y 的值分别作为点的横坐标与纵坐标, 在直角坐标系内描出它 的对应点,所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。②正比例函数 y = k x 的图象是经过原点的一条 直线。③在一次函数中,当 k ? 0,b ? O,则经 2、3、4 象限;当 k ? 0,b ? 0 时,则经 1、2、4 象限; 当 k ? 0, b ? 0 时,则经 1、3、4 象限;当 k ? 0, b ? 0 时,则经 1、2、3 象限。④当 k ? 0 时, y 的 值随 x 值的增大而增大,当 k ? 0 时, y 的值随 x 值的增大而减少。

(4)二次函数: ①一般式 y ? ax 2 ? bx ? c ? a( x ?

b 4ac ? b b 2 4ac ? b2 a ? 0 (- , ); ( )对称轴是 x ? ? b , 顶点是 ) ? 2a 4a 2a 2a 4a
2

②顶点式: y ? a( x ? m)2 ? k ( a ? 0 ),对称轴是 x ? ? m, 顶点是 ? ?m , k ? ; ③交点式: y ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) ( a ? 0 ),其中( x1 ,0 )( x2 , 0 )是抛物线与 x 轴的交点 , (5)二次函数的性质 ①函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象关于直线 x ? ? ② a ? 0 时,在对称轴( x ? ?

b 对称。 2a

b b )左侧, y 值随 x 值的增大而减少;在对称轴( x ? ? )右侧; y 的 2a 2a
b 4ac ? b 2 时, y 取得最小值 2a 4a

值随 x 值的增大而增大。当 x ? ? ③ a ? 0 时,在对称轴( x ? ?

b b )左侧, y 值随 x 值的增大而增大;在对称轴( x ? ? )右侧; y 的 2a 2a
b 4ac ? b 2 时, y 取得最大值 2a 4a

值随 x 值的增大而减少。当 x ? ? 9 图形的对称

(1)轴对称图形:①如果一个图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做 轴对称图形,这条直线叫做对称轴。②轴对称图形上关于对称轴对称的两点确定的线段被对称轴垂直平分。 (2)中心对称图形:①在平面内,一个图形绕某个点旋转 180 度,如果旋转前后的图形互相重合,那么这 个图形叫做中心对称图形, 这个点叫做他的对称中心。 ②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被 对称中心平分。 10 平面直角坐标系 (1)在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。水平的数轴叫做 x 轴或横轴,铅 直的数轴叫做 y 轴或纵轴, x 轴与 y 轴统称坐标轴,他们的公共原点 O 称为直角坐标系的原点。 (2)平面直角坐标系内的对称点:设 M ( x1 , y1 ) , M ?( x2 , y2 ) 是直角坐标系内的两点, ①若 M 和 M ' 关于 y 轴对称,则有 ? x1 ? ? x2 。②若 M 和 M ' 关于 x 轴对称,则有 ? x1 ? x2 。 ? ? ? y1 ? ? y2 ? y1 ? y2 ③若 M 和 M ' 关于原点对称,则 ? x1 ? ? x2 ④若 M 和 M ' 关于直线 y ? x 对称,则 ? x1 ? y2 。 ? ? ? y1 ? ? y2 ? y1 ? x2 ⑤若 M 和 M ' 关于直线 x ? a 对称,则有 ? 11 统计与概率: (1)科学记数法:一个大于 10 的数可以表示成 A? 10 的形式,其中 A 大于等于 1 小于 10, N 是正整数。 (2)扇形统计图:①用圆表示总体,圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分,扇形的大小反映部分占总体 的百分比的大小,这样的统计图叫做扇形统计图。②扇形统计图中,每部分占总体的百分比等于该部分所对应
N

? x1 ? 2a ? x2 ? x2 ? 2a ? x1 或? 。 ? y1 ? y2 ? y1 ? y2

的扇形圆心角的度数与 360 度的比。 (3)各类统计图的优劣:①条形统计图:能清楚表示出每个项目的具体数目②折线统计图:能清楚反映事物的 变化情况③扇形统计图:能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。 (4) 平均数: 对于 N 个数 x1 , x2 ,? , xN , 我们把

1 ( x ? x ? ? ? xN )叫做这个 N 个数的算术平均数, 记为 x 。 N 1 2

(5)加权平均数:一组数据里各个数据的重要程度未必相同,因而,在计算这组数据的平均数时往往给每个数 据加一个权,这就是加权平均数。 (6)中位数与众数:①N 个数据按大小顺序排列,处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数) 叫做这组数据的中位数。 ②一组数据中出现次数最大的那个数据叫做这个组数据的众数。 ③优劣比较: 平均数: 所有数据参加运算,能充分利用数据所提供的信息,因此在现实生活中常用,但容易受极端值影响;中位数: 计算简单,受极端值影响少,但不能充分利用所有数据的信息;众数:各个数据如果重复次数大致相等时,众 数往往没有特别的意义。 (7)调查:①为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查,称为普查,其中所要考察对象的全体称为总体, 而组成总体的每一个考察对象称为个体。②从总体中抽取部分个体进行调查,这种调查称为抽样调查,其中从 总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。③抽样调查只考察总体中的一小部分个体,因此他的优点是调 查范围小,节省时间,人力,物力和财力,但其调查结果往往不如普查得到的结果准确。为了获得较为准确的 调查结果,抽样时要主要样本的代表性和广泛性。 (8)频数与频率:①每个对象出现的次数为频数,而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。②当收集的 数据连续取值时,我们通常先将数据适当分组,然后再绘制频数分布直方图。 (9)数据的波动:①极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差。②方差是各个数据与平均数之差的平方和 的平均数。③标准差就是方差的算术平方根。④一般来说,一组数据的极差,方差,或标准差越小,这组数据 就越稳定。 (10)事件的可能性:①有些事情我们能确定他一定会发生,这些事情称为必然事件;有些事情我们能肯定他一 定不会发生,这些事情称为不可能事件;必然事件和不可能事件都是确定的。②有很多事情我们无法肯定他会 不会发生,这些事情称为不确定事件。③一般来说,不确定事件发生的可能性是有大小的。 (11)概率:①人们通常用 1(或 100%)来表示必然事件发生的可能性,用 0 来表示不可能事件发生的可能性。 ②游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同。③必然事件发生的概率为 1,记作 P (必然事件) ? 1 ;不可能 事件发生的概率为 0 ,记作 P (不可能事件) ? 0 ;如果 A 为不确定事件,那么 0 ? P( A) ? 1

第三部分


1.1 数与式的运算









1.1.1 绝对值
绝对值的代数意义:正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值 仍是零.即 ?a, a ? 0, 绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到原点的距离. 两个数的差的绝对值的几何意义: a ? b 表示在数轴上,数 a 和数 b 之间的距离. 例 1 解不等式: x ?1 ? x ? 3 >4. 解法一:由 x ? 1 ? 0 ,得 x ? 1 ;由 x ? 3 ? 0 ,得 x ? 3 ;
? | a |? ?0, a ? 0, ??a, a ? 0. ?

② 若 x ? 1 ,不等式可变为 ?( x ?1) ? ( x ? 3) ? 4 ,即 ?2 x ? 4 >4,解得 x<0,又 x<1,∴x<0; ②若 1 ? x ? 2 ,不等式可变为 ( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 4 ,即 1>4,∴不存在满足条件的 x; ③ 若 x ? 3 ,不等式可变为 ( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 4 ,即 2 x ? 4 >4,解得 x>4.又 x≥3,∴x>4. 综上所述,原不等式的解为 x<0,或 x>4. 解法二: 如图 1. 1-1,x ? 1 表示 x 轴上坐标为 x 的点 P 到坐标为 1 的点 A 之间的距离|PA|, 即|PA|=|x-1|;|x-3|表示 x 轴上点 P 到坐标为 2 的点 B 之间的距离|PB|,即|PB|=|x-3|. 所以, 不等式 x ?1 ? x ? 3 >4 的几何意义即为|PA|+|PB|>4. 由|AB|=2,可知点 P 在点 C(坐标为 0)的左侧、或点 P 在 点 D(坐标为 4)的右侧.∴x<0,或 x>4.
练习 1.填空: (1)若 x ? 5 ,则 x=_________;若 x ? ? 4 ,则 x=_________. |x-3| A 1 P x C 0 B 3 D 4 x

|x-1| 图 1.1-1

(2)如果 a ? b ? 5 ,且 a ? ?1 ,则 b=________;若 1 ? c ? 2 c=________. 2.选择题:下列叙述正确的是() A.若 a ? b ,则 a ? b B.若 a ? b ,则 a ? b C.若 a ? b ,则 a ? b D.若 a ? b ,则 a ? ?b 3.化简:|x-5|-|2x-13|(x>5) .

1.1.2. 乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: (1)平方差公式 (a ? b)(a ? b) ? a2 ? b2 ; (2)完全平方公式 (a ? b)2 ? a2 ? 2ab ? b2 . 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式: (1)立方和公式 (a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ? a3 ? b3 ; (2)立方差公式 (a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ? a3 ? b3 ; (3)三数和平方公式 (a ? b ? c)2 ? a2 ? b2 ? c2 ? 2(ab ? bc ? ac) ; (4)两数和立方公式 (a ? b)3 ? a3 ? 3a2b ? 3ab2 ? b3 ; (5)两数差立方公式 (a ? b)3 ? a3 ? 3a2b ? 3ab2 ? b3 . 对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明. 例 1 计算: ( x ? 1)( x ?1)( x2 ? x ? 1)( x2 ? x ? 1) . 解法一:原式= ( x 2 ? 1) ?( x 2 ? 1) 2 ? x 2 ? ? ? = ( x2 ?1)( x4 ? x2 ? 1) = x6 ? 1. 解法二:原式= ( x ? 1)( x2 ? x ? 1)( x ?1)( x2 ? x ? 1) = ( x3 ? 1)( x3 ?1) = x6 ? 1. 例 2 已知 a ? b ? c ? 4 , ab ? bc ? ac ? 4 ,求 a 2 ? b2 ? c2 的值. 解: a2 ? b2 ? c2 ? (a ? b ? c)2 ? 2(ab ? bc ? ac) ? 8 .
练习 1.填空:

1 2 1 2 1 1 a ? b ? ( b ? a ) () ; 9 4 2 3 2 2 (2) (4m ? ) ? 16m ? 4m ? ( ) ;
(1) (3 ) (a ? 2b ? c) ? a ? 4b ? c ? ( ) . 2.选择题:
2 2 2 2

(1)若 x ?
2

1 mx ? k 是一个完全平方式,则 k 等于() 2

1 2 1 1 m (C) m 2 (D) m 2 4 16 3 2 2 (2)不论 a , b 为何实数, a ? b ? 2a ? 4b ? 8 的值()
(A) m (B)
2

(A)总是正数(B)总是负数 (C)可以是零(D)可以是正数也可以是负数


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