2012年全国高中数学联赛河南省预赛试题

2012 年全国高中数学联赛河南省预赛试题
本试卷满分 140 分
一、填空题（满分 64 分） 1、在小于 20 的正整数中，取出三个不同的数，使它们的和能够被 3 整除，则不用的取法种 数为_________________. 2、将长为的线段任意截成三段，则这三段能够组成三角形的概率为_________________. 3、 ? A B C 中，? C

? 在

?
2

， ?B ?

?
6

，A C ? 2 ，M 为 AB 中点， ? A C M 沿 C M 将

折起，使 A , B 之间的距离为 2 4、若锐角? 满足

2 ，则点 M 到面 ABC 的距离为_________________.

1 tan 2

?

?

2

3

t a n 1? 0
o

?

ta，则角? 的度数为 n 2

_________________.

? | lo g 2 x |, 0 ? x ? 4 ? 5 、 函 数 f (x) ? ? 2 2 ， 若 a, b, c, 互 不 相 同 ， 且 d 70 x ? 8x ? ,x ? 4 ? 3 ?3

f ( a ) ? f ( b ) ? f ( c ) ? f ( d ) ，则 abcd 的取值范围是_________________.
6、各项均为正数的等比数列 ? a n ? 中， 2 a 4 ? a 3 ? 2 a 2 ? a1 ? 8 ，则 2 a 8 ? a 7 的最小值 为_________________. 7、 一只蚂蚁由长方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 顶点 A 出发， 沿着长方体的表面达到顶点 C 1 的 最短距离为 6，则长方体的体积最大值为______________. 8 、

? x?

表

示

不

超

过

实

数

x

的

最

大

整

数

，

则

? log 2 1? ? ? log 2 2 ? ? ? log 2 3 ? ? ? ? ? log 2 2012 ? ? _________ .
二 、 本 题 满 分 16 分 ） 如 图 ， 已 知 四 棱 锥 E ? ABC D 的 地 面 为 菱 形 ， 且 （

?ABC ?

?
3

, AB ? EC ? 2 , AE ? BE ?

2.

（1）求证：平面 EAB ? ABC D 平面； （2）求二面角 A ? EC ? D 的余弦值. 三、 （本题满分 20 分）已知函数 f ( x ) ? （1）当时 x ? 0 ，求证：

ln(1 ? x ) x

（2）当 x ? ? 1 且 x ? 0 时，不等式 f ( x ) ?

1 ? kx 1? x

成立，求实数的值.

四、 （本题满分 20 分）数列 ? x n ? 中， x1 ? 1 且 x n ?1 ? 1 ?

1 xn ? 1

（1）设 a n ?

1 xn ? 2

，求数列 ? a n ? 的通项公式.

（2）设 b n ? x n ?

2 ，数列 ? b n ? 的前 n 项的和为 S n ，证明： S n ?
x
2

2 2

.

五、 （本题满分 20 分） 已知椭圆

? y ? 1 ，P 是圆 x ? y ? 16 上任意一点，过 P
2

2

2

4
点作椭圆的切线 PA , PB ，切点分别为 A , B ，求 P A ? P B 的最大值和最小值.

??? ??? ? ?

江苏省常熟市中学

査正开

215500