2012 年全国高中数学联赛河南省预赛试题
本试卷满分 140 分
一、填空题(满分 64 分) 1、在小于 20 的正整数中,取出三个不同的数,使它们的和能够被 3 整除,则不用的取法种 数为_________________. 2、将长为的线段任意截成三段,则这三段能够组成三角形的概率为_________________. 3、 ? A B C 中,? C ? 在
?
2
, ?B ?
?
6
,A C ? 2 ,M 为 AB 中点, ? A C M 沿 C M 将
折起,使 A , B 之间的距离为 2 4、若锐角? 满足
2 ,则点 M 到面 ABC 的距离为_________________.
1 tan 2
?
?
2
3
t a n 1? 0
o
?
ta,则角? 的度数为 n 2
_________________.
? | lo g 2 x |, 0 ? x ? 4 ? 5 、 函 数 f (x) ? ? 2 2 , 若 a, b, c, 互 不 相 同 , 且 d 70 x ? 8x ? ,x ? 4 ? 3 ?3
f ( a ) ? f ( b ) ? f ( c ) ? f ( d ) ,则 abcd 的取值范围是_________________.
6、各项均为正数的等比数列 ? a n ? 中, 2 a 4 ? a 3 ? 2 a 2 ? a1 ? 8 ,则 2 a 8 ? a 7 的最小值 为_________________. 7、 一只蚂蚁由长方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 顶点 A 出发, 沿着长方体的表面达到顶点 C 1 的 最短距离为 6,则长方体的体积最大值为______________. 8 、
? x?
表
示
不
超
过
实
数
x
的
最
大
整
数
,
则
? log 2 1? ? ? log 2 2 ? ? ? log 2 3 ? ? ? ? ? log 2 2012 ? ? _________ .
二 、 本 题 满 分 16 分 ) 如 图 , 已 知 四 棱 锥 E ? ABC D 的 地 面 为 菱 形 , 且 (
?ABC ?
?
3
, AB ? EC ? 2 , AE ? BE ?
2.
(1)求证:平面 EAB ? ABC D 平面; (2)求二面角 A ? EC ? D 的余弦值. 三、 (本题满分 20 分)已知函数 f ( x ) ? (1)当时 x ? 0 ,求证:
ln(1 ? x ) x
(2)当 x ? ? 1 且 x ? 0 时,不等式 f ( x ) ?
1 ? kx 1? x
成立,求实数的值.
四、 (本题满分 20 分)数列 ? x n ? 中, x1 ? 1 且 x n ?1 ? 1 ?
1 xn ? 1
(1)设 a n ?
1 xn ? 2
,求数列 ? a n ? 的通项公式.
(2)设 b n ? x n ?
2 ,数列 ? b n ? 的前 n 项的和为 S n ,证明: S n ?
x
2
2 2
.
五、 (本题满分 20 分) 已知椭圆
? y ? 1 ,P 是圆 x ? y ? 16 上任意一点,过 P
2
2
2
4
点作椭圆的切线 PA , PB ,切点分别为 A , B ,求 P A ? P B 的最大值和最小值.
??? ??? ? ?
江苏省常熟市中学
査正开
215500