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2012年全国高中数学联赛河南省预赛试题


2012 年全国高中数学联赛河南省预赛试题
本试卷满分 140 分
一、填空题(满分 64 分) 1、在小于 20 的正整数中,取出三个不同的数,使它们的和能够被 3 整除,则不用的取法种 数为_________________. 2、将长为的线段任意截成三段,则这三段能够组成三角形的概率为_________________. 3、 ? A B C 中,? C

? 在

?
2

, ?B ?

?
6

,A C ? 2 ,M 为 AB 中点, ? A C M 沿 C M 将

折起,使 A , B 之间的距离为 2 4、若锐角? 满足

2 ,则点 M 到面 ABC 的距离为_________________.

1 tan 2

?

?

2

3

t a n 1? 0
o

?

ta,则角? 的度数为 n 2

_________________.

? | lo g 2 x |, 0 ? x ? 4 ? 5 、 函 数 f (x) ? ? 2 2 , 若 a, b, c, 互 不 相 同 , 且 d 70 x ? 8x ? ,x ? 4 ? 3 ?3

f ( a ) ? f ( b ) ? f ( c ) ? f ( d ) ,则 abcd 的取值范围是_________________.
6、各项均为正数的等比数列 ? a n ? 中, 2 a 4 ? a 3 ? 2 a 2 ? a1 ? 8 ,则 2 a 8 ? a 7 的最小值 为_________________. 7、 一只蚂蚁由长方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 顶点 A 出发, 沿着长方体的表面达到顶点 C 1 的 最短距离为 6,则长方体的体积最大值为______________. 8 、

? x?















x















? log 2 1? ? ? log 2 2 ? ? ? log 2 3 ? ? ? ? ? log 2 2012 ? ? _________ .
二 、 本 题 满 分 16 分 ) 如 图 , 已 知 四 棱 锥 E ? ABC D 的 地 面 为 菱 形 , 且 (

?ABC ?

?
3

, AB ? EC ? 2 , AE ? BE ?

2.

(1)求证:平面 EAB ? ABC D 平面; (2)求二面角 A ? EC ? D 的余弦值. 三、 (本题满分 20 分)已知函数 f ( x ) ? (1)当时 x ? 0 ,求证:

ln(1 ? x ) x

(2)当 x ? ? 1 且 x ? 0 时,不等式 f ( x ) ?

1 ? kx 1? x

成立,求实数的值.

四、 (本题满分 20 分)数列 ? x n ? 中, x1 ? 1 且 x n ?1 ? 1 ?

1 xn ? 1

(1)设 a n ?

1 xn ? 2

,求数列 ? a n ? 的通项公式.

(2)设 b n ? x n ?

2 ,数列 ? b n ? 的前 n 项的和为 S n ,证明: S n ?
x
2

2 2

.

五、 (本题满分 20 分) 已知椭圆

? y ? 1 ,P 是圆 x ? y ? 16 上任意一点,过 P
2

2

2

4
点作椭圆的切线 PA , PB ,切点分别为 A , B ,求 P A ? P B 的最大值和最小值.

??? ??? ? ?

江苏省常熟市中学

査正开

215500


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