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高中数学竞赛专题讲座之解析几何


高中数学竞赛专题讲座之解析几何 一、选择题部分 1、(集训试题)过椭圆 C: x2 y2 ,延长 ? ? 1 上任一点 P,作椭圆 C 的右准线的垂线 PH(H 为垂足) 3 2 ) PH 到点 Q, 使|HQ|=λ |PH|(λ ≥1)。 当点 P 在椭圆 C 上运动时, 点 Q 的轨迹的离心率的取值范围为 ( A. (0, 3 ] 3 B. ( 3 3 , ] 3

2 C. [ 3 ,1) 3 D. ( 3 ,1) 2 解:设 P(x1, y1),Q(x, y),因为右准线方程为 x=3,所以 H 点的坐标为(3, y)。又∵HQ=λ PH,所以 3(1 ? ? ) ? x ? HP ?1 ? x1 ? ,所以由定比分点公式,可得: ? ,代入椭圆方程,得 Q 点轨迹为 ? ? PQ 1 ? ? ? ? y1 ? y [ x ? 3(1 ? ? )]2 y 2 3?2 ? 2 2 3 ? ? 1 ,所以离心率 e= ? 1 ? 2 ? [ ,1) 。故选 C。 2 2 3? 3 3? 2 3? 2. (2006 年南昌市) 抛物线顶点在原点,对称轴为 x 轴,焦点在直线 3x-4y=12 上,则抛物线方程为(D) A . y 2 ? ?12 x B . y 2 ? 12 x 2 C . y 2 ? ?16 x D . y 2 ? 16 x 3. (2006 年江苏)已知抛物线 y ? 2 px , O 是坐标原点, F 是焦点, P 是抛物线上的点,使得△ POF 是直角三角形,则这样的点 P 共有 ( B ) ? A? 0 个 ? B? 2 个 ?C ? 4 个 ? D? 6 个 4. (200 6 天津)已知一条直线 l 与双曲线 x2 y2 ? ? 1 ( b ? a ? 0 )的两支分别相交于 P 、 Q 两 a2 b2 点, O 为原点,当 OP ? OQ 时,双曲线的中心到直线 l 的距离 d 等于( A ) (A) ab b2 ? a2 (B) ab 2 b ? a2 (C) b2 ? a2 ab (D) b2 ? a2 ab ) 5. (2005 全国)方程 x2 sin 2 ? sin 3 ? y2 cos 2 ? cos 3 ? 1 表示的曲线是( A.焦点在 x 轴上的椭圆 C.焦点在 y 轴上的椭圆 解: ? 2 ? 3 ? ? ,? 0 ? B.焦点在 x 轴上的双曲线 D.焦点在 y 轴上的双曲线 ? 2 ? 2 ? 3? ? 2 ? ? ,? cos( ? 2 ) ? cos( 3 ? ), 即 sin 2 ? sin 3. 又 2 2 2 ? ? 0? 2 ? , ? 3 ? ? ,? cos 2 ? 0, cos 3 ? 0,? cos 2 ? cos 3 ? 0, 方程表示的曲线是椭圆。 2 2 2? 3 2? 3 ? ? (sin 2 ? sin 3 ) ? (cos 2 ? cos 3 ) ? 2 2 sin sin( ? ) ?? (?) 2 2 4 ? ? 1 1 ? ? 2 ? 2? 3 2? 3 ? 2 ? 3 3? 3? 2? 3 ? 2? 3 ? ? 0,? sin ? 0, ? ? ,? ? ? ? ? .? sin( ? ) ? 0, 2 2 2 2 4 4 2 4 2 4 ? (?)式 ? 0. 即 sin 2 ? sin 3 ? cos 2 ? cos 3. ?曲线

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