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高三数学二轮复习教案3(文)导数及其应用1


高三数学二轮复习教案 3 导数及其应用
一、高考要求: ⑴了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等) ,掌 握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念. ⑵熟记基本导数公式( C , x n ( n 为有理数), sin x.cos x,loga x, a x , ex ,ln x 的导数) .掌 握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数. ⑶了解可导函数的单调性与其导数的关系, 了解可导函数在某点取得极值的必要条件和 充分条件(导数要极值点两侧异号) ,会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最 小值. 二、复习要点: (1)近几年各地高考题一直保持对导数知识考查力度,体现了在知识网络交汇点出题 的命题风格,重点考查导数概念、单调性、极值等传统、常规问题,这三大块内容是本专题 复习的主线,在复习中应以此为基础展开,利用问题链展示题目间的内在联系,揭示解题的 通法通解,如利用导数处理函数单调性问题时,可设计这样的问题链:已知函数求单调区间 ?知函数在区间上单调求参数 ?若函数不单调如何求参数. (2)要认识到新课程中增加了导数内容,增添了更多的变量数学,拓展了学习和研究 的领域,在复习中要明确导数作为一种工具在研究函数的单调性、极值等方面的作用,这种 作用体现在导数为解决函数问题提供了有效途径。考资源网 (3)有意识的与解析几何(特别是切线、最值) 、函数的单调性,函数的最值极值,二次函 数,方程,不等式,代数不等式的证明等进行交汇,综合运用。特别是精选一些以导数为工 具分析和解决一些函数问题、切线问题的典型问题,以及一些实际问题中的最大(小)值问 题 三、典型例题剖析 (一).导数定义的应用 y 1.如图,函数 f ( x ) 的图象是折线段 ABC ,其中 A,B,C 的坐标分别 4 A C 3 f (1 ?△x ) ? f (1) 2 4) (2 0) (6 4) ,当△x→0 为 (0,,,,, =_________. 1 △x B (二). 利用导数研究函数的图像高 O 1 2 3 4 5 6 x 2. 若 函 数 y ? f ( x) 的 导 .函 .数 .在 区 间 [ a, b] 上 是 增 函 数 , 则 函 数

y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上的图象可能是
y y y

o

a

b x

o

a

b x

o

1

a

b x

o

a

b x

3.设 a <b,函数 y ? ( x ? a)2 ( x ? b) 的图像可能是

(三).利用导数解决函数的单调性问题 4.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 1 , a ? R . (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调区间;高考资源网 (Ⅱ)设函数 f ( x ) 在区间 ? ? , ? ? 内是减函数,求 a 的取值范围.

? 2 ? 3

1? 3?

【变式 1】 若函数 f ? x ? ?

1 3 1 2 x ? ax ? ?a ? 1?x ? 1 在区间 ?1,4? 上是减函数, 在区间 ?6,??? 3 2

上是增函数,求实数 a 的取值范围.

【变式 2】已知函数 f ? x ? ? ln x ?

1 2 ax ? 2 x?a ? 0? 存在单调递减区间,求 a 的取值范围; 2

2

【变式 3】 (2009 浙江高考)已知函数 f ( x) ? x3 ? (1 ? a) x2 ? a(a ? 2) x ? b (a, b ? R) .若 函数 f ( x ) 在区间 (?1,1) 上不单调 ,求 a 的取值范围. ...

(四).利用导数的几何意义研究曲线的切线问题
2 5.若存在过点 (1,0) 的直线与曲线 y ? x3 和 y ? ax ?

15 x ? 9 都相切,则 a 等于 4

【变 1】在平面直角坐标系 xoy 中,点 P 在曲线 C : y ? x3 ?10x ? 3 上,且在第二象限内, 已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2,则点 P 的坐标为
2

. .

【变 2】 若曲线 f ? x ? ? ax ? Inx 存在垂直于 y 轴的切线, 则实数 a 的取值范围是

6. 设 P 为曲线 C : y ? x2 ? 2x ? 3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为

? ?? 0, ,则点 P 横坐标的取值范围为 ? ? 4? ?
(五). 利用导数求函数的极值与最值 7.若函数 f ( x) ?

x2 ? a 在 x ? 1 处取极值,则 a ? x ?1
2 2 x

8.已知函数 f ( x) ? ( x ? ax ? 2a ? 3a)e ( x ? R), 其中 a ? R (1) 当 a ? 0 时,求曲线 y ? f ( x)在点(1, f (1)) 处的切线的斜率; (2) 当 a ?

2 时,求函数 f ( x ) 的单调区间与极值。 3

3

9.已知函数 f ( x) ? x4 ? ax3 ? 2 x2 ? b ( x ? R ) ,其中 a, b ? R .若函数 f ( x ) 仅在 x ? 0 处 有极值,求 a 的取值范围.

(六).利用导数解决实际问题 10.某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米,余下工程只需要建两端桥墩之间 的桥面和桥墩,经预测,一个桥墩的工程费用为 256 万元,距离为 x 米的相邻两墩之间的桥 面工程费用为 (2 ? x ) x 万元。假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因 素,记余下工程的费用为 y 万元 高考资源网 (Ⅰ)试写出 y 关于 x 的函数关系式;高考资源网 (Ⅱ)当 m =640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小?

4


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