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湖南省衡阳县第四中学2014-2015学年高一下学期期末考试数学试题


衡阳县四中 2015 年上期高一数学期末测试卷
分值:100 分. 时量:120 分钟. 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共计 40 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合 题目要求,请把正确答案的代号填在答题卡上 1 . 下 列 给 出 的 赋 值 语 句 中 正 确 的 是 ( ) B.B=A=3 C.x+y=0 sin ) 1 A. 2 C. 3 2 ) C.1,2 D.1,1 1 B.- 2 D.- 3 2 D.M=-M 的 值 等 于

A.4=M 2 (

?-19π? ? 6 ?

3.如图程序图输出的结果是( A.2,1 B.2,2

4 (

. )



简 B. DA

???? AC ?

??? ? BD ?
C. BC

??? ? CD ?
D. 0

??? ? AB



A. AB

??? ?

?

5.从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取得 2 个球,那么互斥而不对立的两个事件是 ( ) A.至少有 1 个黑球与都是黑球 B.至少有 1 个红球与都是黑球 C.至少有 1 个黑球与至少有 1 个红球 D.恰有 1 个黑球与恰有 2 个黑球

6. 已知 x 与 y 之间的一组数 x y 0 1 1 3 2 5 3 7

据:

^

则 y 与 x 的线性回归方程y=bx+a 必过点 ( ) B.(1.5,0) C.(2,2) D.(1.5,4)

A.(1,2)

(

1 ,1 ? sin ?), 2

7. (

已知向量 a =(1-sin θ , 1) , b = ) A.30° B.45° C.60° D.75°

?

?

若 a ∥ b ,则锐角 θ 等于

?

?

y ? 2 sin( 2 x ?
8. 函数 A.关于原点对称

?

) 3 的图象



) B.关于点(-

? ,0)对称 6 ? C.关于 y 轴对称 D.关于直线 x= 对称 6 ? ? ? ? ? ? ? 9. 已 知 | a | = 2 , | b | = 1 , a 与 b 的 夹 角 为 , 那 么 |a? 4 b 等 | 于 3
( ) A、2 B、 2 3 C、6 D、12

10 . 已 知 α 和 β 都 是 锐 角 , sin α = ( 33 A. 65 ) 16 B. 65 56 C. 65

5 4 , cos(α + β) = - , 则 sin β 的 值 是 13 5 63 D. 65

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 把答案填在答题卡上的相应横线上. 11. 将二进制数 101101(2)化为十进制数,结果为 12.若扇形 OAB 的面积是 1 cm ,它的周长是 4 cm,则该扇形圆心角的弧度数是
2

____.
13. 为了测算如图的阴影部分的面积,作一个边长为 6 的正方形将其包含在内,并向正方形 内随机投掷 800 个点.已知恰有 200 个点落在阴影部分,据此,可估计阴影部分的面积是 ________.

14.若

4 sin ? ? 2 cos ? ? 10 ,则 tan ? 的值为 5 cos ? ? 3 sin ?



15. 已知某程序框图如下:

如果上述程序运行的结果为 S=132,那么判断框中应填入的条件是__________.

三.解答题(本大题共 5 小题,共 40 分,答题时应写出文字说明、证明过程或和演算步骤) 16. (本小题满分 6 分) 已知 sin( 3? ? ? ) ?
2

1 , 4

(1)求 cos ? 的值 (2)求

cos(? ? ? ) cos(? ? 2? ) 的值 ? cos? ?cos(? ? ? ) ? 1? cos(? ? 2? ) cos(? ? ? ) ? cos(?? )

17. (本小题满分 6 分) 已知向量 a ? (1, y ), b ? (1,?3) ,且满足 ? 2 a ? b ? ? b . (1)求向量 a 的坐标; (2)求向量 a 与 b 的夹角.
? ?
?

?

?

? ?

?

?

? ?

?

18. (本小题满分 8 分) 某校 100 名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图,其中成绩分组区间如下: 组号 分组 第一组 [50,60) 第二组 [60,70) 第三组 [70,80) 第四组 [80,90) 第五组 [90,100]

(1)求图中 a 的值; (2)根据频率分布直方图,估计这 100 名学生期中考试数学成绩的平均数
频率 组距 0.035 0.030 0.020 0.010 a

O

50 _

60 70 80 90 100

成绩

19. (本小题满分 10 分) 某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上, 高一、 高二、 高三各代表队人数分别为 120 人、 120 人、 n 人.为了活跃气氛,大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动,并用分层抽样的方法从三个代 表队中共抽取 20 人在前排就坐,其中高二代表队有 6 人. (1)求 n 的值; (2)把在前排就坐的高二代表队 6 人分别记为 a,b,c,d,e,f,现随机从中抽取 2 人上台 抽奖.求 a 和 b 至少有一人上台抽奖的概率; (3)抽奖活动的规则是:代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0,1]之间的均匀随机数 x, y,并按如上图所示的程序框图执行.若电脑显示“中奖”,则该代表中奖;若电脑显示“谢 谢” ,则不中奖,求该代表中奖的概率.

20. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

) ? 2 sin 2 x .

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x) 的最大值及取得最大值时 x 的取值集合; (3)求函数 f ( x) 的单调递增区间。

衡阳县四中 2015 年高一下期数学期末测试卷参考答案 一、 题号 答案 1 D 2 A 13.9 (2)32
?

3 A 14.-2

4 D

5 B 15.K ? 10

6 D

7 B

8 B

9 D

10 C

二、 11.45 ---12. 2 16. (1)

17 解: (1)∵ 已知 b ? ?1, ?3? ,且 ? 2 a ? b ? ? b

? ? ? ? ?? ? 2 a ? b ? 2(1, y) ? (1, ?3) ? (3, 2 y ? 3) ? ? ? (1, 2) ∴ ( 3, y 解得 ∴a ? 2? 3 ?) ? ( 1 ,? 3? ) y 3? ( 2 ? ? 3? ) ( 3 ) :0 y?2 ? ? ? ? a ?b (2)设向量 a 与 b 的夹角 ? ∵ cos ? ? ? ? | a || b | ? ? a ?b (1, 2) ? (1, ?3) 2 ?? ∴ cos ? ? ? ? ? 2 | a || b | 1 ? 22 1 ? (?3) 2

15 16

∵0 ?? ??

∴向量 a 与 b 的夹角 ? ?

?

?

3? 4

18. (Ⅰ)a=0.005; (Ⅱ)74.5; (Ⅲ)

1 3

解: (Ⅰ)由题意得 10a+0.01×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10=1,所以 a=0.005. (Ⅱ)由直方图分数在[50,60]的频率为 0.05,[60,70]的频率为 0.35,[70,80]的频率为 0.30, [80,90]的频率为 0.20,[90,100]的频率为 0.10,所以这 100 名学生期中考试数学成绩的 平均分的估计值为:55×0.05+65×0.35+75×0.30+85×0.20+95×0.10=74.5 (1)160; (2)

3 3 ; (3) 5 4

试题解析: (1)由题意可得

6 20 ? ,解得 n ? 160 ; 120 120 ? 120 ? n

(2)高二代表队 6 人,从中抽取 2 人上台抽奖的基本事件有 ( a, b) , ( a, c ) , (a, d ) , ( a, e) ,

(a, f ) , (b, c) , (b, d ) , (b, e) , (b, f ) , (c, d ) , (c, e) , (c, f ) , ( d , e) , (d , f ) , (e, f )
共 15 种,a 和 b 至少一人上台基本事件有 9 种,a 和 b 至少有一人上台抽奖的概率为

9 3 ? ; 15 5

( 3 ) 由 已 知 0 ? x ? 1 , 0 ? y ? 1 , 点 ( x , y )在 如 图 所 示 的 正 方 形 OABC 内 , 由 条 件

?2 x ? y ? 1 ? 0, ? 得到的区域为图中的阴影部分. ?0 ? x ? 1, ?0 ? y ? 1 ?

由 2x ? y ?1 ? 0 , 令 y ? 0 可 得 x ?

1 , 令 y ? 1 , 可 得 x ? 1 . ∴ 在 x, y ? [ 0, 1] 时满足 2 3 1 1 3 3 2 x ? y ? 1 ? 0 的区域的面积为 S ? ? (1 ? ) ? 1 ? ,所以该代表中奖的概率为 4 ? . 2 2 4 1 4

20. y ? sin(2 x ?

?
6

) ? 1 (1) T ? ? ;(2) f ( x)max ? 2; x ? k? ?

?
3

; (3) [k? ?

?

, k? ? ] ; 6 3

?


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