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江西省宜春市奉新一中2016-2017学年高一数学下学期期末试卷


江西省宜春市奉新一中2014-201 5学年高一下学期期末数学试卷

一、选择题:(本题共12小题,每小题5分,共60分) 1.若a>b,则下列不等式成立的是() A.lna>lnb B. 0.3a>0.3b C. D.

2.若直线l1:ax+(1﹣a)y﹣3=0与直线l2:(a﹣1)x+(2a+3)y﹣2=0互相垂 直,则a的值是()

A.﹣3 1或﹣3 B. 1 C. 0或 D.

3.等比数列{an}的各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+…+log3a10= () A.5 B. 9 C. log345 D. 10

4.右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩,其中一个数字被污 损.则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为()

A.

B.

C.

D.

-1-

5.已知△ABC中,a、b分别是角A、B所对的边,且a=x(x>0),b=2,A=60°, 若三角形有两解,则x的取值范围是() A.x> <x≤2 B. 0<x<2 C. <x<2 D.

6.已知x>1,y>1,且 A.有最大值e 有最小值 B.

, ,lny成等比数列,则xy() 有最大值 C.有最小值e D.

7.执行如图的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=()

A.5

B.

6 C.

7

D.

8

8.在区间[0,π]上随机取一个实数x,使得sinx∈[0, ]的概率为()

A.

B.

C.

D.

-2-

9.若两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为An、Bn,且满足

,则

的值为()

A.

B.

C.

D.

10.若2m+2n<2

,则点(m,n)必在() B.直线x+y=1的右上方 D.直线x+2y=1的右上方

A.直线x+y=1的左下方 C.直线x+2y=1的左下方

11.在△ABC中,内角A、B、C的对边分别是a、b、c,若cosB= ,

=2,且S△A

BC=

,则b=() B. 3 C. 2 D. 1

A.4

12.已知△ABC的重心为G,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2a =0,则sinA:sinB:sinC=() A.1:1:1 :1:2 B. 3:2 :2 C. :2:1 D.

二.填空题:(本题共4道小题,每小题5分,共20分) 13.过点P(3,﹣1)引直线,使点A(2,﹣3),B(4,5)到它的距离相等, 则这条直线的方程为.

-3-

14.已知x>0,y>0且

=1,求使不等式x+y≥m恒成立的实数m的取值范围是.

15.在锐角三角形ABC,A、B、C的对边分别为a、b、c, + =6cosC,则

+

=.

16.有限数列D:a1,a2,…,an,其中Sn为数列D的前n项和,定义 为D 的“德光和”,若有99项的数列a1,a2,…,a99的“德光和”为1000,则有100项 的数列8,a1,a2,…,a99的“德光和”为.

三、解答题:(本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或推演 步骤) 17.已知直线l =1.

(1)若直线的斜率小于2,求实数m的取值范围; (2)若直线分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点,O是坐标原点,求△AOB面 积的最小值及此时直线的方程.

18.已知等差数列{an}满足:a3=7,a8+a4=26,{an}的前n项和为Sn. (Ⅰ)求an及Sn; (Ⅱ)令bn= (n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.

-4-

19.已知函数f(x)=cos(2x﹣

)﹣cos2x(x∈R).

(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间; (2)△ABC内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,若f( )=﹣ ,且a>b,求角B和角C. ,b=1,c=

20.有20名学生参加某次考试,成绩(单位:分)的频率分布直方图如图所示: (Ⅰ)求频率分布直方图中m的值; (Ⅱ) 分别求出成绩落在[70,80),[80,90),[90,100]中的学生人数; (Ⅲ)从成绩在[80,100]的学生中任选2人,求所选学生的成绩都落在[80,90 )中的概率.

21.三角形ABC中,已知sin2A+sin2B+sinAsinB=sin2C,其中,角A,B,C所对的 边分别为a,b,c. (Ⅰ)求角C的大小; (Ⅱ)求 的取值范围.

22.已知数列{an}及f(xn)=a1x+a2x2+…+anxn,fn(﹣1)=(﹣1)nn,n∈N*. (Ⅰ)求a1,a2,a3的值,并求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设bn=an﹣10,求数列{|bn|}的前n项和Tn; (Ⅲ)若 ( n)?an≤ m2+ m﹣1 对一切正整数n恒成立,求实数m的取值范围. -5-

江西省宜春市奉新一中2016-2017学年高一下学期期末数学试卷

一、选择题:(本题共12小题,每小题5分,共60分) 1.若a>b,则下列不等式成立的是() A.lna>lnb B. 0.3a>0.3b C. D.

考点:不等关系与不等式. 专题:不等式的解法及应用. 分析:不妨令a=﹣1、b=﹣2,代入各个选项检验,可得结论. 解答: 解:不妨令a=﹣1、b=﹣2,代入各个选项检验可得A、B、C都不成立,只 有D成立, 故选:D. 点评: 本题主要考查不等式与不等关系,不等式的基本性质,利用特殊值代入法, 排除不符合条件的选项,得到符合条件的选项,是一种简单有效的方法.

2.若直线l1:ax+(1﹣a)y﹣3=0与直线l2:(a﹣1)x+(2a+3)y﹣2=0互相垂 直,则a的值是() A.﹣3 1或﹣3 -6B. 1 C. 0或 D.

考点:两条直线垂直的判定. 专题:计算题. 分析:利用两条直线垂直的充要条件列出方程,求出a的值. 解答: 解:∵l1⊥l2

∴a(1﹣a)+(a﹣1)×(2a+3)=0,即(a﹣1)(a+3)=0 解得a=1或a=﹣3 故选D. 点评: 本题考查两直线垂直的充要条件:l1:A1x+B1y+C1=0;l2:A2x+B2y+C2=0垂直 ?A1A2+B1B2=0,如果利用斜率必须分类型解答.

3.等比数列{an}的各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+…+log3a10= () A.5 B. 9 C. log345 D. 10

考点:等比数列的通项公式;对数的运算性质. 专题:函数的性质及应用;等差数列与等比数列. 分析: 利用等比中项、对数性质可知log3a1+log3a2+…+log3a10=5log3a4a7,进而计 算可得结论. 解答: 解:依题意当n≤10时,a11﹣nan=a1?q11﹣n﹣1?a1?qn﹣1= 又∵a5a6+a4a7=18, ∴a4a7=9, ∴log3a1+log3a2+…+log3a10 =log3a1a10+log3a2a9+log3a3a8+log3a4a7+log3a5a6 =5log3a4a7 -7?q9为定值,

=5log39 =10, 故选:D. 点评: 本题考查等比数列的等比中项及对数的运算法则,注意解题方法的积累,属 于中档题.

4.右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩,其中一个数字被污 损.则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为()

A.

B.

C.

D.

考点:众数、中位数、平均数;茎叶图. 专题:图表型. 分析: 由已知的茎叶图,我们可以求出甲乙两人的平均成绩,然后求出 ≤ 即

甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率,进而根据对立事件减法公式得到答案 . 解答: 解:由已知中的茎叶图可得

甲的5次综合测评中的成绩分别为88,89,90,91,92, 则甲的平均成绩 设污损数字为X, 则乙的5次综合测评中的成绩分别为83,83,87,99,90+X 则乙的平均成绩 = =88.4+ -8= =90

当X=8或9时,

≤ =

即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为

则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率P=1﹣ = 故选C 点评: 本题考查的知识点是平均数,茎叶图,古典概型概率计算公式,其中根据已 知茎叶图求出数据的平均数是解答本题的关键.

5.已知△ABC中,a、b分别是角A、B所对的边,且a=x(x>0),b=2,A=60°, 若三角形有两解,则x的取值范围是() A.x> <x≤2 B. 0<x<2 C. <x<2 D.

考点:解三角形. 专题:综合题;解三角形. 分析: 利用正弦定理列出关系式,将a,b,sinA的值代入表示出sinB,根据B的度 数确定出B的范围,要使三角形有两解确定出B的具体范围,利用正弦函数的值域 求出x的范围即可. 解答: 解:∵在△ABC中,a=x(x>0),b=2,A=60°, =

∴由正弦定理得:sinB= ∵A=60°, ∴0<B<120°,

要使三角形有两解,得到60°<B<120°,且B≠90°,即 -9-

<sinB<1,





<1, <x<2,

解得:

故选:C. 点评: 此题考查了正弦定理,以及正弦函数的性质,熟练掌握正弦定理是解本题的 关键.

6.已知x>1,y>1,且 A.有最大值e 有最小值 B.

, ,lny成等比数列,则xy() 有最大值 C.有最小值e D.

考点:等比数列的性质;对数的运算性质. 专题:计算题. 分析: 先利用等比数列等比中项可知 x+lny≥2 解答: ?lny= 可得lnx?lny= ,再根据lnxy=ln

可得lnxy的范围,进而求得xy的范围. 解:依题意 ?lny=

∴lnx?lny= ∴lnxy=lnx+lny≥2 xy≥e 故选C 点评:本题主要考查了等比中项的性质.即若a,b,c成等比数列,则有b2=ac. =1

- 10 -

7.执行如图的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=()

A.5

B.

6 C.

7

D.

8

考点:程序框图. 专题:算法和程序框图. 分析:由题意可得,算法的功能是求S=1﹣ ﹣ ≤t

时n的最小值,由此可得结论. 解答: 解:由程序框图知:算法的功能是求S=1﹣ ﹣ ≤t

时n的最小值, 再根据t=0.01,可得当n=6时,S=1﹣ ﹣ = >0.01,而当n=7时,S=1﹣ ﹣

=

≤0.01,

故输出的n值为7, 故选:C.

- 11 -

点评: 本题考查了直到型循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是 解题的关键,属于基础题.

8.在区间[0,π]上随机取一个实数x,使得sinx∈[0, ]的概率为()

A.

B.

C.

D.

考点:几何概型. 专题:概率与统计. 分析: 由题意,本题属于几何概型的运用,已知区间的长度为π,满足sinx∈[0, ]的 ,求出区间长度,由几何概型公式解答.

解答:

解:在区间[0,π]上,当

时,

,由几何概型知,符合条件的概率为 故选C.



点评:本题考查解三角函数与几何概型等知识,属于基础题.

9.若两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为An、Bn,且满足

,则

的值为()

A.

B.

C. - 12 -

D.

考点:等差数列的性质;等差数列的通项公式;等差数列的前n项和. 专题:综合题;等差数列与等比数列. 分析: = = ,而 = ,代入已知条件即可算出.

解答:

解:由题设知,





=

,所以

= ,

所以 故选D. 点评:

=

=

= ,

本题考查等差数列的前n项和公式、通项公式及等差数列的性质,在等差数 列{{an}中,若m+n=p+q=2k,(k,m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq=2ak;n为奇 数时,Sn=na中,a中为中间项;

10.若2m+2n<2

,则点(m,n)必在() B.直线x+y=1的右上方 D.直线x+2y=1的右上方

A.直线x+y=1的左下方 C.直线x+2y=1的左下方

考点:根式与分数指数幂的互化及其化简运算. 专题:函数的性质及应用. 分析: 由已知利用基本不等式得到m+n<1,再由二元一次不等式表示的平面区域得 答案. 解答: 解:由2m+2n<2 ,得

- 13 -







即m+n<1. ∴点(m,n)必在直线x+y=1的左下方. 故选:A. 点评: 本题考查了根式与分数指数幂的互化,考查了基本不等式的应用,考查了二 元一次不等式表示的平面区域,是基础题.

11.在△ABC中,内角A、B、C的对边分别是a、b、c,若cosB= ,

=2,且S△A

BC=

,则b=() B. 3 C. 2 D. 1

A.4

考点:正弦定理. 专题:解三角形. 分析:由条件利用正弦定理可得c=2a,sinB= a=1,可得c=2,再利用余弦定理求得b的值. 解答: 解:△ABC中,cosB= , =2, .再由S△ABC= 求得

∴由正弦定理可得c=2a,sinB=



再由S△ABC=

=

=a2?

,可得 a=1,∴c=2, - 14 -

∴b2=a2+c2﹣2ac?cosB=1+4﹣4× =4,∴b=2, 故选:C. 点评:本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,属于基础题.

12.已知△ABC的重心为G,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2a =0,则sinA:sinB:sinC=() A.1:1:1 :1:2 B. 3:2 :2 C. :2:1 D.

考点:正弦定理;平面向量的基本定理及其意义. 专题:计算题;平面向量及应用. 分析: 利用正弦定理化简已知表达式,通过 利用正弦定理求解即可. 解答: 则2a + 解:设a,b,c为角A,B,C所对的边,若2a =﹣3c +( =﹣3c(﹣ b﹣3c) ﹣ = , b﹣3c=0,即2a= b=3c, ), =0, , 不共线,求出a、b、c的关系,

即(2a﹣3c) 又因∵ ,

不共线,则2a﹣3c=0,

由正弦定理可知:sinA:sinB:sinC=a:b:c=3:2 故选:B. 点评:

:2,

本题考查平面向量在几何中的应用,余弦定理以及正弦定理的应用,考查计 算能力,属于基础题.

二.填空题:(本题共4道小题,每小题5分,共20分) 13.过点P(3,﹣1)引直线,使点A(2,﹣3),B(4,5)到它的距离相等, 则这条直线的方程为4x﹣y﹣13=0或x=3. - 15 -

考点:两点间距离公式的应用. 专题:直线与圆. 分析: 根据题意,求出经过点P且与AB平行的直线方程和经过P与AB中点C的直线方 程,即可得到满足条件的直线方程. 解答: 解:由题意,所求直线有两条,

其中一条是经过点P且与AB平行的直线;另一条是经过P与AB中点C的直线. ∵A(2,﹣3),B(4,5), ∴AB的斜率k= =4,

可得经过点P且与AB平行的直线方程为y+1=4(x﹣3), 化简得4x﹣y﹣13=0, 又∵AB中点为C(3,1) ∴经过PC的直线方程为x=3, 故答案为:4x﹣y﹣13=0或x=3. 点评: 本题给出点A、B,求经过点P且与A、B距离相等的直线方程,着重考查了直 线的斜率与直线方程等知识,属于基础题和易错题.

14.已知x>0,y>0且 ﹣∞,16].

=1,求使不等式x+y≥m恒成立的实数m的取值范围是(

考点:基本不等式. 专题:不等式的解法及应用.

- 16 -

分析: 不等式x+y≥m恒成立?(x+y)min≥m.利用“乘1法”和基本不等式的性质 即可得出. 解答: 解:∵x>0,y>0且 =1,

∴x+y= .

=10+

=16,当且仅当y=3x=12时取等号

∵不等式x+y≥m恒成立?(x+y)min≥m. ∴m∈(﹣∞,16], 故答案为:(﹣∞,16]. 点评: 本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质、恒成立问题的等价转化方法, 属于基础题.

15.在锐角三角形ABC,A、B、C的对边分别为a、b、c, + =6cosC,则

+

=4.

考点:正弦定理;三角函数的化简求值. 专题:解三角形. 分析: 化简已知条件可得a2+b2= c2.再利用正弦定理、余弦定理化简要求的式子



=

?

,从而求得结果.

- 17 -

解答:

解:锐角三角形ABC中,∵ + =6cosC,则由余弦定理可得

=6?



化简可得a2+b2= c2.



+

=

+

=

?(

+

)=

=

=

=

?

=

=4,

故答案为:4. 点评:本题主要考查了三角形的 正弦定理与余弦定理的综合应用求解三角函数值,属于基本公式的综合应用,属 于中档题.

16.有限数列D:a1,a2,…,an,其中Sn为数列D的前n项和,定义 为D 的“德光和”,若有99项的数列a1,a2,…,a99的“德光和”为1000,则有100项 的数列8,a1,a2,…,a99的“德光和”为998.

考点:数列的求和. 专题:点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 通过S1+S2+S3+…+Sn=na1+(n﹣1)a2+(n﹣2)a3+…+2an﹣1+an入手,计算即 可得到结论. - 18 -

解答:

解:∵S1=a1,Sn=a1+a2+…+an,

∴S1+S2+S3+…+Sn=na1+(n﹣1)a2+(n﹣2)a3+…+2an﹣1+an, 对于数列a1,a2,…,a99有: S1+S2+S3+…+S99=99a1+98a2+97a3+…+2a98+a99=1000n=99000, 对于数列8,a1,a2,…,a100有: S1+S2+S3+…+S100=800+99a1+98a2+97a3+…+2a98+a99=99800; 所以数列8、a1、a2、a3、…、a99的“德光和”为998, 故答案为:998. 点评: 本题考查数列的性质和应用,解题时要认真审题、仔细求解,注意解题方法 的积累,属于中档题.

三、解答题:(本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或推演 步骤) 17.已知直线l =1.

(1)若直线的斜率小于2,求实数m的取值范围; (2)若直线分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点,O是坐标原点,求△AOB面 积的最小值及此时直线的方程.

考点:直线的一般式方程;直线的斜率. 专题:直线与圆. 分析: (1)利用斜率计算公式即可得出;

(2)求出与坐标轴的交点坐标,利用三角形的面积计算公式和二次函数的单调 性即可得出. 解答: 则 解:(1)直线l过点(m,0),(0,4﹣m), 2,解得m>0或m<﹣4且m≠4. - 19 -

∴实数m的取值范围是m>0或m<﹣4且m≠4; (2)由m>0,4﹣m>0得0<m<4, 则 ,

则m=2时,S有最大值,直线l的方程为x+y﹣2=0. 点评: 本题考查了斜率计算公式、三角形的面积计算公式和二次函数的单调性,考 查了计算能力,属于基础题.

18.已知等差数列{an}满足:a3=7,a8+a4=26,{an}的前n项和为Sn. (Ⅰ)求an及Sn; (Ⅱ)令bn= (n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.

考点:数列的求和;等差数列的前n项和. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)根据等差数列的通项公式求出首项和公差即可求an及Sn;

(Ⅱ)求出bn的通项公式,利用裂项法即可得到结论. 解答: 解:(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d,因为a3=7,a8+a4=26,所以有 ,解得a1=3,d=2,

所以an=3+2(n﹣1)=2n+1;Sn=3n+



(Ⅱ)由(Ⅰ)知an=2n+1,所以bn=

=

=

= (



), - 20 -

所以数列{bn}的前n项和Tn= (1﹣



)= (1﹣

)=



即数列{bn}的前n项和Tn= 点评:



本题主要考查等差数列的通项公式和前n项和的计算,以及利用裂项法进行 求和.

19.已知函数f(x)=cos(2x﹣

)﹣cos2x(x∈R).

(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间; (2)△ABC内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,若f( )=﹣ ,且a>b,求角B和角C. ,b=1,c=

考点:三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法. 专题:三角函数的图像与性质;解三角形. 分析: (Ⅰ)利用三角函数的恒等变换,把f(x)化为Asin(ωx+φ)的形式, 求出它的最小正周期与递增区间; (Ⅱ)由f( )=求出B的值,再由正弦定理求出A、C的值即可.

解答:

解:(Ⅰ)∵f(x)=cos(2x﹣

)﹣cos2x

=cos2x?(﹣ )+sin2x?

﹣cos2x - 21 -

=

sin2x﹣ cos2x

=

( ?sin2x﹣

cos2x)

=

sin(2x﹣

),

∴故函数f(x)的最小正周期为T=

=π;

令﹣

+2kπ≤2x﹣



+2kπ,k∈Z,

则﹣

+kπ≤x≤

+kπ,k∈Z;

∴f(x)的递增区间为[kπ﹣

,kπ+

](k∈Z );

(Ⅱ)f( )=

sin(B﹣

)=﹣



∴sin(B﹣

)=﹣ .

∵0<B<π,∴﹣

<B﹣





∴B﹣

=﹣

,即B=



由正弦定理得:

=

=



∴sinC=



∵0<C<π,∴C=



; - 22 -

当C=

时,A=



当C=

时,A=

(不合题意,舍);

综上,B= 点评:

,C=



本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题,也考查了解三角形的应用问 题,是基础题目.

20.有20名学生参加某次考试,成绩(单位:分)的频率分布直方图如图所示: (Ⅰ)求频率分布直方图中m的值; (Ⅱ) 分别求出成绩落在[70,80),[80,90),[90,100]中的学生人数; (Ⅲ)从成绩在[80,100]的学生中任选2人,求所选学生的成绩都落在[80,90 )中的概率.

考点:频率分布直方图;列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题:概率与统计. 分析: (Ⅰ)根据各小组频率和等于1,求出m的值; ,计算成绩落在[70,80)、[80,90)、[90,100]中

(Ⅱ)利用频率= 的学生人数;

(Ⅲ)用列举法求出从[80,100]中的学生抽取2人的基本事件数以及此2人的成 绩都在[80,90)的基本事件数,求出概率即可. - 23 -

解答:

解:(Ⅰ)根据各小组频率和等于1,得;

10×(2m+3m+4m+5m+6m)=1, ∴m=0.005;… (Ⅱ)成绩落在[70,80)中的学生人数为 20×10×0.03=6, 成绩落在[80,90)中的学生人数是 20×10×0.02=4, 成绩落在[90,100]中的学生人数2是 0×10×0.01=2;… (Ⅲ)设落在[80,90)中的学生为a1,a2,a3,a4, 落在[90,100]中的学生为b1,b2,则 Ω1={a1a2,a1a3,a1a4,a1b1,a1b2,a2a3,a2a4,a2b1,a2b2,a3a4,a3b1,a3b2,a4 b1,a4b2,b1b2}, 基本事件个数为n=15, 设A=“此2人的成绩都在[80,90)”,则事件A包含的基本事件数m=6, ∴事件A发生的概率为 点评: 本题考查了频率分布直方图的应用问题,也考查了用列举法求古典概型的概 率问题,是基础题目. .…

21.三角形ABC中,已知sin2A+sin2B+sinAsinB=sin2C,其中,角A,B,C所对的 边分别为a,b,c. (Ⅰ)求角C的大小; (Ⅱ)求 的取值范围.

考点:余弦定理;正弦定理. - 24 -

专题:解三角形. 分析: (Ⅰ)已知等式利用正弦定理化简,再利用余弦定理表示出cosC,将得出 关系式代入求出cosC的值,确定出C的度数;

(Ⅱ)由(Ⅰ)及正弦定理化简可得:

=

,结合A的范围,可得

<sin(A 解答:

)<1,即可得解.

解:(Ⅰ)由sin2A+sin2B+sinAsinB=sin2C,利用正弦定理化简得:a2+b2 ﹣c2=﹣ab, ∴cosC= = =﹣ ,

即C=



(Ⅱ)∵由(Ⅰ)可得:B=



∴由正弦定理可得:

=

=

=

=



∵0



A





<sin(A

)<1,

- 25 -







,从而解得:

∈(1,

).

点评: 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合应用,解题时注意分析角的范围 ,属于基本知识的考查.

22.已知数列{an}及f(xn)=a1x+a2x2+…+anxn,fn(﹣1)=(﹣1)nn,n∈N*. (Ⅰ)求a1,a2,a3的值,并求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设bn=an﹣10,求数列{|bn|}的前n项和Tn; (Ⅲ)若 ( n)?an≤ m2+ m﹣1 对一切正整数n恒成立,求实数m的取值范围.

考点:数列的求和;数列的应用. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)通过令n=1、2、3代入计算可知a1、a2、a3的值,利用(﹣1)n+1?an+
1=fn+1(﹣1)﹣fn(﹣1)计算即得通项公式;

(Ⅱ)通过an=2n﹣1可知当n≥

时bn≥0,分类讨论即得结论;

(Ⅲ)通过令cn=

,通过作差可知当n=2时cn取最大值 ,进而解不等式 m2+

m﹣1≥ 即可. 解答: 解:(Ⅰ)∵f1(﹣1)=﹣a1=﹣1,∴a1=1,

∵f2(﹣1)=﹣a1+a2=2,∴a2=3, ∵f3(﹣1)=﹣a1+a2﹣a3=﹣3,∴a3=5, ∵(﹣1)n+1?an+1=fn+1(﹣1)﹣fn(﹣1)=(﹣1)n+1?(n+1)﹣(﹣1)n?n, - 26 -

∴an+1=(n+1)+1=2n+1, ∴an=2n﹣1; (Ⅱ)∵an=2n﹣1, ∴bn=an﹣10=2n﹣11, ∴数列{bn}的前n项和Sn= =n2﹣10n,

由bn≥0得n≥



∴当1≤n≤5时,Tn=﹣(b1+b2+…+bn)=﹣Sn=﹣n2+10n; 当n≥6时,Tn=﹣(b1+b2+…+b5)+b6+…+bn =Sn﹣2S5 =n2﹣10n﹣2(52﹣10×5) =n2﹣10n+50; 综上,Tn= ;

(Ⅲ)令cn=

,则cn+1﹣cn=



=



∴当n=1时,c1= ;

当n=2时,c2= ; 当n≥2时,cn+1<cn,. ∴当n=2时,cn取最大值 ,

又( n)?an≤ m2+ m﹣1对一切正整数n恒成立,

∴ m2+ m﹣1≥ 对一切正整数n恒成立, - 27 -

解得:m≥1或m≤﹣7. 点评: 本题考查数学的通项及前n项和,考查运算求解能力,考查分类讨论的思想 ,注意解题方法的积累,属于中档题.

- 28 -


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