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2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(附答案)(14)


加试模拟训练题(14) 1 、非等腰 ?ABC 的内切圆圆心为 I ,其与 BC , CA, AB 分别相切于点 A1 , B1 , C1 , AA1 , BB1 分别交圆于 A2 , B2 , ?A1 B1C1 中 ?C1 A1 B1 , ?C1 B1 A1 的角平分线分别交 B1C1 , A1C1 于点 A3 , B3 , 证明 (1)A2 A3 是 ?B1 A2C1 的角

平分线; (2) 如果 P, Q 是 ?A1 A2 A3 和 ?B1 B2 B3 的两个外接圆的交点,则点 I 在直线 PQ 上。 2、对任意实数 x, y, z , 试证: 1 ? 19 2 1 ? 19 2 ( x ? y 2 ? 9 z 2 ) ? xy ? 2 xz ? 3 yz ? ( x ? y 2 ? 9 z 2 ). 6 6 3、设 n 是正整数,我们说集合{1,2,…,2 n }的一个排列( x1 , x 2 , ? x 2 n )具有性质 P,是指在{1,2,…,2 n -1}当中至少有一个,使得 | xi ? xi ?1 |? n. 求证,对于任何 n ,具 有性质 P 的排列比不具有性质 P 的排列的个数多. 4、求方程 | p ? q |? 1 的整数解,其中 p, q 是质数, r , s 是大于 1 的正整数,并证明 r s 你所得到的解是全部解. 加试模拟训练题(14) 1 、非等腰 ?ABC 的内切圆圆心为 I ,其与 BC , CA, AB 分别相切于点 A1 , B1 , C1 , AA1 , BB1 分别交圆于 A2 , B2 , ?A1 B1C1 中 ?C1 A1 B1 , ?C1 B1 A1 的角平分线分别交 B1C1 , A1C1 于点 A3 , B3 , 证明 (1)A2 A3 是 ?B1 A2C1 的角平分线; (2) 如果 P, Q 是 ?A1 A2 A3 和 ?B1 B2 B3 的两个外接圆的交点,则点 I 在直线 PQ 上。 证 明 ( 1 ) 因 为 ?AC1 A2 ∽ ?AA1C1 , ?AB1 A2 ∽ ?AA1 B1 , 所 以 有 C1 A2 AA2 AA2 B1 A2 CA CA CA ,从而有 1 2 ? 1 1 ? 1 3 ,即 A2 A3 是 ?B1 A2C1 的角平分 ? ? ? C1 A1 AC1 AB1 B1 A1 B1 A2 B1 A1 B1 A3 线。 (2)设 ?A1 A2 A3 的外心为 O ,连 OI , IA2 , OA2 , OA1 ,则 OI ? A1 A2 。由于 ?A1 A3 A2 ? ?A1C1 A2 ? ?C1 A2 A3 ? ?C1 A1 A3 ? ?A1C1 A2 ? 所 以 ?A2OI ? 1 ? ?C1 A2 B1 ? ?C1 A1B1 ? ? 90? ? ?A1C1 A2 , 2 1 ?A2 OA1 ? 180? ? ?A1 A3 A2 ? 90? ? ?A1C1 A2 ? 90 ? ? ?A2 IO , 于 是 有 2 即 IA2 与 O 相切于 A2 。 同理 IB2 与 ?B1 B2 B3 的外接圆相切于 B2 , 从而 I 在 ?IA2O ? 90? , O 与 ?B1 B2 B3 的外接圆的根轴上,即 I ,P, Q 三点共线。 2、对任意实数 x, y, z , 试证: 1 ? 19 2 1 ? 19 2 ( x ? y 2 ? 9 z 2 ) ? xy ? 2 xz ? 3 yz ? ( x ? y 2 ? 9

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