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8-3第3讲 两角和与差的正弦、余弦和正切


第8章

第3讲

两角和与差的正弦、余弦和正切

一、选择题 3 1. 已知 cosα= ,则 cos2α 的值为( 5 24 A.- 25 B.- 7 25 ) B.最小正周期为 π 的偶函数 π D.最小正周期为 的偶函数 2 ) ) 7 C. 25 24 D. 25

π 2.函数 y=2cos2(x- )-1 是( 4 A.最小正周期为 π 的奇函数 π C.最小正周期为 的奇函数 2

3. 对于函数 f(x)=2sinxcosx,下列选项中正确的是( π π A.f(x)在?4,2?上是递增的 ? ? C.f(x)的最小正周期为 2π 2 4. 已知 sinα= ,则 cos(π-2α)=( 3 A.- 5 3 1 B.- 9

B.f(x)的图象关于原点对称 D.f(x )的最大值为 2 ) 1 C. 9 ) 4 D. 5 D. 5 3

π 4 7π 5. 已知 cos(α- )+sinα= 3,则 sin(α+ )的值是( 6 5 6 2 3 A.- 5 6. 3-sin70° =( 2-cos210° 1 A. 2 二、填 空题 ) B. 2 2 C.2 2 3 B. 5

4 C.- 5

D.

3 2

1 π 3π 7.已知 sinθ+cosθ= ,且 ≤θ≤ ,则 cos2θ 的值是________. 5 2 4 π π 8.化简:cos( +α)+sin( +α)=________________________________. 3 6 π π 9.函数 y=sin?x+3?sin?x+2?的最小正周期 T=____ ____. ? ? ? ? 10. y=2cos2x+sin2x 的最小值是________.
1

三、解答题 1 1 11.已知 tanα= ,tanβ= ,并且 α,β 均为锐角,求 α+2β 的值. 7 3

π sin?θ+ ? 4 15 12.已知 θ 为第二象限角,且 sinθ= ,求 的值. 4 sin2θ+cos2θ+1

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第8章

第3讲

两角和与差的正弦、余弦和正切

一、选择题 3 1.(2008· 广州一模)已知 cosα= ,则 cos2α 的值为( 5 24 A.- 25 B.- 7 25 7 C. 25 [答案] B ) ) 24 D. 25

7 [解析] cos2α=2cos2α-1=- . 25

π 2.(2009· 广东)函数 y=2cos2(x- )-1 是( 4 A.最小正周期为 π 的奇函数 B.最小正周期为 π 的偶函数 π C.最小正周期为 的奇函数 2 π D.最小正周期为 的偶函数 2

π π 2π [解析] 因为 y=2cos2(x- )-1=cos?2x-2?=sin2x 为奇函数,T= =π,所以选 A. ? ? 4 2 [答案] A 3.(2010· 陕西,3)对于函数 f(x)=2sinxcosx,下列选项中正确的是( π π A.f(x)在?4,2?上是递增的 ? ? B.f(x)的图象关于原点对称 C.f(x)的最小正周期为 2π D.f(x )的最大值为 2 π π [解析] f(x)=2sinxcosx=si n2x,其增区间为?kπ-4,kπ+4?,k∈Z. ? ? 2π 2π f(x)是奇函数,其图象关于原点对称. 周期为 T= = =π,[f(x)]max=1,故选 B. ω 2 [答案] B 2 4.(2010· 全国Ⅱ,3)已知 sinα= ,则 cos(π-2α)=( 3 A.- 5 3 1 B.- 9
3

)

) 1 C. 9 D. 5 3

2 1 [解析] 由诱导公式和倍角公式得 cos(π- 2α)=-cos2α=2sin2α-1=2×?3?2-1=- . ? ? 9 [答案] B π 4 7π 5.(2008· 山东)已知 cos(α- )+sinα= 3,则 sin(α+ )的值是( 6 5 6 2 3 A.- 5 [解析] 由已知得 2 3 B. 5 4 C.- 5 ) 4 D. 5

3 1 4 1 3 4 cosα+ sinα+sinα= 3,即 cosα+ sinα= , 2 2 5 2 2 5 [答案] C

π 4 7 π 4 得 sin(α+ )= ,sin(α+ π)=-sin(α+ )=- . 6 5 6 6 5 3-sin70° 6.(2008· 宁夏、海南) =( 2-cos210° 1 A. 2 B. 2 2 ) C.2

D.

3 2

3-sin70° 6-2sin70° [解析] 原式= = =2. [答案] C 1+cos20° 3-sin70° 2- 2 二、填 空题 1 π 3π 7.已知 sinθ+cosθ= ,且 ≤θ≤ ,则 cos2θ 的值是________. 5 2 4 1 24 3 [解析] sinθ+cosθ= ,两边平方得 sin2θ=- ,π≤2θ≤ π,∴cos2θ=- 5 25 2 7 =- . 25 7 [答案] - 25 24 1-? ?2 25

π π 8.(2008· 上海春)化简:cos( +α)+sin( +α)=________________________________. 3 6 π π [解析] cos( +α)+sin( +α) 3 6 π π π π 1 3 1 3 =cos cosα-sin sinα+sin cosα+cos sinα= cosα- sinα+ cosα+ s inα=cosα. 3 3 6 6 2 2 2 2 [答案] cosα π π 9.函数 y=sin?x+3?sin?x+2?的最小正周期 T=____ ____. ? ? ? ? [解析] π π π 1 3 1 3 y=sin(x+ )sin(x+ )=sin(x+ )cosx=( sinx+ cosx)cosx= sinxcosx+ 3 2 3 2 2 2 2

1 3 1 π cos2x= sin2x+ (1+cos2x)= sin(2x+ ),∴T=π. 4 4 2 3 [答案] π 10.(2009· 上海卷)y=2cos2x+sin2x 的最小值是________.

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π [解析] f(x)=cos2x+ sin2x+1= 2sin(2x+ )+1,所以最小值为:1- 2. 4 [答案] 1- 2 三、解答题 1 1 11.已知 tanα= ,tanβ= ,并且 α,β 均为锐角,求 α+2β 的值. 7 3 1 1 π π [解] ∵t anα= <1,tanβ= <1,且 α、β 均为锐角,∴0<α< ,0<β< . 7 3 4 4 3 ∴0<α+2β< π. 4 2tanβ 3 又 tan2β= 2 = , 1-tan β 4 1 3 + 7 4 tanα+tan2β ∴tan(α+2β)= = =1. 1 3 1-tanα· tan2β 1- × 7 4 3 又 0<α+2β< π 4 π ∴ α+2β= . 4 π sin?θ+ ? 4 15 12.已知 θ 为第二象限角,且 sinθ= ,求 的值. 4 sin2θ+cos2θ+1 π π π sin?θ+ ? sinθcos +cosθsin 4 4 4 [解] = sin2θ+cos2θ+1 2sinθcosθ+2cos2θ 2 2 ?sinθ+cosθ? 2 2 = = . 2cosθ?sinθ+cosθ? 2cosθ ∵θ 为第二象限角,且 sinθ= 2 2 所以,原式= =- 2. 2cosθ 15 1 ,∴cosθ=- , 4 4

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