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2.1数列的概念与简单表示法3


第二章 数列 2.1 第3课时 通项公式与前n项和的关系:

1.已知 an+1-an-3=0,则数列{an}是 A.递增数列 C.常数列 A.an+1=an+n,n∈N* B.an=an-1+n,n∈N*,n≥2 C.an+1=an+(n+1),n∈N*,n≥2 D.an=an-1+(n-1),n∈N*,n≥2 B.递减数列 D.不能确定

( A )

2.数列 1,3,6,10,15,…的递推公式是

( B )

数列的前n项和 S n 定义
数列的前n项和: 数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an 称为数列的前 n项和,记为 S n . S1表示前1项之和: S1 =a1 S2表示前2项之和: S2 =a1+a2 …… Sn-1表示前n-1项之和: Sn-1 = a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 Sn表示前n项之和:S n =
a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an

.

∴当n≥1时 ,Sn 才有意义; 当n-1≥1即n≥2时 Sn-1 才有意义.

Sn与an之间的关系:
由Sn的定义可知,当n=1时, S1 =a1 ; 当n≥2时,an = Sn - Sn-1 , 即a n =
?S1 (n ? 1) . ? ?S n ? S n ?1 (n ? 2)

探究一 已知Sn,求an的某些项

(1) 已知数列{an}的前n项和 的前3项。

n2 ? n ? 1 sn ? n ?1

,求此数列

(2) 已知数列{an}的前n项和为 a8= 。

sn ?

2n ? 1 n

,则

(3)数列{an}的前n项的和Sn=2n2+1,则a1,a5的 值为 多少 ?进而求ak, am+1
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(4)数列{an}的前n项和 求a6+a7 , a10+a11 ,

sn ?

3n ? 1

n

a15+a16+a17, a4+a5+a6+a7+a8的值。

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探究二

已知Sn求an

例2 已知数列 ?an ?的前n项和Sn,求数列的通项公 式: ⑴ Sn=n2+2n; ⑵ Sn=n2-2n-1.

解:⑴①当n≥2时,an=Sn-Sn-1 =(n+2n)-[(n1)+2(n-1)]=2n+1; ②当n=1时,a1=S1=1+2×1=3; ③经检验,当n=1时,2n+1=2×1+1=3, ∴ an=2n+1为所求. ⑵①当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n-2n-1)-[(n-1)+2(n1)-1]=2n-3; ②当n=1时,a1=S1=1-2×1-1=-2; ③经检验,当n=1时,2n-3=2×1-3=-1≠-2,
? 2(n ? 1) ∴a n= ? ? ?2n ? 3(n ? 2)

为所求.

思考: 设数列1,2,4,8,…的前n项和是 Sn=a+bn+cn2+dn3,求a、b、c、d的值和数列 的通项.

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1.已知下列各数列 ?an ? 的前n项和Sn的公式,求 的 ?an ? 通项公式 (1) Sn=2n2-3n; (2) Sn=3n-2.

课堂练习

解:(1) a1=-1, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-3n-[2(n-1)2 -3(n-1)]=4n-5, 又a1符合a1=4·1-5, ∴ an=4n-5; (2) a1=1, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-2-(3n-1-2)= 2· 3n-1, 当n=1时,an=2,不符合,
? 1 ∴ an= ? n?1 ?2 ? 3 n ?1 n?2

课堂总结:对于任一数列,其通项 项和Sn之间的关系是

{an } 和它的前n

(n ? 1) ?S1 Sn ? a1 ? a2 ??an ? an ? ? ?Sn ? Sn?1 (n ? 2)

注意验证的情形是n=1否满足an=Sn-Sn-1,若满足, 则是an关于n的一个式子,否则写成分段函数的 形式.


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