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《等差数列求和公式》教案


等差数列求和公式
教学目标 1.知识目标 (1)掌握等差数列前 n 项和公式,理解公式的推导方法; (2)能较熟练应用等差数列前 n 项和公式求和。 2.能力目标 经历公式的推导过程,体会数形结合的数学思想,体验从特殊到一般的研究 方法,学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。 3.情感目标 通过生动具体的现实问题,激发学生探究的兴趣和欲望,树立学生求真的勇 气和自信心,

增强学生学好数学的心理体验,产生热爱数学的情感,体验在学习中 获得成功。 教学重点、难点 1.等差数列前 n 项和公式是重点。 2.获得等差数列前 n 项和公式推导的思路是难点。 教学过程 复习回顾: 1.等差数列的定义; 2.等差数列的通项公式。 新课引入: 问题一: 介绍德国著名数学家高斯,相传高斯在 10 岁那年他的算术老师给他出了一道 算术题:1+2+3+?+100=?。结果高斯很快就算出了答案,你知道高斯是怎么很快 的算出结果的吗? 请同学起来回答,如何进行首尾配对求和:
100 ( ? =5050. Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? ... ? 100 = (1 ? 100) ? (2 ? 99) ? ...(50 ? 51) = 1 ? 100) 2

师:非常好!这位同学和数学家高斯一样聪明!这里高斯的配对法就是采用 的“首尾配对法”。师:这里 1,2,3,?,100 这是一个什么数列?生:等差数列。 师:这里 1 ? 2 ? 3 ? ... ? 100 就是在求一个等差数列的和的问题。引出课题:7.2.2 等 差数列求和。 一、数列的前 n 项和意义 一般地, 设有数列 a1 , a2 , a3 ,?, an , ?,我们把 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an 叫做数列 {an } 的 前 n 项和,记作 Sn .即 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an .
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问题二: (课件出示印度泰姬陵的图片),介绍传说中的泰姬陵陵寝中有一个三角形 图案,以相同大小的圆宝石镶饰而成,共 21 层。你知道镶饰这个图案一共花了多 少宝石吗? 学生回答:即求 S21 ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 21 。师:怎么求? 生:仿照上面的方法,首尾配对(1+21)+(2+20)+?+(10+12)。师:这里 一共配成了几对呢?生:10 对,再加上中间一个数 11,得到结果 231。师:很好。 我们用高斯的首尾配对法也能求出结果来。那么,有没有更简单一点的配对方法 呢? 课件演示,在三角形红宝石图案旁添一个相同倒置三角形蓝宝石图案,将两 个三角形拼成平行四边形。则 原三角形红宝石图案: S21 ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 21 , 后添的三角形蓝宝石图案: S21 ? 21 ? 20 ? 19 ? ? ? 1, 平行四边形图案所有宝石数: 2S21 ? (1 ? 21) ? 21 , 所以, S21 ?
(1 ? 21) ? 21 ? 231 。 2

这种求和方法叫倒序相加法,与高斯的首尾相配法原理如出一辙。 师:上面我们求了 S100 , S21 ,在这两个问题中,最后,这个和都可以写成首项 与末项的和乘以项数的一半。那么,是不是所有的等差数列都有 S n ? 个求和公式呢?下面我们来证明这个公式。 二.等差数列的前 n 项和公式 设有等差数列 {an } : a1 , a2 , a3 ,?, an , 公差为 d ,前 n 项和为 Sn ,则
(a1 ? an )n 这 2

Sn ? a1 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 2d ) ? ?? [a1 ? (n ?1)d ] ; Sn ? an ? (an ? d ) ? (an ? 2d ) ? ?? [an ? (n ?1)d ] .
将两式分别相加,得: 2Sn ? n(a1 ? an ) , 由此得到等差数列 {an } 的前 n 项和的公式
Sn ? (a1 ? an )n 2

(公式一)

说明:这里一共有 4 个量,已知 3 个量就可以求出第 4 个量。
2

因为 an ? a1 ? (n ?1)d ,所以上面的公式又可以写成 n(n ? 1) Sn ? na1 ? d (公式二) 2 例题: 例 1:在等差数列 {a n } 中, (1)已知 a1 ? 3, a10 ? 101 ,求 S10 ; (2)已知 a1 ? 3, d ?
1 ,求 S8 。 2

通过此例题,让学生体会在具体的问题中如何根据已知条件选择适当的求和 公式。 例 2:一个堆放铅笔的 V 形架的最下面一层放 1 支铅笔,往上每一层都比它下面 一层多放 1 支,最上面一层放 120 支。这个 V 形架上共放了多少支铅笔? 请学生回答。先归结为数学问题,然后选择适当的求和公式,代入求解。 课堂小练: 1.计算: 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ?1) ? 2.已知数列 {a n } 为等差数列, (1)若 a1 ? 5, a8 ? 10 ,求 S8 ; (2)若 a1 ? 5, a2 ? 10 ,求 S8 ; (3)若 a2 ? 5, a7 ? 10 ,求 S8 ; 例 3:已知等差数列-10,-6,-2,2,…,的前多少项和为 54? 1 3 15 例 4:在等差数列 {a n } 中,已知 d ? , an ? , S n ? ? ,求 a1 及 n 。 2 2 2 请学生思考,列出两个关于 a1 和 n 的方程,再求解。 说明:在等差数列的通项公式与前 n 项公式中,含有 a1 , d , n, an , Sn 五个量,已 知其中的 3 个量就可以求出余下的两个量。 课堂小结: 1.等差数列前 n 项和 Sn 公式的推导--倒序相加法; 2.等差数列前 n 项和 Sn 公式的记忆与应用; (a ? a )n n( n ? 1 ) S n ? 1 n (公式一) Sn ? na1 ? d (公式二) ; 2 2 。

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