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江苏省扬州市2015年高考数学考前指导 填空题5


江苏省扬州市 2015 年高考数学考前指导 填空题 5
1.设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,对任意 x ? R ,都有 f ( x) ? f ( x ? 4) ,且当 x ? [?2, 0]

?1? 时, f ( x) ? ? ? ? 1 ,若在区间 (?2, 6] 内关于 x 的方程 f ( x) ? loga ( x ? 2) ?

0(a ? 1) 恰有 ?2?
三个不同的实数根,则 a 的取值范围为 .答案: ( 3 4, 2)

x

x ? 2) 【 解 析 】 令 g ( x) ? log( , 由 题 意 若 在 区 间 (?2, 6] 内 关 于 a

x 的方程

f ( x) ? l ao g x ?(
2 . 若 函 数

g ( 2)?3 恰有三个不同的实数根,所以 ?2 ) a ? 0 ( 1) g ( 6)?3 ,解得 3 4 ? a ? 2
f( x ? )
对 ? x 1? a l n x ? (a 任 0意 ) x1 , x2 ? (0,1] , 都 有 .答案: [?3, 0)

?

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 4 |

1 1 ? | ,则实数 a 的取值范围是 x1 x2

提示:当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 ? 0,1? 上是增函数,又函数 y ? 妨设 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,则 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? f ( x2 ) ? f ( x1 ),|

1 在 ? 0,1? 上是减函数,不 x

1 1 1 1 ? |? ? , x1 x2 x1 x2

所以 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 4 |

1 1 4 4 ? | 等价于 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? , x1 x2 x1 x2

即 f ( x2 ) ?

4 4 4 4 ? f ( x1 ) ? .设 h( x) ? f ( x) ? ? x ? 1 ? a ln x ? , x x x2 x1

则 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 4 |

1 1 ? | 等价于函数 h( x) 在区间 ? 0,1? 上是减函数. x1 x2

∵ h?( x) ? 1 ? 即a ? x?

a 4 x 2 ? ax ? 4 2 ? ? ,∴ x ? ax ? 4 ? 0 在 x ? ? 0,1? 时恒成立, x x2 x2

4 4 在 x ? ? 0,1? 上恒成立,即 a 不小于 y ? x ? 在区间 ? 0,1? 内的最大值. x x 4 4 而函数 y ? x ? 在区间 ? 0,1? 上是增函数,所以 y ? x ? 的最大值为 ?3 . x x
∴ a ? ?3 ,又 a ? 0 ,所以 a ? [?3, 0) . 3.若实数 a,b,c 满足 2 +2 =2 解析 ∵2
a+b a b a b a b a+b, a

2 +2 +2 =2
a+b

b

c

a+b+c

,则 c 的最大值为________.

=2 +2 ≥2 2 ·2 =2 2

(当且仅当 a=b 时取等号),
1

∴(2

a+b 2

) -4×2
b c

a+b

≥0,∴2

a+b

≥4 或 2
c

a+b

≤0(舍). ·2 ,
c

又∵2 +2 +2 =2
a+b

a

a+b+c

,∴2

a+b

+2 =2

a+b

2 c a+b ∴2 = a+b (2 ≥4). 2 -1 又∵函数 f(x)= 1 =1+ (x≥4)单调递减, x-1 x-1 答案 2-log23

x

4 4 4 c ∴2 ≤ = ,∴c≤log2 =2-log23. 4-1 3 3

2 4.如图所示,有两个相同的直三棱柱,高为 ,底面三角形的三边长分别为 3a、4a、5a(a

a

>0). 用它们拼成一个三棱柱或四棱柱, 在所有可能的情形中, 全面积最小的是一个四棱柱, 则 a 的取值范围是________.

解析:先考查拼成三棱柱(如图(1)所示)全面积:

S1=2× ×4a×3a+(3a+4a+5a)× =12a2+48; 2 a
再考查拼成四棱柱(如图(2)所示)全面积: 2 2 ①若 AC=5a, AB=4a, BC=3a, 则该四棱柱的全面积为 S2=2×4a×3a+2(3a+4a)× =24a

1

4

a

+28; 2 2 ②若 AC=4a, AB=3a, BC=5a, 则该四棱柱的全面积为 S2=2×4a×3a+2(3a+5a)× =24a

a

+32; 2 2 ③若 AC=3a, AB=5a, BC=4a, 则该四棱柱的全面积为 S2=2×4a×3a+2(4a+5a)× =24a

a

+36; 2 2 2 又在所有可能的情形中,全面积最小的是一个四棱柱,从而知 24a +28<12a +48? 12a < 15 20? 0<a< . 3 15? ? ?. 3 ? ? 5.函数 u ? 2t ? 4 ? 6 ? t 的值域是 即 a 的取值范围是?0, 【答案】 : ? 2 2, 2 6 ? ? ?

2 2
0 4 x
2

【提示】可令 x ? 2t ? 4, y ? 6 ? t 消去 t 得: x2 ? 2 y2 ? 16(0 ? x ? 4,0 ? y ? 2 为含参数 u 的直线系

2), 所给函数化

y=-x+u,如图知 umin ? 2 2 ,当直线与椭圆相切于第一象限时 u 取最大值,此时由方程 组?

? y ? ?x ? u 2 2 ,则 3x ? 4ux ? 2u ? 16 ? 0 ,由 ? ? 0 ? u ? ?2 6, 因直线过第一 2 2 ? x ? 2 y ? 16
? ?

象限,?umax ? 2 6 ,故所求函数的值域为 ? 2 2, 2 6 ? 6. 在等差数列 ?a n ?中,a2 ? 5 ,a6 ? 21, 记数列 ? 对 n ? N ? 恒成立,则正整数 m 的最小值为 解:由题设得 an ? 4n ? 3 ,∴ S 2 n ?1 ? S n ? 令 Tn ?

?1? m 若 S 2 n ?1 ? S n ? ? 的前 n 项和为 Sn , 15 ? an ?


m 1 1 1 m ? ?? ? ? , 可化为 15 4n ? 1 4n ? 5 8n ? 1 15

1 1 1 ? ??? , 4n ? 1 4n ? 5 8n ? 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? ? 则 Tn ?1 ? , 4n ? 5 4n ? 9 8n ? 1 8n ? 5 8n ? 9 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ?0, ∴ Tn ?1 ? Tn ? 8n ? 5 8n ? 9 4n ? 1 8n ? 2 8n ? 2 4n ? 1 1 1 14 ∴当 n ? 1 时, Tn 取得最大值 ? ? , 5 9 45 m 14 14 ? 由 解得 m ? ,∴正整数 m 的最小值为 5。 15 45 3
7.下图展示了一个由区间(0,k) (其 k 为一正实数)到实数集 R 上的映射过程:区间(0, k)中的实数 m 对应线段 AB 上的点 M,如图 1;将线段 AB 围成一个离心率为
3 的椭圆,使 2

两端点 A、B 恰好重合于椭圆的一个短轴端点,如图 2 ;再将这个椭圆放在平面直角坐标系 中,使其中心在坐标原点,长轴在 X 轴上,已知此时点 A 的坐标为(0,1),如图 3,在图 形变化过程中,图 1 中线段 AM 的长度对应于图 3 中的椭圆弧 ADM 的长度.图 3 中直线 AM 与 直线 y= ?2 交于点 N(n,—2),则与实数 m 对应的实数就是 n,记作 f(m)=n,

3

现给出下列命题:①.

;②

是奇函数;③在定义域上单调递增;④. 时 AM 过椭圆右焦点.



图象关于点( ,0)对称;⑤f(m)=

其中所有的真命题是_______ (写出所有真命题的序号) ③、④、⑤ 8.若曲线 f(x)=ax +lnx 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是 {a|a<0} . 解:由题意该函数的定义域 x>0,由 因为存在垂直于 y 轴的切线, 故此时斜率为 0,问题转化为 x>0 范围内导函数 再将之转化为 g(x)=﹣2ax 与 存在零点. .
2

存在交点.当 a=0 不符合题意,

当 a>0 时,如图 1,数形结合可得显然没有交点, 当 a<0 如图 2,此时正好有一个交点,故有 a<0. 故答案为:{a|a<0}

4


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