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不等式的证明之比较法


宁都县宁师中学

宁师中学“自主参与学习法”
主编人:宋秋华 编号
Sxxx4-5

数学

学科导学稿(教师版)
定稿日:2013-2-27 使用人:高二文科组

证明:采用差值比较法:

审稿人:沈新生

协编人:曾小玲

1.4.1 §1.4.1
比较法 学习目标:能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。 学习重、难点:能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。 学习过程: 一、新课学习: 要比较两个实数的大小,只要考察它们的差的符号即可,即利用不等式的性质: 不等式的证明方法之一:

讨论:若题设中去掉 x ? 1 这一限制条件,要求证的结论如何变换? 例 3、已知 a, b ? R ? , 求证 a b ? a b .
a b b a

本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 证明:1) 差值比较法:

a ? b ? a ?b ? 0
a ? b ? a ?b ? 0 a ? b ? a ?b ? 0
二、典型例题:
3 3 2 2 例 1、设 a, b 都是正数,且 a ? b ,求证: a ? b ? a b ? ab 。

2)商值比较法:设 a ? b ? 0, 例 4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度 m 行走,另一半时间以 速度 n 行走;乙有一半路程以速度 m 行走,另一半路程以速度 n 行走。如果 m ? n ,问甲、乙两人 谁先到达指定地点。 分析:设从出发地点至指定地点的路程是 S ,甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为 t1 ,t 2 。 要回答题目中的问题,只要比较 t1 ,t 2 的大小就可以了。 解:

2 4 2 2 例 2、若实数 x ? 1 ,求证: 3(1 ? x ? x ) ? (1 ? x ? x ) .

1

宁都县宁师中学

三、课堂练习: 1.比较下面各题中两个代数式值的大小: (1) x 与 x ? x ? 1 ; (2) x ? x ? 1 与 ( x ? 1) 2 .
2 2 2

2.已知 a ? 1. 求证: (1) a 2 ? 2a ? 1;

(2)
a ?b ? c 3

2a ? 1. 1? a2

3.若 a ? b ? c ? 0 ,求证 a b c ? (abc)
a b c

.

四、课时小结:

五、课后作业:

六、教学后记:

2


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