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广东省华南师范大学附中2013届高三5月综合测试数学理试题


2013 年华南师范大学附属中学高三综合测试

数学(理)
2013.5.23 第Ⅰ卷(共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的 1. 已知 i 是虚数单位,则复数 z ? i ? 2i ? 3i 所对应的点落在
2 3

A. 第

一象限;

B. 第二象限;

C. 第三象限;

D. 第四象限

2. 已知全集 U ? R , A ? {x | ?1 ? x ? 2} , B ? {x | x ? 0} ,则 CU ( A ? B ) ? A. {x | 0 ? x ? 2} ; B. {x | x ? 0} ; C. {x | x ? ?1 ; D.

{x | x ? ?1}

3. 公比为 2 的等比数列 {an } 的各项都是正数,且 a2 a12 ? 16 ,则 log 2 a9 ? A. 4; B. 5; C. 6; D. 7

4. 若 x、y 满足约束条件 ?

?x ? y ? 0
2 2 ?x ? y ? 1

,则 2 x ? y 的取值范围是

A. ?

? 2 , ? 2

? 5? ; ?

B. ??

? ?

2 , 2

2? ?; 2 ?

C. ? 5 ,

?

5;

?

D.

? 2 , ?? ? 2

? 5? ?

5. M、N 分别是正方体 AC1 的棱 A1 B1、A1 D1 的中点,如图是过 M、N、A 和 D、N、C1 的两个截面截去两个角后所得的几何体,则该几何体的主视图为
N
M
D

C1
B1
C
B

A

B
5

C

D
2

A

6. 若将函数 f ( x) ? 2 x 表示为 f ( x) ? a0 ? a1 (1 ? x) ? a2 (1 ? x) ? ? ? a5 (1 ? x) ,其中
5

a0 , a1 , a2 , ? , a5 为实数,则 a3 ?
A. 10; B. 20; C. ? 20 ; D.

? 10

7. 在 ?ABC 中,已知向量 AB ? (cos18?, cos 72?) , BC ? (2 cos 63?, 2 cos 27?) ,则

?ABC 的面积为
A.

2 ; 2

B.

2 ; 4

C.

3 ; 2

D.

2

8. 对应定义域和值域均为 ?0, 1? 的函数 f (x) , 定义:f1 ( x) ? f ( x) ,f 2 ( x) ? f ? f1 ( x)? , , ?

f n ( x) ? f ? f n ?1 ( x)? , n ? 2,3,4,? ,方程 f n ( x) ? x, x ? ?0,1? 的零点称为 f 的 n 阶不动点。
1 ? 0? x? ?2 x , ? 2 ,则 的 阶不动点的个数是 设 f ( x) ? ? f n ?2 ? 2 x , 1 ? x ? 1 ? 2 ?
A. 2n ; B. 2(2n ? 1) ; C. 2 ;
n

D.

2n 2

第Ⅱ卷(共 110 分)Ks5u 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分。 (一)必作题(9~13 题) 开始 2 2 9. 双曲线 9 x ? 16 y ? 1 的焦距是 Ks5u

S ? 0, n ? 1
10.

?

?

2 0

(2 x ? sin x)dx ?

n ? 212

S ? S ? sin n? 3



?? ? 3 11. 已知 sin ? ? x ? ? ,则 sin 2 x 的值为 ?4 ? 5
12. 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序, 则输出的结果是 13. 已知命题“ ?x ? R , | x ? a | ? | x ? 1 |? 2 ”是假命题, 则实数 a 的取值范围是

输出S

n ? n ?1

结束

(二)选作题(请考生在以下两个小题中任选一题作答) 14. (坐标系与参数方程选作题)以平面直角坐标系的原点为极点, xP 轴的正半轴为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度单位。已知圆的方程是 ? ? 4 cos ? ,则它的圆心到直线 E

? x ? ?2 ? 2t ? l:? ( t 为参数)的距离等于 ? y ? 3 ? 2t ?
15. (几何证明选讲选作题)如图,已知 P 是 ⊙ O 外一点,

O

D F

PD 为 ⊙ O 的切线, D 为切点,割线 PEF 经过圆心 O ,

若 PF ? 12 , PD ? 4 3 ,则 ⊙ O 的半径长为 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16. (满分 12 分)已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) , ( A ? 0, ? ? 0, | ? |? 分,如图所示。 (1)求函数 f (x) 的解析式; (2)当 x ? ?? 6,? ? 时,求函数 y ? f ( x) ? f ( x ? 2) 的最大值与最小值及相应的 x 的值 3

?
2

) 的图像的一部

? ?

2? ?

y
2

?1
?2

o

1

3

5

x

17.(满分 12 分)近年空气质量逐步恶化,雾霾天气现象出现增多,大气污染危害加重,大 气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病,为了解某市心肺疾病是否与性别有关,在某医院 随机的对入院 50 人进行了问卷调查,得到如下的列联表。

患心肺疾病


不患心肺疾病
5

合计

女 合计

10 50

已知在全部 50 人中随机抽取 1 人,抽到患心肺疾病的人的概率为

3 , 5

(1)请将上面的列联表补充完整; (2)是否有 99.5% 的把握认为患心肺疾病与性别有关?说明你的理由; (3)已知在患心肺疾病的 10 位女性中,有 3 位又患有胃病,现在从患心肺疾病的 10 位女性中,选出 3 名进行其它方面的排查,记选出患胃病的女性人数为 ? ,求 ? 的分布列、 数学期望以及方差。 下面的临界值表仅供参考:

P( K 2 ? k )

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

K

18. (满分 14 分)数列 {an } 是公差为正数的等差数列, a2 、 a5 且是方程 x ? 12 x ? 27 ? 0
2

的两根,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,且 Tn ? 1 ? (1)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (2)记 cn ? an ? bn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 S n

1 bn (n ? N ? ) , 2

19. (满分 14 分)如图, AA1 、 BB1 OO1 为圆柱的母线, BC 是底面圆 O 的直径,D、E 分别是 AA1 、 1 的中点,DE ? CB
B1

A1
? O1

平面 CBB1 , (1)证明: DE ∥平面 ABC Ks5u

D

E

A
(2)若 BB1 ? BC ,求 CA1 与平面 CBB1 所成角的正弦值 Ks5u

C

?
B

O

20. (满分 14 分)如图,已知椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 的上、下顶点分别为 A、B ,点 P 在椭 4

圆上,且异于点 A、B ,直线 AP、BP 与直线 l : y ? ?2 分别交于点 M、N , (1)设直线 AP、BP 的斜率分别为 k1 、 k 2 ,求证: k1 ? k 2 为定值; (2)求线段 MN 的长的最小值; (3)当点 P 运动时,以 MN 为直径的圆是否经过某定点?请证明你的结论。

y A

x o
B

N

M

21. (满分 14 分)已知函数 f ( x) ? e ? kx , x ? R ,
x

(1)若 k ? e ,试确定函数 f (x) 的单调区间; (2)若 k ? 0 ,且对于任意的 x ? R , f (| x |) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (3)设函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ,求证: F (1) F (2)? F (n) ? e

?

n ?1

? 2 2 , (n ? N ? )

?

n

2013 年华南师范大学附属中学高三综合测试答案
一、选择题: 1~8: CDAD BBAC;

8. f1 ( x) ? f ( x) ? 1? | 2 x ? 1 | , x ? [0,1] ,其图像为两条线段组成的折线,如图,与 y ? x 有两个交点,故 f 的一阶不动点个数为 2;

f 2 ( x) ? f [ f1 ( x)] ? 1? | 2 f1 ( x) ? 1 | , x ? [0,1] ,其图像为四条线段组成的折线,如图,
与 y ? x 有 4 个交点,故 f 的 2 阶不动点个数为 4,由此可否定选项 B、D; 其图像为八条线段组成的折线, 如图, f 3 ( x) ? f [ f 2 ( x)] ? 1? | 2 f 2 ( x) ? 1 | ,x ? [0,1] , 与 y ? x 有 8 个交点,故 f 的 3 阶不动点个数为 8,由此可否定选项 A;

y
1 1

y
1

y

o
二、填空题: 9.

1

x

o

1

x

o

1

x

5 ; 6

10.

?2
4

?1;

11.

7 ; 25

12.

3;

13. (??,?3) ? (1,??) ; 三、解答题

14.

2 ; 2

15. 4;

16. 解: 1) ( 由图像知,A ? 2 , ? 4 ? T ? 8 ? 由对应点得,当 x ? 1 时,

T 2

2?

?

, ?? ?

?
4

, f ( x) ? 2 sin ? 得

?? ? x ?? ? , ?4 ?

?
4

?1 ? ? ? 2k? ?

?
2

,又 | ? |?

?
2

,?? ?

?
4



?? ?? ? f ( x) ? 2 sin? x ? ? 4? ?4
(2) y ? 2 sin ?

?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? x ? ? ? 2 sin ? ( x ? 2) ? ? ? 2 sin ? x ? ? ? 2 cos? x ? ? 4? 4? 4? 4? ?4 ?4 ?4 ?4

? ?? ?? ? 2 2 sin ? x ? ? ? 2 2 cos x 4 2? ?4

2? ? ? ? 3? ? ? ? x ? ?? 6,? ? ,? x ? ?? ,? ? , 3? 4 6? ? ? 2
? 当


?
?
4

x??

?
6

,即 x ? ?

2 时, y 的最大值为 6 ; 3

4

x ? ?? ,即 x ? ?4 时, y 的最小值为 ? 2 2 ;

17. (1)列联表补充如下:

患心肺疾病


不患心肺疾病
5

合计

20
10

25 25
50

女 合计
(2)解:因为 K 2 ?

15 20

30

n(ad ? bc) 2 , (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

即K ?
2

50(20 ?15 ? 5 ?10) 2 25 ? ? 8.333 ,又 P(k 2 ? 7.789) ? 0.005 ? 0.5% , 25 ? 25 ? 30 ? 20 3

那么,我们有 99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关。 (3) ? 的所以可能取值为 0,1,2,3.

P(? ? 0) ?

3 C7 7 ? ; 3 C10 24

P(? ? 1) ?

1 C3C72 63 21 ? ? ; 3 C10 120 40

1 C32C7 21 7 P(? ? 2) ? 3 ? ? ; C10 120 40

3 C3 1 P(? ? 3) ? 3 ? C10 120

分别列如下:

?
P
则 E? ? 0 ?

0

1

2

3

7 24

21 40

7 40

1 120

7 21 7 1 9 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? , 24 40 40 120 10
2 2 2 2

9? 7 ? 9 ? 21 ? 9? 7 ? 9? 1 49 ? 。 D? ? ? 0 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? 3 ? ? ? ? ? 10 ? 24 ? 10 ? 40 ? 10 ? 40 ? 10 ? 120 100
?? 的数学期望与方差分别为 E? ?

9 49 , D? ? 。 10 100

18. 解(1)由 a2 ? a5 ? 12 , a2 ? a5 ? 27 ,且 d ? 0 得: a2 ? 3 , a5 ? 9 。

?d ?

a5 ? a2 ? 2 , a1 ? 1 ,? an ? 2n ? 1 。 5?2 1 2 1 在 Tn ? 1? bn 中,令 n ? 1 得: b1 ? ,当 n ? 2 时, Tn ?1 ? 1 ? bn ?1 ,两式相减得: 2 3 2
b 1 1 1 ?1? bn ? bn ?1 ? bn ,? n ? , (n ? 2) ,? bn ? 2 ? ? ? 。 2 2 bn ?1 3 ?3?
n

?1? ?1? (2)? cn ? (2n ? 1) ? 2 ? ? ? ? (4n ? 2) ? ? ? , ?3? ?3?
2n ? 1 ? 1 2n ? 1 ? ?1 3 3 ?1 3 3 ? S n ? 2? ? 2 ? 3 ? ? n ? , S n ? 2? 2 ? 3 ? 4 ? ? n ?1 ? , 3 ? 3 3 ?3 3 3 ?3 3 3 ?
两式错位相减得:

n

n

?1 ? 1 1 2 1 ? 2n ? 1 ? 4 4n ? 4 S n ? 2 ? ? 2? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? n ?1 ? ? ? n ?1 , 3 3 ? 3 ? 3 3 ?3 ? 3 3

? Sn ? 2 ?

2n ? 2 。 3n

19. (1)证明:连接 EO , OA ,? E、O 分别为 B1C、BC 的中点,? EO ∥ BB1 ,

1 BB1 ,? 四边形 AOED 为平行四边形。即 DE ∥ OA , 2 DE ? 平面 ABC ,? DE ∥ 平面 ABC 。
又 DA∥ BB1 ,且 DA ? EO ? (2)解一:由(1)知 DE ∥ OA , DE ? 平面 CBB1 ,?OA ? 平

z

面 CBB1 ,

? OA ? BC , 又 AB ? AC ,? AB ? AC 。
分别以 AB 、 AC 、 AA1 为坐标轴建立空间直角坐标系, 如图,设 BB1 ? BC ? 2 ,则 A1 (0,0,2) , C (0, 2 ,0) ,
B1

A1
? O1

D

? 2 2 ? ? 2 2 ? ? ? ? O? ? 2 , 2 ,0 ? ,从而 AO ? ? 2 , 2 ,0 ? ,CA1 ? (0,? 2 ,2) , ? ? ? ?
又 AO 是平面 CBB1 的法向量,是所求角为 ? ,则

E

A

C

?

y
O

sin ? ?| cos ? AO, CA1 ?|?

| AO ? CA1 | | AO | ? | CA1 |

?

6 6

x

B

所以 CA1 与平面 CBB1 所成角的正弦值为

6 。 6

解二:作过 C 的母线 CC1 ,连接 B1C1 ,则 B1C1 是上底面圆 O1 的直径,连接 A1O1 ,

得 A1O1 ∥ AO ,由(1)已知 DE ∥ AO , DE ? 平面 CBB1 ,? AO ? 平面 CBB1C1 ,

? A1O1 ? 平面 CBB1C1 ,连接 CO1 ,则 ?A1CO1 为 CA1 与平面 BB1C 所成的角。设 BB1 ? BC ? 2 ,
则 A1C ?
A1

C1
? O1

2 2 ? ( 2 ) 2 ? 6 , A1O1 ? 1 ,

B1

在 rt?A1O1C 中, sin ?A1CO1 ?

A1O1 6 , ? A1C 6
6 。 6

D

E

A

C
?

所以 CA1 与平面 CBB1 所成角的正弦值为

O

20. 解 (1) A(0,1) , (0,?1) , P ( x0 , y0 ) , 令 则由题设可知 x0 ? 0 , ? B

B

? 直线 AP 的斜率 k1 ?

y0 ? 1 y ?1 , PB 的斜率 k 2 ? 0 ,又点 P 在椭圆上,所以 x0 x0

2 2 y ? 1 y0 ? 1 y0 ? 1 x0 1 2 ( ,从而有 k1k 2 ? 0 ? ? 2 ?? 。 ? y0 ? 1 , x0 ? 0 ) x0 x0 x0 4 4

(2)由题设可以得到直线 AP 的方程为 y ? 1 ? k1 ( x ? 0) , 直线 BP 的方程为 y ? (?1) ? k 2 ( x ? 0) ,ks5u

3 ? ? y ? 1 ? k1 x ? x ? ? k1 , ?? 由? y ? ?2 ? ? y ? ?2 ?

1 ? ? y ? 1 ? k2 x ? x ? ? k2 , ?? 由? y ? ?2 ? ? y ? ?2 ?

? 3 ? ? 1 ? ? 直线 AP 与直线 l 的交点 N ? ? ,?2 ? ,直线 BP 与直线 l 的交点 M ? ? ,?2 ? 。 ? k ? ? k ? ? 1 ? ? 2 ?
又 k1k 2 ? ?

3 1 3 3 3 1 ? ? ? 4k1 ? ? 4 | k1 |? 2 ? 4 | k1 | ? 4 3 , ,?| MN |? k1 k 2 k1 | k1 | | k1 | 4

等号当且仅当

3 3 ? 4 | k1 | 时取到,即 k1 ? ? ,故线段 MN 长的最小值是 4 3 。 | k1 | 2

(3)设点 Q( x, y ) 是以 MN 为直径的圆上的任意一点,则 QM ?QN ? 0 , 故有 ? x ? ?

? ?

3? ? 1? 1 ? ? ? x ? ? ? ( y ? 2)( y ? 2) ? 0 ,又 k1k 2 ? ? ,所以以 MN 为直径的圆的 ? ? ? k1 ? ? k2 ? 4

方程为 x ? ( y ? 2) ? 12 ? ? ?
2 2

?3 ? ? 4k1 ? x ? 0 , ? ? k1 ?
?x ? 0 ? y ? ?2 ? 2 3
,或 ?

令?

?x ? 0
2 2 ? x ? ( y ? 2) ? 12 ? 0

, 解得 ?

?x ? 0 ? y ? ?2 ? 2 3



所以以 MN 为直径的圆恒过定点 (0, ? 2 ? 2 3 ) 或 (0, ? 2 ? 2 3 ) 。 注:写出一个坐标即可给分。 2:由 ? e 得 f ( x) ? e ? ex ,以由f ?( x) ? 0 , x ? 1 , f (x) 的调区为1,??) ,调区为 ,1] 。 1( k . 1 解) : 所f?(x)?e?, 得 故 单增间 ( 单减间 (??
x x

增区间为 (1,??) ,单调减区间为 (??,1] 。 (2)由 f (| ? x |) ? f (| x |) 可知 f (| x |) 为偶函数,于是 f (| x |) ? 0 对任意的 x ? R 成立, 等价于 f ( x) ? 0 对任意的 x ? 0 成立,由 f ?( x) ? e ? k ? 0 ,得 x ? ln k ,
x

①当 k ? (0,1] 时, f ?( x) ? e ? k ? 1 ? k ? 0, ( x ? 0) ,此时 f (x) 在 [0,??) 上为增函数;故
x

f ( x) ? f (0) ? 1 ? 0 ,符合题意;
②当 k ? (1,??) 时, ln k ? 0 ,当 x 变化时, f ?(x) 、 f (x) 的变化情况如下表:

x

(0, ln k )
?

ln k 0

(ln k ,??)
?

f ?(x) f (x)

单调递减

极小值

单调递增

由此可得,在 [0,??) 上, f ( x) ? f (ln k ) ? k ? k ln k ,依题意, k ? ln k ? 0 , 又 k ? 1 ,?1 ? ln k ? 0 ,?1 ? k ? e , 综合①②得:实数 k 的取值范围是 (0, e) 。 (3)? F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ? e ? e
x ?x

,ks5u

? F ( x1 ) F ( x2 ) ? e x1 ? x2 ? e ? ( x1 ? x2 ) ? e ? x1 ? x2 ? e x1 ? x2 ? e x1 ? x2 ? e ? ( x1 ? x2 ) ? 2 ? e x1 ? x2 ? 2 , ? F (1) ? F (n) ? e n ?1 ? 2 , F (2) ? F (n ? 1) ? e n ?1 ? 2 ,? ,? F (n) ? F (1) ? e n ?1 ? 2 ,
由此得:ks5u

?F (1) ? F (2) ?? ? F (n)?2 ? ?F (1) ? F (n)?? ?F (2) ? F (n ? 1)???F (n) F (1)? ? (e n?1 ? 2) n



f (1) ? F (2)? F (n) ? (e n ?1 ? 2) 2 , (n ? N ? ) 。

n


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