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江西省新余市2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试卷 Word版含解析


2014-2015 学年江西省新余市高二(上)期末数学试卷(理科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.数列 3,15,35,63, ( ) ,143,…括号中的数字应为( A. 56 B. 72 C. 90 D. 99 2.已知等比数列{an}中,a1+a2=1,a3+a4=4,则 a5+a6=( A. ±16 B. 16 C. 32 D

. ±32 )



3.某组织通过抽样调查(样本容量 n=1000) ,利用 2×2 列联表和 x 统计量研究喜爱古典音 2 2 乐是否与青年的性别有关.计算得 x =15.02,经查对临界值表知 P(x ≥6.635)≈0.01, 现判定喜爱古典音乐与性别有关系,那么这种判断出错的可能性为( ) A. 0.01 B. 0.90 C. 0.99 D. 0.1 4.如果 a,b,c 满足 c<b<a 且 ac<0,那么下列选项中不一定成立的是( A. ab>ac B. c(b﹣a)>0 C. cb <ab D. ac(a﹣c)<0 5.掷骰子 2 次,每个结果以(x,y)记之,其中 x1,x2 分别表示第一颗,第二颗骰子的点 数,设 A{(x1,x2)|x1+x2=8},B={(x1,x2)|x1>x2},则 P(B|A) ( ) A. B. C. D.
2 2

2



6.若(x+ ) 展开式的二项式系数之和为 64,则展开式的常数项为( A. 10 B. 20 C. 30 D. 120 7.5 人站成一排,甲、乙两人之间恰有 1 人的不同站法的种数为( A. 18 B. 24 C. 36 D. 48 )

n



8.在△ABC,内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c.asinBcosC+csinBcosA= b,且 a> b,则∠B=( A. B. ) C. D.

9.正项递增等比数列{an}中,a3a7a8a10=81,a5+a9= A. 3? 2
7﹣n

,则该数列的通项公式 an 为(
n﹣7



B. 3? 2

n﹣7

C.

D. 2? 3

10.若 Sn,Tn 分别是等差数列{an},{bn}的前 n 项的和,且

=

(n∈N ) ,则

*

+

=(



A.

B.

C.

D.

11.在△ABC 中,AB=5,AC=6,cosA= ,O 是△ABC 的内心,若 [0,1],则动点 P 的轨迹所覆盖图形的面积为( A. B. C. 4 D. 6 )

=x

+y

,其中 x,y∈

12.函数 f(a)=(3m﹣1)a+b﹣2m,当 m∈[0,1]时,0≤f(a)≤1 恒成立,则 的最大值是( A. ) D. 5

B. 4 C.

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.设随机变量 X 的概率分布列为 X 1 2 3 4 P a .

则 P(|X﹣3|=1)=

14.已知ξ~B(n,p)且 Eξ= ,Dξ=

则 P=(ξ=4)=



15.已知集合 A={y|y=x +2x,﹣2≤x≤2},B={x|x +2x﹣3≤0},在集合 A 中任意取一个元 素 a,则 a∈B 的概率是 . 16.在送医下乡活动中,某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作,每所 医院至少安排一名医生,且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作,丙、丁两名医生也不安 排在同一医院工作,则不同的分配方法总数为 .

2

2

三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17.若 C32 =C32 (n∈N+) ,且 f(x)=(2x﹣3) =a0+a1x+a2x +…+anx . (1)求 a1+a2+a3+…+an 的值.
2n+6 n+2 n 2 n

(2)求 f(20)﹣20 除以 6 的余数. 18 已知罗坊会议纪念馆对每日参观人数量拥挤等级规定如表: 参观人数量 0~50 51~100 101~150 151~200 201~300 >300 拥挤等级 优 良 轻度拥挤 中度拥挤 重度拥挤 严重拥挤 该纪念馆对 3 月份的参观人数量作出如图的统计数据:

(1)某人 3 月份连续 2 天到该纪念馆参观,求这 2 天他遇到的拥挤等级均为良的概率; (2)从该纪念馆 3 月份参观人数低于 100 人的天数中随机选取 3 天,记这 3 天拥挤等级为 优的天数为ξ,求ξ的分布列及数学期望.
2

19 已知函数 f(x)=sin x+ (1)若 x∈[0,

sinxcosx﹣

],求函数 f(x)的取值范围; ,c=4 且 f(A)

(2)已知 a,b,c 分别为△ABC 内角 A、B、C 的对边,其中 A 为锐角,a=2 =1,求 A,b 和△ABC 的面积 S.

20 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5+a6=24,S11=143,数列{bn}的前 n 项和为 Tn 满足 2 =λTn﹣(a1﹣1) (n∈N )
+

(1)求数列 {an}的通项公式 (2)若数列{ }的前 n 项和为 Tn,试证明 Tn< ;

(3)是否存在非零实数λ,使得数列{bn}为等比数列?并说明理由. 21 已知函数 g(x)=ax ﹣2ax+1+b(a≠0,b<1) ,在区间[2,3]上有最小值 1,最大值 4, 设 f(x)= .
x 2

(1)若不等式 f(2 )﹣k+2≥0 在 x∈[﹣1,1]上恒成立,求实数 k 的范围; (2)方程 f(|2 ﹣1|)+k(
x

﹣3)=0 有四个不同的实数解,求实数 k 的范围.

22 已知数列{an}(n∈N )的前 N 项和为 Sn,满足 an,且 a2=1

+

(1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= ?(﹣2) (n∈N ) ,对任意的正整数 k,将集合(b2k﹣1,b2k,b2k+1}中的三
+

个元素排成一个递增的等差数列,其公差为 dk,求证:数列{dk}为等比数列; (3)对(2)题中的 dk,求集合{x|dk<x<dk+1,x∈Z}的元素个数.

2014-2015 学年江西省新余市高二 (上) 期末数学试卷 (理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.数列 3,15,35,63, ( ) ,143,…括号中的数字应为( A. 56 B. 72 C. 90 D. 99 考点: 数列的概念及简单表示法. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 由数列项的特点找出规律即可得到结论. 解答: 解:3=1×3, 15=3×5, 35=5×7, 63=7×9, 则( )内应为 9×11=99, 故选:D. 点评: 本题主要考查数列的简单表示,比较基础. 2.已知等比数列{an}中,a1+a2=1,a3+a4=4,则 a5+a6=( A. ±16 B. 16 C. 32 D. ±32 考点: 等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据等比数列的性质进行求解即可. )



解答: 解:∵a1+a2=1,a3+a4=4, 2 ∴(a1+a2)q =a3+a4, 2 即 q =4, 2 则 a5+a6=(a3+a4)q =4×4=16, 故选:B. 点评: 本题主要考查等比数列的项的计算,根据条件建立方程关系或者利用等比数列的性 质是解决本题的关键. 3.某组织通过抽样调查(样本容量 n=1000) ,利用 2×2 列联表和 x 统计量研究喜爱古典音 2 2 乐是否与青年的性别有关.计算得 x =15.02,经查对临界值表知 P(x ≥6.635)≈0.01, 现判定喜爱古典音乐与性别有关系,那么这种判断出错的可能性为( ) A. 0.01 B. 0.90 C. 0.99 D. 0.1 考点: 独立性检验的应用. 专题: 计算题;概率与统计.
2

分析: 利用 2×2 列联表计算得 x =15.02,经查对临界值表知 P(x ≥6.635)≈0.01,可 以得出判断出错的可能性. 解答: 解:利用 2×2 列联表计算得 x =15.02,经查对临界值表知 P(x ≥6.635)≈0.01, 可得判断出错的可能性为 0.01. 故选:A. 点评: 本题考查独立性检验的应用,是一个基础题,本题不用运算只要根据题目所给的有 关数据就可以判断出结果. 4.如果 a,b,c 满足 c<b<a 且 ac<0,那么下列选项中不一定成立的是( A. ab>ac B. c(b﹣a)>0 C. cb <ab D. ac(a﹣c)<0 考点: 不等关系与不等式. 专题: 常规题型. 分析: 本题根据 c<b<a,可以得到 b﹣a 与 a﹣c 的符号,当 a>0 时,则 A 成立,c<0 时,B 成立,又根据 ac<0,得到 D 成立,当 b=0 时,C 不一定成立. 解答: 解:对于 A,∵c<b<a 且 ac<0, ∴则 a>0,c<0, 必有 ab>ac, 故 A 一定成立 对于 B,∵c<b<a ∴b﹣a<0, 又由 c<0,则有 c(b﹣a)>0,故 B 一定成立, 对于 C,当 b=0 时,cb <ab 不成立, 2 2 当 b≠0 时,cb <ab 成立, 故 C 不一定成立, 对于 D,∵c<b<a 且 ac<0 ∴a﹣c>0 ∴ac(a﹣c)<0,故 D 一定成立 故选 C. 点评: 本题考查了不等关系与不等式,属于基础题. 5.掷骰子 2 次,每个结果以(x,y)记之,其中 x1,x2 分别表示第一颗,第二颗骰子的点 数,设 A{(x1,x2)|x1+x2=8},B={(x1,x2)|x1>x2},则 P(B|A) ( ) A. B. C. D.
2 2 2 2 2 2

2

2



考点: 条件概率与独立事件. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: A 可能为(2,6) , (3,5) , (4,4) , (5,3) , (6,2) ,B 为(5,3) , (6,2) ,即可 求出 P(B|A) . 解答: 解:A 可能为(2,6) , (3,5) , (4,4) , (5,3) , (6,2) ,B 为(5,3) , (6,2) , 所以 P(B|A)= . 故选:C.

点评: 本题考查条件概率,考查学生的计算能力,比较基础.
n

6.若(x+ ) 展开式的二项式系数之和为 64,则展开式的常数项为( A. 10 B. 20 C. 30 D. 120



考点: 二项式系数的性质. 专题: 计算题. 分析: 根据二项式的展开式的二项式系数是 64,写出二项式系数的表示式,得到次数 n 的 值,写出通项式,当 x 的指数是 0 时,得到结果. 解答: 解:∵Cn°+Cn +…+Cn =2 =64, ∴n=6. Tr+1=C6 x x =C6 x , 令 6﹣2r=0,∴r=3, 常数项:T4=C6 =20, 故选 B. 点评: 本题是一个典型的二项式问题,主要考查二项式的性质,注意二项式系数和项的系 数之间的关系,这是容易出错的地方,本题考查展开式的通项式,这是解题的关键. 7.5 人站成一排,甲、乙两人之间恰有 1 人的不同站法的种数为( A. 18 B. 24 C. 36 D. 48 )
3 r 6﹣r ﹣r r 6﹣2r 1 n n

考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 应用题;排列组合. 分析: 甲、乙两人和中间一人捆绑算一个元素,共三个元素排列,不要忘记甲、乙两人之 间的排列. 解答: 解:因为 5 人站成一排,甲、乙两人之间恰有 1 人的不同站法 =36,

故选:C. 点评: 本题考查排列、组合及简单计数问题,考查学生的计算能力,比较基础.

8.在△ABC,内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c.asinBcosC+csinBcosA= b,且 a> b,则∠B=( A. B. ) C. D.

考点: 正弦定理;两角和与差的正弦函数. 专题: 解三角形. 分析: 利用正弦定理化简已知的等式,根据 sinB 不为 0,两边除以 sinB,再利用两角和与 差的正弦函数公式化简求出 sinB 的值,即可确定出 B 的度数. 解答: 解:利用正弦定理化简已知等式得:sinAsinBcosC+sinCsinBcosA= sinB,

∵sinB≠0,∴sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB= , ∵a>b,∴∠A>∠B,即∠B 为锐角, 则∠B= .

故选 A 点评: 此题考查了正弦定理,两角和与差的正弦函数公式,以及诱导公式,熟练掌握正弦 定理是解本题的关键.

9.正项递增等比数列{an}中,a3a7a8a10=81,a5+a9= A. 3? 2
7﹣n

,则该数列的通项公式 an 为(
n﹣7



B. 3? 2

n﹣7

C.

D. 2? 3

考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 利用正项递增等比数列{an}中,a3a7a8a10=81,求出 a7=3,利用 a5+a9= 即可求出数列的通项公式 an. 解答: 解:∵正项递增等比数列{an}中,a3a7a8a10=81, ∴a7=3, ∵a5+a9= ∴3(
4

,求出 q,


2

+q )=
2



∴4q ﹣17q +4=0, ∵q>1, ∴q =4, ∴q=2, ∴an=3? 2 . 故选:B. 点评: 本题考查等比数列的性质,考查等比数列的通项,考查学生的计算能力,比较基础.
n﹣7 2

10.若 Sn,Tn 分别是等差数列{an},{bn}的前 n 项的和,且

=

(n∈N ) ,则

*

+

=(



A.

B.

C.

D.

考点: 等差数列的性质;等差数列的前 n 项和.

专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由等差数列的前 n 项和与题意,不妨设 Sn=n(2n+1)=2n +n,Tn=n(4n﹣2)=4n ﹣ 2n,由公式求出 an、bn,再代入所求的式子进行化简求值. 2 2 解答: 解:设 Sn=n(2n+1)=2n +n,Tn=n(4n﹣2)=4n ﹣2n, ∴an=Sn﹣Sn﹣1=4n﹣1,bn=Tn﹣Tn﹣1=8n﹣6, ∴a10=39,a11=43,b3=18,b6=42,b15=114,b18=138, 则原式= + = = .
2 2

故选:D. 点评: 此题考查等差数列的通项公式、前 n 项和公式的灵活应用,及数列的前 n 项和与数 列中项的关系,熟练掌握等差数列的性质是解本题的关键.

11.在△ABC 中,AB=5,AC=6,cosA= ,O 是△ABC 的内心,若 [0,1],则动点 P 的轨迹所覆盖图形的面积为( A. B. C. 4 D. 6 )

=x

+y

,其中 x,y∈

考点: 轨迹方程. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 根据向量加法的平行四边形法则, 得动点 P 的轨迹是以 OB, OC 为邻边的平行四边形, 其面积为△BOC 面积的 2 倍. 解答: 解:根据向量加法的平行四边形法则,得动点 P 的轨迹是以 OB,OC 为邻边的平行四 边形,其面积为△BOC 面积的 2 倍. 在△ABC 中,由余弦定理可得 a =b +c ﹣2bccosA,代入数据,解得 BC=7, 设△ABC 的内切圆的半径为 r,则 所以 故动点 P 的轨迹所覆盖图形的面积为 , . ,解得 ,
2 2 2

点评: 本题考查轨迹方程,根据向量加法的平行四边形法则,得动点 P 的轨迹是以 OB,OC 为邻边的平行四边形,其面积为△BOC 面积的 2 倍是关键.

12.函数 f(a)=(3m﹣1)a+b﹣2m,当 m∈[0,1]时,0≤f(a)≤1 恒成立,则 的最大值是( A. ) D. 5

B. 4 C.

考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 综合题;不等式的解法及应用.

分析: 先根据恒成立写出有关 a,b 的约束条件,再在 aob 系中画出可行域,由斜率模型可 得 1≤ ≤4.又 = ﹣ ,令 =t,则 1≤t≤4,利用 y=t﹣ 在[1,4]上单调递增,

即可得出结论. 解答: 解:令 g(m)=(3a﹣2)m+b﹣a. 由题意当 m∈[0,1]时,0≤f(a)≤1 可得 ∴0≤b﹣a≤1,0≤2a+b﹣2≤1. 即 a≤b≤1+a ①,2≤2a+b≤3 ②. 把(a,b)看作点画出可行域,由斜率模型可得 1≤ ≤4. ,



= ﹣ ,令 =t,则 1≤t≤4,

∵y=t﹣ 在[1,4]上单调递增, ∴t=4 时,即 a= ,b= 时,y 有最大值是 故选:A. .

点评: 本题主要考查了恒成立问题、用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想 和数形结合的思想,属中档题.目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题,这类问题一般 要分三步:画出可行域、求出关键点、定出最优解. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.设随机变量 X 的概率分布列为 X 1 2 3 4 P a .

则 P(|X﹣3|=1)=

考点: 离散型随机变量及其分布列. 专题: 概率与统计. 分析: 本题中因为 a 是未知的,所以先根据随机变量取各个值的概率之和等于 1 求出 a 的 值,然后根据 P(|X﹣3|=1)=P(X=2,或 X=4)进行计算. 解答: 解:∵随机变量取各个值的概率之和等于 1∴a=1﹣( + + )= ∴P(|X﹣3|=1)=P(X=2,或 X=4)= = .

点评: 本题考查了随机变量取各个值的概率之和等于 1,互斥事件的概率公式,属于基础 题.

14.已知ξ~B(n,p)且 Eξ= ,Dξ=

则 P=(ξ=4)=



考点: 二项分布与 n 次独立重复试验的模型. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 根据随机变量符合二项分布和二项分布的期望和方差公式,得到关于 n 和 p 的方程 组,解方程组时和一般的解法不同,需要整体代入达到目的,得到要求的概率,求出 n 即可 求出 P=(ξ=4) . 解答: 解:∵ξ~B(n,p) ,且 Eξ= , ∴np= ,① 又∵Dξ= , ,②

∴np(1﹣p)=

把①代入②得到结果 p= , ∴n=5; ∴P=(ξ=4)= 故答案为: . = .

点评: 解决离散型随机变量分布列问题时,主要依据概率的有关概念和运算,同时还要注 意题目中离散型随机变量服从什么分布,若服从特殊的分布则运算要简单的多. 15.已知集合 A={y|y=x +2x,﹣2≤x≤2},B={x|x +2x﹣3≤0},在集合 A 中任意取一个元 素 a,则 a∈B 的概率是 .
2 2

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 求出集合对应的关系,利用几何概型的概率公式即可得到结论.

解答: 解:A={y|y=x +2x,﹣2≤x≤2}={y|﹣1≤y≤8}, 2 B={x|x=x +2x﹣3≤0}={x|﹣3≤x≤1}, 若 a∈B,则﹣1≤a≤1 ∴由几何概型的概率公式得集合 A 中任意取一个元素 a, 则 a∈B 的概率 P= 故答案为: 点评: 本题主要考查几何概型的概率计算,利用不等式求出集合对应的元素,结合长度之 比是解决本题的关键. 16.在送医下乡活动中,某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作,每所 医院至少安排一名医生,且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作,丙、丁两名医生也不安 排在同一医院工作,则不同的分配方法总数为 84 . 考点: 计数原理的应用. 专题: 应用题;排列组合. 分析: 五名医生到 3 所乡医院工作,每所医院至少安排一名医生,名医生可以分为(2,2, 1)和(3,1,1)两种分法,根据分类计数原理可得 解答: 解:①当有二所医院分 2 人另一所医院分 1 人时,总数有: =90 种,其中 = ,

2

有、甲乙二人或丙丁二人在同一组有 ②有二所医院分 1 人另一所医院分 3 人,有

=30 种;故不同的分配方法是 90﹣30=60 种 =24 种.

根据分类计数原理得,故不同的分配方法总数 60+24=84. 故答案为:84. 点评: 本题考查了分组分配计数原理,关键是如何分组,属于中档题. 三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17.若 C32 =C32 (n∈N+) ,且 f(x)=(2x﹣3) =a0+a1x+a2x +…+anx . (1)求 a1+a2+a3+…+an 的值. (2)求 f(20)﹣20 除以 6 的余数. 考点: 二项式定理的应用. 专题: 综合题;二项式定理. 分析: (1)利用组合数的性质求得 n=8,再令 x=1、0 可得 a1+a2+a3+…+an 的值. 8 (2)f(20)﹣20=(36+1) ﹣20,利用展开式求 f(20)﹣20 除以 6 的余数. 2n+6 n+2 * 解答: 解: (1)由 C32 =C32 (n∈N )可得 2n+6+n+2=32,或 2n+6=n+2,解得 n=8 或 n= ﹣4(舍去) . 故 f(x)=(2x﹣3) =a0+a1x+a2x +…+anx ,令 x=1 可得 a0+a1+a2﹣…+an=1, 8 令 x=0 可得 a0=3 , 8 故 a1+a2+a3+…+an=1﹣3 =﹣6560. 8 (2)f(20)﹣20=(36+1) ﹣20
8 2 n 2n+6 n+2 n 2 n

=C8 36 +C8 36 +…+C8 36 +C8 36 ﹣20=36(C8 36 +C8 36 +…+C8 36 )﹣36+17, 所以 f(20)﹣20 除以 6 的余数为 5. 点评: 本题主要考查二项式定理的应用,注意根据题意,分析所给代数式的特点,通过给 二项式的 x 赋值,求展开式的系数和,可以简便的求出答案,属于中档题. 18 已知罗坊会议纪念馆对每日参观人数量拥挤等级规定如表: 参观人数量 0~50 51~100 101~150 151~200 201~300 >300 拥挤等级 优 良 轻度拥挤 中度拥挤 重度拥挤 严重拥挤 该纪念馆对 3 月份的参观人数量作出如图的统计数据:

0

8

1

7

7

1

8

0

0

7

1

6

7

0

(1)某人 3 月份连续 2 天到该纪念馆参观,求这 2 天他遇到的拥挤等级均为良的概率; (2)从该纪念馆 3 月份参观人数低于 100 人的天数中随机选取 3 天,记这 3 天拥挤等级为 优的天数为ξ,求ξ的分布列及数学期望. 考点: 离散型随机变量的期望与方差. 专题: 概率与统计. 分析: (1)记“这 2 天他遇到的拥挤等级均为良”为事件 A,此人 3 月份连续 2 天到该纪 念馆参观的所有结果共有 30 种,其中这 2 天他遇到的拥挤等级均为良的结果有 4 种:利用 古典概率计算公式即可得出. . (2)由题意ξ的可能取值为 0,1,2,3,从该纪念馆 3 月份参观人数低于 100 人的天数为 16,其中拥挤等级均为优的天为 5,利用“超几何分别”的概率计算公式、分布列及其数学 期望即可得出. 解答: 解: (1)记“这 2 天他遇到的拥挤等级均为良”为事件 A, 此人 3 月份连续 2 天到该纪念馆参观的所有结果共有 30 种,其中这 2 天他遇到的拥挤等级 均为良的结果有 4 种: ∴P(A)= = .

(2)由题意ξ的可能取值为 0,1,2,3,从该纪念馆 3 月份参观人数低于 100 人的天数为 16,其中拥挤等级均为优的天为 5, P(ξ=0) = = ,P(ξ=1)= = ,P(ξ=2)= = ,P(ξ=3)= = .

∴ξ的分布列为: ξ 0 1 2 3 P

E(ξ)=

+1×

+2×

+3×

=



点评: 本题考查了古典概率计算公式、 “超几何分别”的概率计算公式、分布列及其数学期 望,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
2

19 已知函数 f(x)=sin x+ (1)若 x∈[0,

sinxcosx﹣

],求函数 f(x)的取值范围; ,c=4 且 f(A)

(2)已知 a,b,c 分别为△ABC 内角 A、B、C 的对边,其中 A 为锐角,a=2 =1,求 A,b 和△ABC 的面积 S. 考点: 三角函数中的恒等变换应用;正弦定理;余弦定理. 专题: 三角函数的求值. 分析:(1) 化简得出 f (x) =sin (2x﹣ 得出 sin(2x﹣ (2)求解得出 A= 可. 解答:解: (1) ∵f (x) =sin x+ (2x﹣ ) , ],则 2x﹣ ∈[ , ],
2

) , 根据 x∈[0,

], 则 2x﹣

∈[



],

)∈[﹣ ,1],求解即可. ,根据余弦定理:a =b +c ﹣2bccosA,求解 b=2,利用面积公式求解即
2 2 2

sin xcosx﹣ =

sin2x

cos2x=

sin2x

cos2x=sin

又 x∈[0,

∴f(x)∈[﹣ ,1], (2)f(A)=sin(2A﹣ ∵A∈(0, ∴2A﹣ )= ) ,2A﹣ ,A=
2 2

)=1, ∈( , ) ,


2

∵根据余弦定理:a =b +c ﹣2bccosA, 得出:b=2, 所以 S= sinA= sin60°=2 ,

点评: 本题考查了三角函数在解三角形中的应用,根据三角公式化简求解,难度不大,属 于中档题. 20 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5+a6=24,S11=143,数列{bn}的前 n 项和为 Tn 满足 2 =λTn﹣(a1﹣1) (n∈N )
+

(1)求数列 {an}的通项公式 (2)若数列{ }的前 n 项和为 Tn,试证明 Tn< ;

(3)是否存在非零实数λ,使得数列{bn}为等比数列?并说明理由. 考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)根据等差数列的性质建立方程组求出公差即可求数列 {an}的通项公式 (2)求数列{ }的通项公式,利用裂项法进行求和,即可证明不等式 Tn< ;

(3)根据等比数列的定义,求出数列{bn}的通项公式,进行判断即可. 解答: 解: (1)在等差数列中, ∵S11=143=11a6,∴a6=13, ∵a5+a6=24,∴a5=11,即公差 d=13﹣11=2, 则数列 {an}的通项公式 an=a6+2(n﹣6)=13+2(n﹣6)=2n+1. (2) 则数列{ = 即 Tn< ; (3)∵a1=3,2 ∴4 =λTn﹣2, 即 Tn= ,当 n=1 时,b1= , ﹣ = ,
n

=

= ( }的前 n 项和为 Tn= (



) , ﹣ )= ( ﹣ )

< ,

=λTn﹣(a1﹣1) ,

当 n≥2 时,bn=Tn﹣Tn﹣1= 即 bn+1=4bn, 若数列{bn}为等比数列, 则 b2=4b1, ∵b1= ,b2=

,不满足条件 b2=4b1,

∴不存在非零实数λ,使得数列{bn}为等比数列. 点评: 本题主要考查数列通项公式的求解,以及等差数列和等比数列的性质,数列与不等 式的关系,以及利用裂项法进行求和,考查学生的运算能力,综合性较强. 21 已知函数 g(x)=ax ﹣2ax+1+b(a≠0,b<1) ,在区间[2,3]上有最小值 1,最大值 4, 设 f(x)= .
x 2

(1)若不等式 f(2 )﹣k+2≥0 在 x∈[﹣1,1]上恒成立,求实数 k 的范围;

(2)方程 f(|2 ﹣1|)+k(

x

﹣3)=0 有四个不同的实数解,求实数 k 的范围.

考点: 二次函数的性质;根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)讨论 a>0 和 a<0,判断 g(x)在[2,3]上的单调性,根据单调性求 g(x) 的最值, 从而求出 a, b, 并满足 b<1, 从而求出 a=1, b=0, 这样可以得到不等式 在 x∈[﹣1,1]上恒成立,由基本不等式可求出 2; (2)根据 f(x)的解析式可将原方程变成|2 ﹣1| ﹣(2+3k)|2 ﹣1|+1+2k=0,|2 ﹣1|≠0, x 2 x 令|2 ﹣1|=t,得到关于 t 的方程:t ﹣(2+3k)t+1+2k=0,根据|2 ﹣1|=t 的图象及原方程 2 有四个不同实数解,得到方程 t ﹣(2+3k)t+1+2k=0 在(0,1)上有两个不同实数根,结 合二次函数的图象即可得到限制 k 的不等式组,解不等式组即得 k 的范围. 解答: 解:g(x)的对称轴为 x=1; ①若 a>0,则 g(x)在[2,3]上单调递增; ∴g(x)在[2,3]上的最小值为 g(2)=1+b=1,最大值为 g(3)=3a+1+b=4; ∴a=1,b=0; ②若 a<0,g(x)在[2,3]上单调递减; ∴g(x)在[2,3]上的最小值为 g(3)=3a+1+b=1,最大值为 g(2)=1+b=4; ∴a=﹣1,b=3; ∵b<1; ∴a=1,b=0; ∴g(x)=x ﹣2x+1; ∴
x 2 x 2 x x

在[﹣1,1]上的最小值 2,从而 k≤

; 在 x∈[﹣1,1]上恒成立;

∴不等式 f(2 )﹣k+2≥0 在[﹣1,1]上恒成立,化成 ∵ ∴ ,当 x=0 时取“=” ; 在[﹣1,1]上的最小值为 2;

∴k≤2; ∴实数 k 的范围为(﹣∞,2]; (2)方程 化为

; 即|2 ﹣1| ﹣(2+3k)|2 ﹣1|+1+2k=0,2 ﹣1≠0; x 2 令|2 ﹣1|=t,则方程化为 t ﹣(2+3k)t+(1+2k)=0, (t≠0) ;
x 2 x x

可画出 t=|2 ﹣1|的图象如下所示:

x

∵原方程有四个不同的解; ∴方程 t ﹣(2+3k)t+1+2k=0 有两个不同实数根,且都在区间(0,1)上; 2 设 h(t)=t ﹣(2+3k)t+1+2k,则 k 需满足:
2



解得

; ) .

∴实数 k 的范围为(

点评: 考查二次函数的单调性,根据单调性求函数在闭区间上的最值,以及运用基本不等 式求函数最值,能够画出函数|2 ﹣1|的图象,熟悉并会运用二次函数图象. 22 已知数列{an}(n∈N )的前 N 项和为 Sn,满足 an,且 a2=1 (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= ?(﹣2) (n∈N ) ,对任意的正整数 k,将集合(b2k﹣1,b2k,b2k+1}中的三
+ + x

个元素排成一个递增的等差数列,其公差为 dk,求证:数列{dk}为等比数列; (3)对(2)题中的 dk,求集合{x|dk<x<dk+1,x∈Z}的元素个数. 考点: 数列的求和;等比数列的通项公式. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (1)根据数列前 n 项和与项之间的关系即可求数列{an}的通项公式; (2)求出 bn= ?(﹣2) (n∈N )的表达式,结合{b2k﹣1,b2k,b2k+1}中的三个元素排
+

成一个递增的等差数列,其公差为 dk,结合等比数列的定义进行证明即可证明数列{dk}为等 比数列;

(3)求出公差 dk,根据集合元素关系即可得到结论. 解答: 解: (1)∵Sn= an, ∴Sn﹣1= an﹣1, an﹣1,

当 n≥2 时,两式相减得 an= an﹣ 即 an=n﹣1. (2)bn= 则 b2k﹣1= b2k= b2k+1= ?(﹣2) ?(﹣2)
2k﹣1 2k﹣2

= =

?(﹣2) ? 2
2k﹣2

n﹣1





?(﹣2)

=﹣

? 2
2k

2k﹣1



?(﹣2) =

2k

? 2 ,

若对任意的正整数 k,将集合(b2k,b2k﹣1,b2k+1}中的三个元素排成一个递增的等差数列,其 公差为 dk, 则 b2k+b2k+1=2b2k﹣1, 则 dk=b2k+1﹣b2k﹣1= ? 2 ﹣
2k

? 2

2k﹣2

=





为常数,即数列{dk}为等比数列;

(3)①当 k 是奇数时,dk= 同样,可得,dk+1= ,



∴集合{x|dk<x<dk+1, x∈Z}的元素个数为 (dk+1﹣ ) ﹣ (dk+ ) +1=dk+1﹣dk+ =



②当 k 为偶数是,同理可得集合{x|dk<x<dk+1,x∈Z}的元素个数为



点评: 本题主要考查等比数列和等差数列的应用,根据条件求出数列的通项公式是解决本 题的关键.考查学生的运算能力.


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