当前位置:首页 >> 高考 >>

2016届高考数学(文)一轮复习跟踪检测:3-6+简单的三角恒等变换


课时作业 20 简单的三角恒等变换
一、选择题 π? 1 2? 1.(2015·温州月考)已知 sin2α = ,则 cos ?α - ?=( 4? 3 ? A. C. 1 3 2 3 2 D.- 3 1 B.- 3 )

π? 1 ? 1+ 1+cos?2α - ? 2 3 2 π ? ? 1+sin2α ? 2? 解析:cos ?α - ?= = = = ,故选 C. 4? 2 2 2 3 ? 答案:C

?π π ? 2 2.函数 f(x)=sin x+ 3sinxcosx 在区间? , ?上的最大值是( ?4 2?
A.1 C. 3 2 B. 1+ 3 2

)

D.1+ 3

1-cos2x 3 解析:f(x)= + sin2x 2 2 π? 1 ? =sin?2x- ?+ . 6? 2 ? 又 x∈?

?π ,π ?, ? ?4 2?

π ?π 5π ? ∴2x- ∈? , ?, 6 ? 6 ?3 1 3 ∴f(x)max=1+ = .故选 C. 2 2 答案:C π? π? ? π? ? ? π? ? 3. (2014·山东日照一模)函数 y=sin?3x+ ?·cos?x- ?-cos?3x+ ?cos?x+ ? 3 6 3? ? 3? ? ? ? ? ? 的图象的一条对称轴方程是( π A.x= 12 π C.x=- 12 π B.x= 6 π D.x=- 24 )

π? π? ? ? π? ? 解 析 : 对 函 数 进 行 化 简 可 得 y = sin ?3x+ ? ·cos ?x- ? - cos ?3x+ ? 3? 6? 3? ? ? ?

π? ? π? π? ? π? ? π π? ? ? cos?x+ - ?=sin?3x+ ?cos?x- ?+cos?3x+ ?sin?x- ? 2 6? 3? ? 6? 3? ? 6? ? ? ? π π? π? π π kπ π ? ? =sin?3x+ +x- ?=sin?4x+ ?,则由 4x+ =kπ + ,k∈Z,得 x= + , 3 6 6 6 2 4 12 ? ? ? ? k∈Z. π 当 k=0 时,x= .故选 A. 12 答案:A

4.(2015·台州月考)如图,已知四边形 ABCD 中,AB∥CD,AD⊥AB,BP⊥AC,BP=PC, CD>AB,则经过某种翻折后以下线段可能会相互重合的是( A.AB 与 AD C.BD 与 BC B.AB 与 BC D.AD 与 AP )

解析: 设 AB=a,∠CAB=θ ,则 AP=acosθ ,PC=BP=asinθ , AC=a(cosθ +sinθ ), AD=ACsinθ =a(cosθ +sinθ )sinθ ,CD=ACcosθ =a(cosθ +sinθ )cosθ ,因为 CD> π? 2 π π 3π ? 2 AB,故 cos θ +sinθ cosθ >1,即 sin?2θ + ?> ,即 <2θ + < ,故 0<θ < 4? 2 4 4 4 ? π . 4 A 选项:假设 AB=AD,则有 sin θ +sinθ cosθ =1, π? 2 ? 即 sin?2θ - ?= ,无解. 4 2 ? ? B 选项:假设 AB=BC,则有 2sinθ =1,则 sinθ = 2 ,无解. 2
2 2 2

C 选 项 : 假 设 BD = BC , 则 有 2 sinθ = 1+sin θ ?sinθ +cosθ ? , 即 1 + 2sin θ cosθ =sin θ ,无解. D 选项: 假设 AD=AP, 则有 sin θ +sinθ cosθ =cosθ , 令 f(θ )=sin θ +sinθ cosθ 1-cos2θ sin2θ 2 ?π ? -cosθ = + -cosθ ,则 f(0)=-1<0,f? ?=1- >0,故必存在 θ 2 2 2 ?4? 使得:f(θ 0)=0,故 AD 与 AP 可能重合.D 选项正确.
0 2 2 3 2

答案:D 5.设 a=
2

2 (sin56° - cos56°) , b = cos50°cos128° + cos40°cos38° , c = 2 )

1-tan 40°30′ 1 2 ,d= (cos80°-2cos 50°+1),则 a,b,c,d 的大小关系为( 2 1+tan 40°30′ 2 A.a>b>d>c C.d>a>b>c B.b>a>d>c D.c>a>d>b

解析:a=sin(56°-45°)=sin11°. b=-sin40°cos52°+cos40°sin52°=sin(52°-40°)=sin12°. 1-tan 40°30′ c= =cos81°=sin9°. 2 1+tan 40°30′ 1 2 2 d= (2cos 40°-2sin 40°)=cos80°=sin10°. 2 ∴b>a>d>c. 答案:B πx πx π x? ? πx 6.设 M?cos +cos ,sin +sin ?(x∈R)为坐标平面内一点,O 为坐标原点, 3 5 3 5 ? ? 记 f(x)=|OM|,当 x 变化时,函数 f(x)的最小正周期是( A.30π C.30 B.15π D.15 )
2

解析:f(x)=|OM| = = = = = π π π ? ? π 2+2?cos xcos x+sin xsin x? 3 5 3 5 ? ? 2+2cos?

?π x-π x? 5 ? ?3 ?

2 ? ? 2?1+cos π x? 15 ? ? 2?1+2cos 4cos
2

? ?

2

π x-1? ? 15 ?

π x 15

? π ? =2?cos x?. ? 15 ?
π 所以其最小正周期 T= =15. π 15 答案:D

二、填空题 1 7.已知 sinα cosβ = ,则 cosα sinβ 的取值范围是__________. 2 解析:方法一:设 x=cosα ·sinβ , 1 则 sin(α +β )=sinα ·cosβ +cosα ·sinβ = +x, 2 1 sin(α -β )=sinα ·cosβ -cosα ·sinβ = -x. 2 ∵-1≤sin(α +β )≤1,-1≤sin(α -β )≤1, 1 ? ?-1≤2+x≤1, ∴? 1 ?-1≤2-x≤1, ? 1 1 ∴- ≤x≤ . 2 2 方法二:设 x=cosα ·sinβ , 1 sinα ·cosβ ·cosα ·sinβ = x. 2 即 sin2α ·sin2β =2x. 由|sin2α ·sin2β |≤1,得|2x|≤1, 1 1 ∴- ≤x≤ . 2 2 3 1 ? ?-2≤x≤2, ∴? 1 3 ?-2≤x≤2, ?

? 1 1? 答案:?- , ? ? 2 2?
8.函数 y=sin?

?π +x?·cos?π -x?的最大值为__________. ? ?6 ? ?2 ? ? ?

?π ? ?π ? 解析:y=sin? +x?cos? -x? 2 ? ? ?6 ?
π 3 1 3 ?π ? ? π ? 2 = cosxcos ? -x? = cosx ?cos cosx+sin sinx? = cos x + sinxcosx = 6 6 6 2 2 2 ? ? ? ? π? 1+cos2x 1 1 ? 3 2+ 3 × + sin2x= cos?2x- ?+ ,故函数的最大值是 . 6? 4 2 4 2 ? 4 2+ 3 答案: 4 9.(2015·吉安月考)已知直线 l1∥l2,A 是 l1,l2 之间的一定点,并且 A 点到 l1,l2 的距离分别为 h1,h2,B 是直线 l2 上一动点,作 AC⊥AB,且使 AC 与直线 l1 交于点 C,则△ ABC 面积的最小值为__________.

解析:如图,设∠ABD=α ,则∠CAE=α ,AB=

h2 h1 ,AC= . sinα cosα

1 h1h2 所以 S△ABC= ·AB·AC= 2 sin2α

?0<α <π ?. ? 2? ? ?

π π 当 2α = ,即 α = 时,S△ABC 的最小值为 h1h2. 2 4 答案:h1h2 三、解答题 sin2x 10.(2015·揭阳月考)已知函数 f(x)= +2sinx. sinx (1)求函数 f(x)的定义域和最小正周期; π? ? (2)若 f(α )=2,α ∈[0,π ],求 f?α + ?的值. 12? ? 解析:(1)sinx≠0,解得 x≠kπ (k∈Z), 所以函数 f(x)的定义域为{x|x≠kπ ,k∈Z}, sin2x ∵f(x)= +2sinx=2cosx+2sinx sinx π ? π ? =2 2?sin cosx+cos sinx? 4 4 ? ?

? π? =2 2sin?x+ ?, 4? ?
∴f(x)的最小正周期为 T= 2π =2π . 1

(2)方法一:由 f(α )=2? cosα +sinα =1 ? 2cosα sinα =0. π ∵α ∈[0,π ]且 sinα ≠0,∴α = . 2 π? π? 5π ? ?π ∴f?α + ?=2 2sin? +α + ?=2 2sin = 2. 12? 12? 6 ? ?4

方法二:由 f(α )=2,α ∈[0,π ],得 sinα +cosα =1? cosα =1-sinα , 代入 sin α +cos α =1,得 sin α +(1-sinα ) =1? 2sinα (sinα -1)=0. π ∵sinα ≠0,∴sinα =1,又∵α ∈[0,π ],∴α = , 2 π? π? 5π ? ?π ∴f?α + ?=2 2sin? +α + ?=2 2sin = 2. 12? 12? 6 ? ?4 11.已知函数 f(x)=sin?
2 2 2 2

?7π -2x?-2sin2x+1(x∈R), ? ? 6 ?

(1)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间;

? 1? (2)在△ABC 中, 三内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 已知函数 f(x)的图象经过点?A, ?, ? 2?
→ → b,a,c 成等差数列,且AB·AC=9,求 a 的值. 解析:f(x)=sin?

?7π -2x?-2sin2x+1 ? ? 6 ?

1 3 =- cos2x+ sin2x+cos2x 2 2 π? 1 3 ? = cos2x+ sin2x=sin?2x+ ?. 6? 2 2 ? 2π (1)最小正周期:T= =π , 2 π π π π π 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + (k∈Z)可解得:kπ - ≤x≤kπ + (k∈Z), 2 6 2 3 6 所以 f(x)的单调递增区间为:

?kπ -π ,kπ +π ?(k∈Z). ? 3 6? ? ?
π? 1 π π π 5π ? (2)由 f(A)=sin?2A+ ?= 可得:2A+ = +2kπ 或 2A+ = +2kπ (k∈Z), 6 2 6 6 6 6 ? ? π 所以 A= ,又因为 b,a,c 成等差数列, 3 所以 2a=b+c. 1 → → 而AB·AC=bccosA= bc=9,∴bc=18. 2 1 ?b+c? -a ∴cosA= = -1 2 2bc = 4a -a a -1= -1, 36 12
2 2 2 2 2

∴a=3 2.

12.设 a=?sin

? ?

2

π +2x ,cosx+sinx? ?,b=(4sinx,cosx-sinx),f(x)=a·b. 4 ?

(1)求函数 f(x)的解析式;

? π 2π ? (2)已知常数 ω >0,若 y=f(ω x)在区间?- , ?上是增函数,求 ω 的取值范围; 3 ? ? 2
? π 2 ? (3)设集合 A=?x| ≤x≤ π ?, B={x||f(x)-m|<2}, 若 A? B, 求实数 m 的取值范围. 6 3 ? ?

解析:(1)f(x)=sin

2

π +2x ·4sinx+(cosx+sinx)·(cosx-sinx) 4

?π ? 1-cos? +x? ?2 ? =4sinx· +cos2x 2
=2sinx(1+sinx)+1-2sin x=2sinx+1, ∴f(x)=2sinx+1. (2)∵f(ω x)=2sinω x+1,ω >0. π π ?2kπ - π ,2kπ + π ?,k∈Z. 由 2kπ - ≤ω x≤2kπ + ,得 f(ω x)的增区间是? ω 2ω ? 2 2 ? ω 2ω ?
2

? π 2π ? ∵f(ω x)在?- , ?上是增函数, 3 ? ? 2
π ? ? π 2π ? ? π ∴?- , ?? ?- , ?. 3 ? ? 2ω 2ω ? ? 2 π π 2π π ? 3? ∴- ≥- 且 ≤ ,∴ω ∈?0, ?. 2 2ω 3 2ω ? 4? (3)由|f(x)-m|<2,得-2<f(x)-m<2, 即 f(x)-2<m<f(x)+2. π 2 ∵A? B,∴当 ≤x≤ π 时, 6 3 不等式 f(x)-2<m<f(x)+2 恒成立. ∴f(x)max-2<m<f(x)min+2,

?π ? ?π ? ∵f(x)max=f? ?=3,f(x)min=f? ?=2, ?2? ?6?
∴m∈(1,4).


相关文章:
更多相关标签: