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上海市陪佳双语学校2014-2015学年高二上学期期中数学试卷


上海市陪佳双语学校 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷
一、填空题(每小题 4 分,总分 56 分) 1. (4 分)在等差数列{an}中,若 a1=2,a2= ,则 a15=.

2. (4 分)计算:

=.

3. (4 分)若

,则 3A﹣B=.

4. (4 分)在三阶行列式

中,5 的余子式的值为.

5. ( 4 分)已知一个关于 x,y 的二元线性方程组的增广矩阵是

,则 x+y=.

6. (4 分)已知﹣9,a1,a2,﹣1 四个实数成等差数列,﹣9,b1,b2,b3,﹣1 五个实数成等 比数列,则 b2(a2﹣a1)的值等于. 7. (4 分)用数学归纳法证明(n+1) (n+2)…(n+m)=2 ?1?3?…?(2n﹣1) ,从 k 到 k+1,左 边需要增乘的代数式为. 8. (4 分)若执行如图程序框图,那么输出的 S=.
n

9. (4 分)在等差数列{an}中,若 a3=6,且 a3、a7、a10 成等比数列,则公差 d=. 10. (4 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2an﹣1,则数列{an}的通项公式为 an=. (n∈N ) 11. (4 分)已知数列{an}是等比数列,公比 q,前 n 项和 Sn,q=2,a1=7,Sn=217,则 n=.
*

12. (4 分)已知数列{an}满足 an+1=

,若 a1= ,则 a40=.

13. (4 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn+Sm=Sn+m,且 a1=1.那么 a10=. 14. (4 分)如图 P1 是一块半径为 1 的半圆形纸板,在 P1 的左下端剪去一个半径为 的半圆后 得到图形 P2,然后依次剪去一个更小半圆(其直径为前一个被剪掉半圆的半径)得圆形 P3、 P4、…、Pn…,记纸板 Pn 的面积为 Sn,则 =.

二、选择题(每小题 5 分,总分 20 分) 15. (5 分)下列三阶行列式可以展开为 的是()

A.

B.

C.

D.

16. (5 分)算法:第一步 x=a;第二步 若 b>x 则 x=b;第三步 若 c>x,则 x=c; 第四 步 若 d>x,则 x=d; 第五步 输出 x.则输出的 x 表示() A.a,b,c,d 中的最大值 B. a,b,c,d 中的最小值 C. 将 a,b,c,d 由小到大排序 D.将 a,b,c,d 由大到小排序 17. (5 分)已知数列{an}满足:a1=1,an+1=2an+3(n∈N ) ,则 a10=() 10 11 12 13 A.2 ﹣3 B.2 ﹣3 C.2 ﹣3 D.2 ﹣3
*

18. (5 分)在等比数列{an}中,a1>1,且前 n 项和 Sn 满足 是() A.(1,+∞)

Sn=

,那么 a1 的取值范围

B.(1,4)

C.(1,2)

D.(1,



三、解答题(总分 74 分) n * 19. (14 分)已知数列{xn}的首项 x1=3,通项 xn=2 p+nq(n∈N ,p,q 为常数) ,且 x1,x4, x5 成等差数列.求: (Ⅰ)p,q 的值; (Ⅱ)数列{xn}前 n 项和 Sn 的公式. 20. (14 分)用行列式讨论关于 x,y 的二元一次方程组 解的情况并求解.

21. (14 分)数列{an}是首项为 23,公差为整数的等差数列,且第六项为正,第七项为负. (1)求数列的公差; (2)求前 n 项和 Sn 的最大值; (3)当 Sn>0 时,求 n 的最大值. 22. (16 分)已知数列{an}满足:a1=1,n 为正整数,对任意的 n≥2 都有 an+2anan﹣1﹣an﹣1=0 成立. (1)求证:数列 为等差数列;并求{an}的通项公式;

(2)判断 a3?a6 是否为数列{an}中的项,如果是,是第几项?如果不是,说明理由; * (3)设 cn=an?an+1(n∈N ) ,求数列{cn}的前 n 项和 Sn.

23. (16 分)已知数列{an}中,a1=0,

,n∈N .

*

(1)求证:

是等差数列;并求数列{an}的通项公式;
*

(2)设

,n∈N ,试证明:对于任意的正整数 m、n,都有



上海市陪佳双语学校 2014-2015 学年高二上学期期中数学 试卷
参考答案与试题解析

一、填空题(每小题 4 分,总分 56 分) 1. (4 分)在等差数列{an}中,若 a1=2,a2= ,则 a15=23.

考点: 等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据等差数列的通项公式和题意求出公差 d,再求出 a15 的值. 解答: 解:设等差数列{an}的公差是 d, 因为 a1=2,a2= ,所以 d= ﹣2= , 则 a15=a1+14d=2+14× =23, 故答案为:23. 点评: 本题考查等差数列的通项公式,属于基础题.

2. (4 分)计算:

= .

考点: 极限及其运算. 专题: 计算题. 分析: 先分子分母同除以 n ,再利用极限的运算性质可求.
2

解答: 解:由题意,

,故答案为 .

点评: 本题主要考查极限的运算及性质,属于基础题.

3. (4 分)若

,则 3A﹣B=



考点: 矩阵与矩阵的乘法的意义. 专题: 计算题. 分析: 欲求 3A﹣B, 根据矩阵的乘法的意义, 先求得 3A, 再利用矩阵与矩阵的减法的意义, 求出 3A 与 B 的差即得. 解答: 解:∵ ,

则 3A﹣B=

=

=

. .

故答案为:

点评: 本小题主要考查矩阵与矩阵的乘法的意义等基础知识,考查运算求解能力,属于基 础题.

4. (4 分)在三阶行列式

中,5 的余子式的值为﹣21.

考点: 二阶行列式的定义. 专题: 计算题. 分析: 去掉 5 所在行与列,即得 5 的余子式,从而求值. 解答: 解:由题意,去掉 5 所在行与列得: 故答案为﹣21. 点评: 本题以三阶行列式为载体,考查余子式,关键是理解余子式的定义.

5. (4 分)已知一个关于 x,y 的二元线性方程组的增广矩阵是

,则 x+y=6.

考点: 逆矩阵与二元一次方程组. 专题: 计算题. 分析: 首先应理解方程增广矩阵的涵义,由增广矩阵写出原二元线性方程组 根据方程求解 xy,最后求 x+y. 解答: 解由二元线性方程组的增广矩阵 , ,再

可得到二元线性方程组的表达式



解得



所以 x+y=6 故答案为 6. 点评: 此题主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义,计算量小,属于较容易的题型. 6. (4 分)已知﹣9,a1,a2,﹣1 四个实数成等差数列,﹣9,b1,b2,b3,﹣1 五个实数成等 比数列,则 b2(a2﹣a1)的值等于﹣8. 考点: 等比数列的性质;等差数列的性质. 专题: 计算题.

分析: 设等差数列的公差为 d,由等差数列的前 n 项和公式能求出公差 d 的值;设等比数列 的公比为 q,由等比数列的前 n 项和公式能求出公比 q 的值.由此能够求出 b2(a2﹣a1)的值. 解答: 解:设等差数列的公差为 d,等比数列的公比为 q,则有

解得



∴b2(a2﹣a1)=﹣9×

× =﹣8.

点评: 本题考查等比数列和等差数列的性质和应用,解题时要认真审题,注意等比数列和 等差数列的通项公式的合理运用. 7. (4 分)用数学归纳法证明(n+1) (n+2)…(n+m)=2 ?1?3?…?(2n﹣1) ,从 k 到 k+1,左 边需要增乘的代数式为 2(2k+1) . 考点: 数学归纳法. 专题: 计算题;点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 分别求出 n=k 时左边的式子,n=k+1 时左边的式子,用 n=k+1 时左边的式子,除以 n=k 时左边的式子,即得所求. 解答: 解:当 n=k 时,左边等于 (k+1) (k+2)…(k+k)=(k+1) (k+2)…(2k) , 当 n=k+1 时,左边等于 (k+2) (k+3)…(k+k) (2k+1) (2k+2) , 故从“k”到“k+1”的证明,左边需增添的代数式是 =2(2k+1) ,
n

故答案为 2(2k+1) . 点评: 本题考查用数学归纳法证明等式,用 n=k+1 时的左边的式子除以 n=k 时的左边的式 子,属于基础题. 8. (4 分)若执行如图程序框图,那么输出的 S=130.

考点: 等差数列的前 n 项和;循环结构. 专题: 计算题. 分析: 根据所给数值判定是否满足判断框中的条件,然后执行循环语句,一旦不满足条件 就退出循环,从而到结论. 解答: 解:如图所示的程序框图是当型循环结构, 第一次循环:k=1+1=2,s=0+2×2=4, 第二次循环:k=2+1=3,s=4+2×3=10, 第三次循环:k=3+1=4,s=10+2×4=18, 第四次循环:k=4+1=5,s=18+2×5=28, 第五次循环:k=5+1=6,s=28+2×6=40, 第六次循环:k=6+1=7,s=40+2×7=54, 第七次循环:k=7+1=8,s=54+2×8=70, 第八次循环:k=8+1=9,s=70+2×9=88, 第九次循环:k=9+1=10,s=88+2×10=108, 第 10 次循环:k=10+1=11,s=108+2×11=130. ∵k=11>10, ∴结束循环,输出 s=130. 故答案为:130.

点评: 本题主要考查了循环结构,是当型循环,当满足条件,执行循环,属于基础题.

9. (4 分)在等差数列{an}中,若 a3=6,且 a3、a7、a10 成等比数列,则公差 d=0 或﹣ .

考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 根据等差数列的通项公式分别表示出 a3,a7,a10,再由 a3,a7,a10 成等比数列,利 用等比数列的性质列出关系式,把表示的各项代入,整理可得首项与公差的关系式,可得公差 等于 0 或首项与公差的关系,又利用等差数列的通项公式化简已知的 a3=﹣12,得到关于首项 与公差的另一个关系式,两关系式联立求出公差的值,综上,得到满足题意的公差 d 的值.

解答: 解:设等差数列的公差为 d, ∵a3,a7,a10 成等比数列, 2 2 ∴a7 =a3a10,即(a1+6d) =(a1+2d) (a1+9d) , 整理得:d(a1+18d)=0, 解得:d=0,或 a1+18d=0,即 a1=﹣18d, ∴a3=a1+2d=﹣16d=6,解得 d=﹣ , 则公差 d=0 或﹣ . 故答案为:0 或﹣ . 点评: 此题考查了等比数列的性质,以及等差数列的通项公式,熟练掌握性质及公式是解 本题的关键. 10. (4 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2an﹣1,则数列{an}的通项公式为 an=2
n﹣1

. (n∈N )

*

考点: 数列递推式. 专题: 计算题. 分析: 根据数列递推式,再写一式,两式相减,可得数列为等比数列,从而可得数列的通 项公式. 解答: 解:∵Sn=2an﹣1, ∴n≥2 时,Sn﹣1=2an﹣1﹣1, 两式相减可得:an=2an﹣2an﹣1, ∴an=2an﹣1, ∵n=1 时,S1=2a1﹣1,∴a1=1 ∴数列{an}是以 1 为首项,2 为公比的等比数列 n﹣1 ∴an=2 n﹣1 故答案为:2 . 点评: 本题考查数列递推式,考查等比数列的通项,确定数列是等比数列是关键,属于中 档题. 11. (4 分)已知数列{an}是等比数列,公比 q,前 n 项和 Sn,q=2,a1=7,Sn=217,则 n=5. 考点: 专题: 分析: 解答: ∴217= 等比数列的前 n 项和. 计算题;等差数列与等比数列. 利用等比数列的求和公式,建立方程,即可求出 n 的值. 解:∵数列{an}是等比数列,公比 q,前 n 项和 Sn,q=2,a1=7,Sn=217, ,

∴n=5, 故答案为:5. 点评: 熟练掌握等比数列的前 n 项和公式是解题的关键.

12. (4 分)已知数列{an}满足 an+1=

,若 a1= ,则 a40= .

考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由已知条件利用递推公式求出数列的前 4 项,得到数列{an}是周期为 3 的周期数列, 由此能求出 a40.

解答: 解:∵数列{an}满足 an+1=

,a1= ,



= , = , = ,

∴数列{an}是周期为 3 的周期数列, ∵40=3×13+1, ∴ .

故答案为: . 点评: 本题考查数列的第 40 项的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意数列的周期性 的合理运用. 13. (4 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn+Sm=Sn+m,且 a1=1.那么 a10=1. 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 根据题意,用赋值法,令 n=1,m=9 可得:S1+S9=S10,即 S10﹣S9=S1=a1=1,进而由 数列的前 n 项和的性质,可得答案. 解答: 解:根据题意,在 Sn+Sm=Sn+m 中, 令 n=1,m=9 可得:S1+S9=S10,即 S10﹣S9=S1=a1=1, 根据数列的性质,有 a10=s10﹣s9,即 a10=1, 故答案为:1. 点评: 本题考查数列的前 n 项和的性质,对于本题,赋值法是比较简单、直接的方法.

14. (4 分)如图 P1 是一块半径为 1 的半圆形纸板,在 P1 的左下端剪去一个半径为 的半圆后 得到图形 P2,然后依次剪去一个更小半圆(其直径为前一个被剪掉半圆的半径)得圆形 P3、 P4、…、Pn…,记纸板 Pn 的面积为 Sn,则 = .

考点: 演绎推理的基本方法;归纳推理. 专题: 压轴题. 分析: 由已知每次剪掉的半圆形面积构成一个等比数列,根据已知不难求出该数列的首项 和公比,代入等比数列前 n 项和公式,易得剪去的所有半圆的面积和,从而得到最后纸板 Pn 的面积. 解答: 解:每次剪掉的半圆形面积构成一个以 为首项,以 为公比的等比数列,



a1+a2+…+an=

=

故: 故答案为:

=

=

点评: 本题考查的知识点其实是一种极限思想,当一个等比数列的|q|<1 时,

=0,



a1+a2+…+an=



二、选择题(每小题 5 分,总分 20 分) 15. (5 分)下列三阶行列式可以展开为 的是()

A.

B.

C.

D.

考点: 三阶矩阵.

专题: 计算题. 分析: 根据三阶行列式的求解方法,逐个计算,即可求得结论. 解答: 解:根据三阶行列式的求解方法,可得 = = ﹣

=﹣

=

故选 D. 点评: 本题考查三阶行列式的求解,解题的关键是掌握三阶行列式的求解方法,属于基础 题. 16. (5 分)算法:第一步 x=a;第二步 若 b>x 则 x=b;第三步 若 c>x,则 x=c; 第四 步 若 d>x,则 x=d; 第五步 输出 x.则输出的 x 表示() A.a,b,c,d 中的最大值 B. a,b,c,d 中的最小值 C. 将 a,b,c,d 由小到大排序 D.将 a,b,c,d 由大到小排序 考点: 算法的概念. 专题: 计算题. 分析: 本题解题思路为分部分析法,把一个整体拆分为几个部分得到已知的信息,从而解 题. 解答: 解:x=a,若 b>x,则 b>a,x=b,否则 x=a,即 x 为 a,b 中较大的值; 若 c>x,则 x=c,否则 x 仍为 a,b 中较大的值,即 x 为 a,b,c 中较大的值; 若 d>x,则 x=d,否则 x 仍为 a,b,c 中较大的值,即 x 为 a,b,c 中较大的值. 故 x 为 a,b,c,d 中最大的数, 故选 A. 点评: 本题考查算法的概念的应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 17. (5 分)已知数列{an}满足:a1=1,an+1=2an+3(n∈N ) ,则 a10=() 10 11 12 13 A.2 ﹣3 B.2 ﹣3 C.2 ﹣3 D.2 ﹣3 考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由已知得{an+3}是首项为 4,公比为 2 的等比数列,由此能求出 解答: 解:∵数列{an}满足:a1=1,an+1=2an+3(n∈N ) , ∴an+1+3=2(an+3) , 又 a1+3=4, ∴{an+3}是首项为 4,公比为 2 的等比数列, n﹣1 n+1 ∴an+3=4?2 =2 ,
* *



∴an=2 ∴

n+1

﹣3, .

故选:B. 点评: 本题考查数列的第 10 项的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意等比数列的性 质的合理运用. 18. (5 分)在等比数列{an}中,a1>1,且前 n 项和 Sn 满足 是() A.(1,+∞) Sn= ,那么 a1 的取值范围

B.(1,4)

C.(1,2)

D.(1,



考点: 极限及其运算. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 在等比数列{an}中, 能够推导出 a1 的取值范围. 解答: 解:由题意知
2

Sn=

,由题意可知



=

,再由 a1>1,|q|<1

Sn=

=



∴a1 =1﹣q, 2 ∵a1>1,|q|<1,∴1<a1 <2, ∴ .

故选 D. 点评: 本题考查数列的极限及其应用,解题时要注意掌握极限的逆运算. 三、解答题(总分 74 分) n * 19. (14 分)已知数列{xn}的首项 x1=3,通项 xn=2 p+nq(n∈N ,p,q 为常数) ,且 x1,x4, x5 成等差数列.求: (Ⅰ)p,q 的值; (Ⅱ)数列{xn}前 n 项和 Sn 的公式. 考点: 数列递推式;等差数列的前 n 项和;等比数列的前 n 项和;等差数列的性质. 专题: 计算题;综合题. n * 分析: (Ⅰ)根据 x1=3,求得 p,q 的关系,进而根据通项 xn=2 p+np(n∈N ,p,q 为常数) , 且 x1,x4,x5 成等差数列.建立关于 p 的方求得 p,进而求得 q. (Ⅱ)进而根据(1)中求得数列的首项和公差,利用等差数列的求和公式求得答案. 解答: 解: (Ⅰ)∵x1=3, ∴2p+q=3,① 4 5 又 x4=2 p+4q,x5=2 p+5q,且 x1+x5=2x4, 5 5 ∴3+2 p+5q=2 p+8q,② 联立①②求得 p=1,q=1

(Ⅱ)由(1)可知 xn=2 +n 2 n ∴Sn=(2+2 +…+2 )+(1+2+…+n) = .

n

点评: 本题主要考查等差数列和等比数列的基本知识,考查运算及推理能力.

20. (14 分)用行列式讨论关于 x,y 的二元一次方程组

解的情况并求解.

考点: 线性方程组解的存在性,唯一性;二元一次方程组的矩阵形式. 专题: 计算题;分类讨论. 分析: 先根据方程组中 x,y 的系数及常数项计算计算出 D,Dx,Dy,下面对 m 的值进行分 类讨论: (1)当 m≠﹣1,m≠1 时, (2)当 m=﹣1 时, (3)当 m=1 时,分别求解方程组的解即 可. 解答: 解: , ,…(各(1 分)共 3 分) ,

(1)当 m≠﹣1,m≠1 时,D≠0,方程组有唯一解,解为

…( (2 分) ,

其中解 1 分) (2)当 m=﹣1 时,D=0,Dx≠0,方程组无解;…(2 分) (3)当 m=1 时,D=Dx=Dy=0,方程组有无穷多组解,此时方程组化为 令 x=t(t∈R) ,原方程组的解为 ,

(t∈R) .…( (2 分) ,没写出解扣 1 分)

点评: 本小题主要考查二元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解的存在性,唯一性、二 元方程的解法等基础知识,考查运算求解能力与转化思想.属于中档题. 21. (14 分)数列{an}是首项为 23,公差为整数的等差数列,且第六项为正,第七项为负. (1)求数列的公差; (2)求前 n 项和 Sn 的最大值; (3)当 Sn>0 时,求 n 的最大值. 考点: 等差数列的性质;数列的函数特性. 专题: 综合题. 分析: (1)利用等差数列的通项公式列出 a6>0,a7<0,求出 d 的值; (2)根据 d<0 判断{an}是递减数列,再由 a6>0,a7<0,得出 n=6 时,Sn 取得最大值; (3)由等差数列的前 n 项和公式列出不等式,解不等式即可. 解答: 解: (1)由已知 a6=a1+5d=23+5d>0,a7=a1+6d=23+6d<0,

解得:﹣

<d<﹣

,又 d∈Z,∴d=﹣4

(2)∵d<0,∴{an}是递减数列,又 a6>0,a7<0 ∴当 n=6 时,Sn 取得最大值,S6=6×23+ (3)Sn=23n+ ∴0<n< ,又 n∈N*, (﹣4)=78

(﹣4)>0,整理得:n(50﹣4n)>0

所求 n 的最大值为 12. 点评: 本题考查了等差数列的性质、通项公式以及前 n 项和公式, (2)问 d<0 判断{an}是 递减数列,是解题的关键,属于中档题. 22. (16 分)已知数列{an}满足:a1=1,n 为正整数,对任意的 n≥2 都有 an+2anan﹣1﹣an﹣1=0 成立. (1)求证:数列 为等差数列;并求{an}的通项公式;

(2)判断 a3?a6 是否为数列{an}中的项,如果是,是第几项?如果不是,说明理由; * (3)设 cn=an?an+1(n∈N ) ,求数列{cn}的前 n 项和 Sn. 考点: 数列的求和;等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用定义法和递推关系式求数列的通项公式. (2)验证数列的项.用代入法求解. (3)利用裂项相消法求数列的和. 解答: (1)证明:已知数列{an}满足:对任意的 n≥2 都有 an+2anan﹣1﹣an﹣1=0 成立, 则: 所以:数列 (常数) 为等差数列.

由于 a1=1, 所以: 当 n=1 时,a1=1, 所以: (2)解:根据(1)求得:a3a6= 令 解得:n=28 所以:a3a6 是数列 an 中的第 28 项.

(3)解:由(1)得: 所以:数列{cn}的前 n 项和: Sn=c1+c2+…+cn= = .

=

1

点评: 本题考查的知识要点:利用递推关系式求数列的通项公式,验证数列的项,利用裂 项相消法求数列的和,属于基础题型.

23. (16 分)已知数列{an}中,a1=0,

,n∈N .

*

(1)求证:

是等差数列;并求数列{an}的通项公式;
*

(2)设

,n∈N ,试证明:对于任意的正整数 m、n,都有



考点: 数列与不等式的综合. 专题: 综合题. 分析: (1)因为 ,所以

,n∈N ;由此能够证明 通项公式. (2)由 ,得 =

*

是等差数列.求能求出数列{an}的

.由此能够证明对于任意的正整

数 m、n,都有



解答: 解: (1)因为



所以

,n∈N ;

*



是等差数列.

由此可得,



所以 (2)由 则有

,n∈N . ,

*

= ∴当 即 n≤3 时,bn+1>bn; ∴当 , ,



即 n≥4 时,bn+1<bn. 由此可知,b4 是数列{bn}中的最大项; 又因为 b1=0, 且当 n≥2 时,bn>0, 所以数列{bn}中的最小项为 b1=0. ∴对于任意的正整数 m、n,都有 . 点评: 本题考查数列和不等式的综合运用,解题时要认真审题,仔细解答,注意挖掘题设 中的隐含条件,合理地进行等价转化.


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上海市位育中学2014-2015学年高二数学上学期期中试题(新)
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上海市行知中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学试题word版含答案
上海市行知中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学试题word版含答案_数学_高中...? 一二 19 数学试卷 20 2l 22 23 总分 2 PP2 ,设 P 1P 2 ? ? PP ...
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