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教学设计:对数与对数运算(第1课时)


§2.2.1

对数与对数运算(一)

学习目标:⒈理解对数的意义、符号,能正确进行指数式与对数式的互相转化; ⒉通过阅读材料,了解对数的发展历史以及其对简化运算的作用. 教学重点:对数的意义. 教学难点:对数概念的理解. 教学方法:讲授式. 教具准备: 《几何画板》演示课本例 8. 教学过程: (I)新课引入: 师:在上节课的例题 8 中,我们得到了一个指数型函数 y ? 13?1.01x .通过 函数的解析式,我们可以计算得到任意一个年头 x 的人口数.反之,哪一年的 人口数将会达到 18 亿、20 亿、30 亿……呢? (学生思考,教师引导、演示) 要解决这样一个问题,现在对我们来说是很困难的,但是我们可以通过电 脑软件《几何画板》的演示来得到问题的近似解大约分别是 33,43,84,…, 这就是说,如果保持年增长率为 1 个百分点,那么大约经过 33 年,43 年,84 年,我国人口分别约为 18 亿,20 亿,30 亿. 18 20 30 解决这个问题,实际上就是要要从 1.01x ? , 1.01x ? , 1.01x ? ,… 13 13 13 中分别求出 x 的值,也就是已知底数和幂的值,求指数. 这就是本节课开始学习的对数问题. (II)讲授新课: ⒈对数的意义: 师:一般地,如果 a x ? N ( a ? 0 且 a ? 1 ) ,那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对 数,记作 x ? log a N ,其中 a 叫对数的底数,N 叫真数. 请同学们把前面的人口问题中的时间用对数表示出来. 18 20 30 生: x ? log1.01 , x ? log1.01 , x ? log1.01 . 13 13 13 师: 由于我们实际应用的十进制记数方法, 所以在实际应用中将以 10 为底 的对数叫做常用对数,并把 log10 N 记作 lg N . 另外,在科学技术和工程计算中常使用以无理数 e ? 2.71828?为底数的对

数,以 e 为底的对数成为自然对数,并且把 loge N 记作 ln N . 请同学们用计算器计算下面几个对数的值: lg 2 , lg 3 , ln 2 , ln 3 . 生: (计算得) lg 2 ? 0.3010 , lg3 ? 0.4771 , ln 2 ? 0.6931 , ln 3 ? 1.0986 . 师:由对数的定义,我们可以得到对数与指数间的关系式:

a x ? N ? x ? loga N .
请同学们填写下表中空白处的名称: 式子 指数式 对数式 生:略. 2. 对数的性质: 师:在对数 log a N 中,我们规定 a ? 0 且 a ? 1 ,这是为什么呢? 生:在指数式中,为了使 a x 对任意实数 x 都有意义,我们规定了 a ? 0 ;而 当 a ? 1 时,式子 1x 的值恒为 1,但是在对数式中 log1 N 的值就是不确定的了, 所以,在对数式 log a N 中,我们和指数式 a x 一样规定了 a ? 0 且 a ? 1 . 师:在学习指数函数的性质时我们知道,a x ? 0 ,这反映在对数中是怎样的 性质呢? 生:由于 a x ? N ? 0 ,所以在对数中必须有 N ? 0 . 师:这样我们就得到了对数的一条性质:负数和零没有对数. 在指数式中我们知道: a0 ? 1 , a1 ? a ,这反映到对数式中是怎样的呢? 生: loga 1 ? 0 , loga a ? 1 . 师:这就是对数的另一条性质. 根据指数与对数间的关系,我们还可以得到
a loga N ? N , ax ? N





a

x

N

log a N ? x

这个公式我们一般称为对数恒等式. 例⒈例⒉见课本 P69 . (Ⅲ)课后练习:课本练习.

(Ⅳ)课时小结 ⒈指数与对数的比较: 式子 名称
ax ? N

log a N ? x

a ——幂的底数

a ——对数的底

x ——幂的指数
N ——幂值

x ——以 a 为底 N 的对数
N ——真数

⒉要能够熟练的进行指数式与对数式的互相转化; ⒊关于对数的发展历史,同学们可以阅读课本 P75 的阅读与思考. (Ⅴ)课后作业 ⒈课本习题 2.2 A 组 ⒈⒉ ⒉阅读课本,思考下列问题: ⑴对数有哪些运算性质?怎样用对数的定义证明这些性质? ⑵什么叫对数的换底公式?它有什么用途?怎样用定义证明对数的换底公 式? 板书设计:
§2.2.1 对数与对数运算(一) ⒈对数的意义: ⑴常用对数 ⑵自然对数 ⒉根式的性质 ⑴ ⑵ ⑶ 例⒉ 小结: 预习提纲: 例⒈

教学后记:


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