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云南省玉溪一中2016届高三上学期期中考试数学(理)试卷


玉溪一中 2015——2016 学年上学期高三年级期中考 (理科数学)试题
第Ⅰ卷 (选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1.若集合 A ? {2,3}, B ? {x x ? 5 x ? 6 ? 0}, 则A ? B ? (
2

命题人:康皓岚 姚艳萍



A.{2,3}

B. ?

C.2 ( )

D.2,3

2.若复数 z 满足 zi ? 1 ? i ,则 z 的共轭复数是 A. ?1 ? i B. 1 ? i C. ?1 ? i

D. 1 ? i )

3.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为( A.3 B.4 C.5 D.6 4.设 a ? log 3 ? , b ? log? 3, c ? cos 3 ,则( A.b ? a ? c B.c ? b ? a )

C.a ? c ? b

D.a ? b ? c )

5.已知 {a n } 为等差数列,若 a1 ? a5 ? a 9 ? 5? ,则 cos(a 2 ? a8 ) 的值为( A. ?

1 2

B. ?

3 2

C.

1 2

D.

3 2

6.给出下列命题: ①若直线 l 与平面 ? 内的一条直线平行,则 l //? ;②若平面 ? ? 平面 ? ,且 ? ? ? ? l ,则 过 ? 内一点 ? 与 l 垂直的直线垂直于平面 ? ;③ ?x0 ? ? 3, ?? ? , x0 ? ? 2, ?? ? ;④已知

a ? R ,则“ a ? 2 ”是“ a 2 ? 2a ”的必要不充分条件.其中正确命题有(
A.②④ B.①② C.④ D.②③



7.张、王两家夫妇各带 1 个小孩一起到动物园游玩,购票后排队依次入园。为安全起见, 首尾一定要排两位爸爸,另外,两个小孩一定要排在一起,则这 6 人的入园顺序排法种数共 有( ) A.12 种 B.24 种
3

C.36 种

D.48 种

8.设点 P 是曲线 y ? x ? 3 x ? 取值范围是( A.? ?,? ? ) B. ?

2 上的任意一点, P 点处的切线的倾斜角为 ? ,则角 ? 的 3
? ?? ? 2? ?5 ?6 ? ? ? ?? ? 2? ?2 ?3 ? ?

?2 ?3

? ?

?? 5 ? ,? ?2 6 ? ?

C.?0, ? ? ? ?,? ?

D.?0, ? ? ? ?,? ?

9. 如右图是李大爷晨练时所走的离家距离 ( y ) 与行走时间 ( x) 之间的函数关系图, 若用黑点

表示李大爷家的位置,则李大爷散步行走的路线可能是(



?x ? 2 ? 0 ? 10.若实数 x , y 满足不等式组 ? y ? 1 ? 0 ,目标函数 t ? x ? 2 y 的最大值为 2 ,则实 ?x ? 2 y ? a ? 0 ?
数 a 的值是( A. ?2 ) B. 0 C. 1 D. 2

x2 y 2 2 11.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与抛物线 y ? 8 x 有一个共同的焦点 F,两曲线的 a b
一个交点为 P,若 PF ? 5 ,则点 F 到双曲线的渐近线的距离为( A. 3 B. 2
3

) D. 3 ,则

C. 6

12.设直线 l 与曲线 f ( x) ? x ? 2 x ? 1 有三个不同的交点 A、B、C,且|AB|=|BC|= 直线 l 的方程为( A. y ? 5 x ? 1 ) B. y ? 3 x ? 1 C. y ? 3 x ? 1 D. y ? 4 x ? 1

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.设 k ?

?

?

0

(sin x ? cos x)dx ,若 (1 ? kx) 8 ? a 0 ? a1 x ? a 2 x 2 ? ? ? a8 x 8 ,
.

则 a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? a8 ?

14. 一个空间几何体的三视图如图所示,且这个空间几何体的所有顶 点都在同一个球面上,则这个球的表面积是 .

15 . 已 知 D 为 三 角 形 ??C 的 边 ?C 的 中 点 , 点 ? 满 足

??? ? ??? ? ??? ? ? ?? ? ?? ? C? ? 0 , ??? ? ??? ? ?? ? ? ?D ,则实数 ? 的值为

16.数列 {an } 的通项 an ? n 2 (cos 2

n? n? ? sin 2 ) ,其前 n 项和为 S n ,则 S30 为 3 3



三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)

设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边为 a, b, c , 2sin B cos A ? sin A cos C ? cos A sin C (1)求角 A 的大小; (2)若 b ? 2 , c ? 1 , D 为 BC 的中点,求 AD 的长。

18. (本小题满分 12 分)如图所示,直三棱柱 ??C ? ?1?1C1 的 各条棱长均为 a , D 是侧棱 CC1 的中点.

?1? 求证:平面 ??1D ? 平面 ???1?1 ; ? 2 ? 求平面 ??1D 与平面 ??C 所成二面角(锐角)的大小.

19. (本小题满分 12 分)为了提高我市的教育教学水平,市教育局打算从红塔区某学校推荐 的 10 名教师中任选 3 人去参加支教活动。这 10 名教师中,语文教师 3 人,数学教师 4 人, 英语教师 3 人。 求: (1)选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率; (2)选出的 3 人中,语文教师人数 X 的分布列和数学期望。

20.(本小题满分 12 分)如图,椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )经过点 ? 0,1? ,离心率 a 2 b2

e?

?1? 求椭圆 C 的方程; ? 2 ? 设直线 x ? my ? 1 与椭圆 C 交于 ? ,? 两点,点 ? 关于 x 轴的对称点为 ??( ?? 与 ? 不
重合) ,则直线 ??? 与 x 轴是否交于一个定点?若是,请写出定点坐标,并证明你的结论; 若不是,请说明理由.

3 . 2

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ?

ax ? b 在点 ? ?1, f ? ?1? ? 处的切线方程为 x2 ? 1

x ? y ?3 ? 0.
(1)求函数 f ? x ? 的解析式; (2)设 g ? x ? ? ln x,当x ? ?1, ?? ? 时,求证: g ? x ? ? f ? x ? ; (3)已知 0 ? a ? b ,求证:

ln b ? ln a 2a . ? 2 b?a a ? b2

请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。作答时请写清 题号。 22. 选修 4 - 4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 在极坐标系中,曲线 c : ? ? 2a cos ? ( a ? 0), l : ? cos(? ? 共点. (1)求 a ; (2) O 为极点, A, B 为曲线 c 上的两点,且 ?AOB ?

?
3

)?

3 , c与l 有且仅有一个公 2

?
3

,求 OA ? OB 的最大值.

23.选修 4—5:不等式选讲(本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ?| x ? 5 | ? | x ? 3 | . (1)求函数 f ( x) 的最小值 m ; (2)若正实数 a , b 满足
1 1 1 2 ? ? 3 ,求证: 2 ? 2 ? m . a b a b

玉溪一中 2015——2016 学年上学期高 2016 届数学 (理科)期中考试题参考答案
题号 答案 13. 1 A 0 2 C 3 B 14. 16? 4 D 5 A 6 C 15. -2 7 B 8 D 9 C 10 D 11 A 12 B

16. 470

17.解:(1) A ? C ? ? ? B, A, B ? (0, ? ) ? sin( A ? C ) ? sin B ? 0

2sin B cos A ? sin A cos C ? cos A sin C ? sin( A ? C ) ? sin B

? cos A ?

1 ? ? A ? ????6 分 2 3 3 ? b2 ? a 2 ? c2 ? B ?

(2) a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? a ? 在 Rt ?ABD 中, AD ?

?
2

AB 2 ? BD 2 ? 12 ? (

3 2 7 ????12 分 ) ? 2 2

18.(l)证明:取 AB1 的中点 E , AB 的中点 F .连结 DE、EF、CF . 故 EF / /

1 1 BB1 .又 CD / / BB1.?四边形 CDEF 为平行四边形,? DE ∥ CF .又三棱柱 2 2 ABC ? A1 B1C1 是 直 三 棱 柱 . △ ABC 为 正 三 角 形 . CF ? 平 面 ABC ,

? CF ? BB1 , CF ? AB , 而 AB ? BB1 ? B , ? CF ? 平 面 ABB1 A1 , 又 DE ∥ CF , ? DE ? 平面 ABB1 A1 . 又 DE ? 平面 AB1 D .所以平面 AB1 D ? 平面 ABB1 A1 .??????????6 分
(2)建立如图所示的空间直角坐标系,则

3a a a , , 0), C (0, a, 0), D(0, a, ), B1 (0, 0, a), B(0, 0, 0) 2 2 2 ???? ???? 3a a 3a a a 得 AB1 ? (? , ? , a), AD ? (? , , ) 2 2 2 2 2 设 n ? (1, x, y ) 为平面 AB1 D 的一个法向量. A(

? ???? ?n ? AB1 ? (1, x, y ) ? (? ? 由? ?n ? ???? AD ? (1, x, y ) ? (? ? ?
即 n ? (1,

? 3a a , ? , a) ? 0, ?x ? ? 2 2 得, ? 3a a a ?y ? , , ) ? 0, ? 2 2 2 ?

3 , 3 2 3 , 3

3 2 3 , ) 3 3 显然平面 ABC 的一个法向量为 m(0, 0,1) .

3 2 3 , ) ? (0, 0,1) | 2 ? 2 3 则 cos m, n ? ,故 m, n ? . ? 2 4 3 2 3 2 12 ? ( ) 2 ? ( ) 3 3 ? 即所求二面角的大小为 ??????12 分 4 | (1,
(此题用射影面积公式也可;传统方法做出二面角的棱,可得 ?B1 AB 即为所求) 19.解(Ⅰ)解:设“选出的 3 名教师中语文教师人数多于数学教师人数”为事件 A, “恰好 选出 1 名语文教师和 2 名英语教师”为事件 A1“恰好选出 2 名语文教师“为事件 A2, ” 恰好取出 3 名语文教师”为事件 A3 由于事件 A1,A2,A3 彼此互斥,且 A=A1∪A2∪A3 而
P( A1 )
2 7 3 C1 1 3 C3 P(A ,P(A3)=P(X=3)= ,????3 分 ? , 2)=P(X=2)= 40 3 40 120 C10

所以选出的 3 名教师中语文教师人数多于数学教师人数的概率为 P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=
3 7 1 31 + + = ????5 分 40 40 120 120

3 (Ⅱ)解:由于从 10 名教师中任选 3 人的结果为 C10 ,从 10 名教师中任取 3 人,其中 k 3? k 恰有 k 名语文教师的结果数为 C3 那么从 10 人任选 3 人, 其中恰有 k 名语文教师的概 C7 ,
7 率为 P(X=k)= C 3 C ,k=0,1,2,3. 3 k 3? k

C10

所以随机变量 X 的分布列是 X P ????10 分 X 的数学期望 EX= 0 ?
7 21 7 1 9 ? 1? ? 2? ? 3? ? ????12 分 24 40 40 120 10

0

1

2

3

7 24

21 40

7 40

1 120

?b ? 1, ? 3 ?c 20.解:(1)依题意可得 ? ? ,解得 a ? 2, b ? 1 . , 2 ?a ?a 2 ? b 2 ? c 2 , ? x2 所以,椭圆 C 的方程是 ? y 2 ? 1 ????????4 分 4 ? x2 2 ? ? y ?1 (2)由 ? 4 ? x ? my ? 1 ? 2 2 2 2 得 (my ? 1) ? 4 y ? 4 ,即 (m ? 4) y ? 2my ? 3 ? 0 ???????????6 分 设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) 2m 3 则 A '( x1 , ? y1 ) .且 y1 ? y2 ? ? 2 .???????7 分 , y1 y2 ? ? 2 m ?4 m ?4 y ? y1 x ? x1 经过点 A '( x1 , ? y1 ) , B ( x2 , y2 ) 的直线方程为 . ? y2 ? y1 x2 ? x1 x ? x1 ( x ? x ) y ? x ( y ? y2 ) x2 y1 ? x1 y2 令 y ? 0 ,则 x ? 2 ??????9 分 y1 ? x1 ? 2 1 1 1 1 ? y2 ? y1 y1 ? y2 y1 ? y2 又? x1 ? my1 ? 1, x2 ? my2 ? 1 . 当 时 , ? y?0

x?

(my2 ? 1) y1 ? (my1 ? 1) y2 2my1 y2 ? ( y1 ? y2 ) ? ? y1 ? y2 y1 ? y2

?

6m 2m ? 2 2 m ?4 m ?4 ?4 2m ? 2 m ?4

这说明,直线 A ' B 与 x 轴交于定点 (4, 0) ???????????????12 分 21、解: (Ⅰ)将 x ? ?1 代入切线方程得 y ? ?2 , ∴ f (?1) ?

b?a ? ?2 ,???1 分 1?1

a ( x 2 ? 1) ? (ax ? b) ? 2 x 化简得 b ? a ? ?4 . f ?( x) ? ,?????2 分 (1 ? x 2 ) 2
2a ? 2(b ? a ) 2b b ? ? ? ?1 , 4 4 2 2x ? 2 解得: a ? 2, b ? ?2 .∴ f ( x) ? 2 . ????4 分 x ?1 2x ? 2 (Ⅱ)由已知得 ln x ? 2 在 [1,??) 上恒成立, x ?1 f ?(?1) ?
化简 ( x ? 1) ln x ? 2 x ? 2 ,即 x 2 ln x ? ln x ? 2 x ? 2 ? 0 在 [1,??) 上恒成立.????5 分
2

设 h( x) ? x ln x ? ln x ? 2 x ? 2 , h ?( x) ? 2 x ln x ? x ?
2

1 ? 2 , ????6 分 x

∵ x ?1

∴ 2 x ln x ? 0,

x?

1 ? 2 ,即 h ?( x) ? 0 , x

∴ h( x) 在 [1,??) 上 单 调 递 增 , h( x) ? h(1) ? 0 , ∴ g ( x) ? f ( x) 在 x ? [1,??) 上 恒 成 立 ??8 分

b 2 ?2 b b (Ⅲ)∵ 0 ? a ? b , ∴ ? 1 ,由(Ⅱ)知有 ln ? a , ??10 分 a ( b )2 ? 1 a a ln b ? ln a 2a ln b ? ln a 2a 整理得 ,∴当 0 ? a ? b 时, . ????12 分 ? 2 ? 2 2 b?a b?a a ?b a ? b2
22.解答: 解: (Ⅰ)曲线 C:ρ=2acosθ(a>0) ,变形ρ =2ρacosθ,化为 x +y =2ax, 2 2 2 即(x﹣a) +y =a . ∴曲线 C 是以(a,0)为圆心,以 a 为半径的圆; 由 l:ρcos(θ﹣ )= ,展开为 y﹣3=0. =a,解得 a=1.????5 分 , ,
2 2 2

∴l 的直角坐标方程为 x+ 由直线 l 与圆 C 相切可得

(Ⅱ)不妨设 A 的极角为θ,B 的极角为θ+ 则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos(θ+ )

=3cosθ﹣ 当θ=﹣

sinθ=2

cos(θ+

) , .????10 分

时,|OA|+|OB|取得最大值 2

23、解: (Ⅰ)∵ f ( x) ?| x ? 5 | ? | x ? 3 |? x ? 5 ? 3 ? x ? 2 ,????????????2 分 当且仅当 x ? [3, 5] 时取最小值 2, ? m ? 2 .??????????????????5 分 (Ⅱ)? (
1 2 1 1 2 1 2 ? 2 )[12 ? ( ) 2 ] ? ( ? 1 ? ? ) ? 3 ,??????????????7 分 2 a b a b 2 2 1 2 3 ? ( 2 ? 2 ) ? ? ( 3) 2 ,???????????????????????????8 分 a b 2
1 2 ? 2 ? 2 ????????????????????????10 分 2 a b




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