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由一道全国高中数学联赛试题引发的思考


5 4  

数学教学研究 

第 3 4卷第 4 期

2 0 1 5 年 4月 

由一道全 国高中数学联赛试题 引发的思考 
丁 称 兴 
( 江苏 省溧水高级中学 2 1 1 2 0 0 )  

1 问题 的提 出 

试题呈现 (

2 0 1 4年全 国高 中数学联赛  陕西赛区预赛试题 ) 如图 1 , 已知 圆 0 : X 0 +  3 ,   一1 与 z轴 交于 A, B两 点 , 与3 , 轴 交于 点  C, M 是 圆 O上任一点 ( 除去 圆 O 与 两 坐 标 
轴的交点) , 直线 A M 与B C交于点 P, 直线  C M 与 X轴交于点 N, 设直线 P M, P N 的斜  率分别为m,   , 求证 :  一2  为定值.  
- y  

解 得 点 M 的 坐 标 为 (   1 - 4 m z ,   ) .  
又 C( 0 , 1 ) , 则 c M 方 程为  一 
1 -m 4 1 , 则点 N 坐标为 {
\ 1
一  

+ 



o ) . 联 立 直 线 方 程  

f y - 一 4 -1 ,  

【 y =m( x -1 4 ) ,  

解 得 点 尸 坐 标 为   - m ,   上 I , , ‘ ) ,   . 则  
咒 一意  一  
,  

C 
  ‘

1 - m  4

。 / 入    
一  

下  一T =  
2 ’  

( 1 - m)   一( 1 - m) 4  
图 1  

l   = 丝 2   一— m - — 1 .  

该题是以直线与圆为载体 , 考查解析几  何的本 质 ( 以代 数方 法 研究 图形 的几何 性  质) , 要求有较高 的推理论证 、 运算求解及数 

故 

一2 , z 一1 ( 定值) .   解法 2 设点 M ( x o , 3 ' o ) ( x o ≠O , X o ≠ 

士1 ) , 则  +  一 1 , 仇 

.  

据处理能力. 本题立 意较好 , 不落俗套, 与高 
考题接轨 , 有进一步的研究价值.   2 试 题 的解 法 


所 以直线 AM方程为 : = =  
联 立两 直线 方程 

( z +1 ) ,  

道好的试题 , 一般来讲人 口都是较宽 

的, 也就是 有 多 种 不 同 的解 法 . 因此 , 我 们 不 

f   一一   +1 ,  

应该仅仅满足于所给 的参考解法 , 应该充分 
运用 所学 知识 、 所 掌握 的方 法 , 多角度、 多 视 

l   一   ( z + 1 ) ,  
14 - X o-   Yo 解得点 P   .   . . , . , .   . / 1+ 勘 + 2 y o

角对试题加以分析透视 , 争取更多的解法.  
解 法 1 直线 AM 方 程 为 Y—m( z +1 )  

, F  。 +  / .  

( 7 , l ≠0 , m e = 土1 ) , 联立直线与圆方程 
f y=m( x4 - 1 ) ,  

又c M 方程 为  一  
  .

z +1 , 则点 N  

l X   -y 4   =1 ,  
收稿 日期 : 2 0 1 4 — 1 2 - 2 6  

坐 标 为 (   , o ) . 则  

第3 4卷第 4 期

2 0 1 5 年 4月 

数学教学研究 

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=r 2 ( r >0 ) 与  轴交 于 A, B网点 , 与 Y轴交 
. 一

忌 L

刚一 夏 1 - l - x   o - y o 。 互 X o  
1 +‰ +Y o   1 一 




 

1 +Xo +y o  

于点 C , M 是圆 0上任一点 ( 除去 圆 0与两坐  标轴的交点) . 直线 A M与 B C交于点 P , 直线  C M与 z 轴交于点 N, 设直线 P ^   P N的斜率  分别为 m,   , 求证 : m- -2 n 为定值.  
证明 由题 意 , 设 点 P( a , r 一日 ) ( 以 ≠O , a  



 

) = X  2 3 , 0 (   一 0   1 一   + 1, ’   O  

m一是   一忌  一  y 再 o,  
m一 2  一   一  2 ( ) yo   -1 +工  


≠士r ) , 则直线 AP方程为 
联 立直线 与 圆方 程 

( z +r ) ,  



 

!  二  ±  2 二   (  二   2   1  :  
( Xo +1 ) ( X o 一  十 1 )  

j   : = =   ( z + r ) ,  
【   z + y Z = r 2 .  
( r Z   -  a 解 得点 M 的坐 标 为  2 a t z  r
,  



!   ±墅2   1 墨 二  2 二  
( X o +1 ) ( X o — o 十1 )  



!   ±墅2 l 墨 二 2 二(   二垄2  
( z o +1 ) ( z0 一弘 +1 )  

r z ) ) . 则  

一1 ( 定 值) .  
解 法 3 由题 意 , 设 点 P( a , 1 -a ) ( 口 ≠  O , a ≠ 士1 ) , 则直 线 P A 方 程 为 一  (  + 

直线 C MJ Y  ̄


y= - 一 ax+r , 点 N 坐标 为 
, .

( r 0 ) ? 则 




1 ) , 联立直线与圆方程 

m  愚 朋 一k p A一   r- -  a,  

j   = = : 罱(   + 1 ) ,  
【  。 +  = 1 ,  

意 P Ⅳ   —7 = = = 一r 一 +a '  
—  

解 得 点 M 的 坐 标 为 (   , }  ) . 则 直 线  
C M 方 程 为  一 一口  + 1 , 所 以点 N 坐 标 为 



 

== =

与 r 十     a + r   . t -   a — l ( 定 ~ 值   ) .  

横 向延拓  ( 将 圆 推 广 到 椭 圆 中) 如 图  2 , 椭 圆x 口2



( ÷, o ) . 则 
忌 肼 -  ̄ -k p A   ,  

y 6 z = = : 1 ( 口 >6 >o ) 的左 、 右 顶 点分 

别 为 A, B, 上顶 点 为 C, 设 点 M 为椭 圆  任 


点( 异于椭 圆与坐标轴 的交点) . 直线 A M 

竹 : = = k m  


口 一  

一 南 ,  

与B C交于点 P, 直线 C M 与 X轴交于点 N,   设直线 P M, P N 的斜率分别为  , 竹 , 求证 : m  


2 n为定值.  
‘ )  

2   一  + 者   一 1 ( 定 值 ) .  

3 试 题 的拓 展 

C 

解决—道试题后 , 我们应当思考: 这道试题  的条件或结论是否可推广到更一般的情况, 即  试题的背后是否隐藏着更一般性的规律 
纵 向延拓 < g o 圆一般化 ) 已知 圆 0:   + 
图 2  
’ 

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数学教学研究 

第3 4卷第 4期

2 0 1 5年 4 月 

证 明   由 题 意 知 , 设 点 M (   ,  
(  +口 ) , 联立 直线 与椭 圆方 程 

)  

则 
1 一 丑  
m —   ,   l— r 口  一

1 一 


(  ≠ ,   ≠ ±口 ) , 则 直 线 AP 方 程 为 y一 

= - = 一  D   ,  

因为 m- -2 n =1 - , 所 以 
1- -a 1 + 一  一 1,   n   口一 6   ’  

f   一  

( z +  

l   2 +   2 一   ,  
直线 C M 方程 为 一 一  z +6 , 所 以点 N 的  坐标为 (   1 2 2


解得 6 一  . 直线 PA方 程 为 
一  (  + 1 ) ’  

解 得 点 M 坐 标 为 (   竿 刍 , b _ ( a   a   - m z ) ) . 则   PB方程 为 
y - -  ̄ - x + l 一 一   x + l ?  
联 立两 直线方 程 
一 
m- =k  ̄ =k m 一 
b( a
. ..... ...

0 ) , 则 
,  

( z+ 1 ) ,  

【  一 - a x+ 1 ,  



..... .


.— —  

..

... . .

...

卵 ̄ k p N- - 
m 一  

一 一 

r n b  
,  

消 去参数 a得 
卜  

州  
m一 2  一  + 

化 简得 

一   a ( 口 + )   一   口、 (   定值) L E L   .  
既然椭 圆有 这 样 的性 质 , 双 曲线 是 否 有 

. z   +Y   一1 .  

即点 M 在定 圆 z 。 - t - y   一1 上.   4 结 束语 

类 似 的 结 论 , 答 案 是 肯 定 的 . 其 中   ~ 2  詈  
研奔- y法 某 本 同 卜。 限 干 篇 幅 汶 单不 予 格 沭 .  

竞赛题是专家、 学者的集体智 慧的结晶,   颇具研究价值 , 平时的教学和学习中, 对类似 
于高考 试题 的竞 赛 题 的研 究 , 一 线 教 师 责 无 

逆 向 延 拓  ( 研 究 

原命 题 的 逆 命 题 ) 如 图 
3 , 已知 3个定 点 A( 一1 ,  

旁贷. 经常思考研究 , 有助于提高我们 的教科 
研 意识. 该题 是解 析几 何 中的一类 常见题 
A  D B\ j  

O ) , B( 1 , 0 ) , C( 0 , 1 ) , 点 N 
P为直 线 B C 上 的动点 ,  

型— — 求运 动 中的“ 不 变 量” , 如“ 定值 问题 ” 、   “ 定 点 问题 ” 等, 这 类 问题 在 近 年 的 高考 中时 

N 为 z轴上 的动 点 , 若 

图 3  

有 出现. 笔者受竞赛题 的启发 , 通过类 比圆的 


直线 P M, PN 的斜 率 分 别 记 为 m, 7 2 且 满 足 
m- -2 n - - 1 , 求证 : 直 线 AP 与 C N 的 交 点 M  在一个 定 圆上.  

般形 式—— 椭 圆—— 双 曲线 的有关 性质 进 

行 猜想 , 从特 殊 到一般 地研 究 问题 , 得到 了相 

关 的一些优美的结论. 长此 以往 , 坚持下去 ,   我们的教学对激发学生的发散思维能力 、 创  新思维能力都会有极大的裨益.  

证明

直线 B C方程 为  :一z +1 , 设 

点 P( a , 一日 +1 ) ( 口 ≠0 , n ≠ ±1 ) , 点 N( b , O ) .  


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