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山西省晋中市太谷县第二中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题理(新)


太谷二中 2014 级 2015-2016 学年第二学期期中考试 数学试题(理科)
(本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟) 第Ⅰ卷 客观题(60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.复数

5 的共轭复数是( ) 3 ? 4i 3 4 A.3-4i B. ? i 5 5

C.3+4i

D.

3 4 ? i 5 5

2.下列说法中正确的是( ) 2 A.若分类变量 X 和 Y 的随机变量 K 的观测值 k 越大,则“X 与 Y 相关”的可信程度越 小 B.对于自变量 x 和因变量 y,当 x 取值一定时,y 的取值具有一定的随机性,x,y 间 的这种非确定关系叫做函数关系 2 C.相关系数 r 越接近 1,表明两个随机变量线性相关性越弱 2 D.若分类变量 X 与 Y 的随机变量 K 的观测值 k 越小,则两个分类变量有关系的把握性 越小 3.设函数 f(x)=g(x)+x ,曲线 y=g(x)在点(1,g (1))处的切线方程为 y=2x+1,则曲 线 y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为( A.4 1 B.- 4 ) C.2 1 D.- 2
2

4.为了考察两个变量之间的线性相关性,甲,乙两个同学各自独立地做了 10 次和 15 次试 验,并且利用线性回归方法求得回归直线分别为 l1 和 l2 .已知两个人在试验中发现对变量 x 的观测数据的平均数都为 s ,对变量 y 的观测数据的平均数都为 t ,那么下列说法正确的是 ( ) A. l1 与 l2 重合 C. l1 与 l2 相交,但交点不是 ( s, t ) 5.曲线 y=e 1 A. 3
3
-2x

B. l1 与 l2 有交点 ( s, t ) D. l1 与 l2 平行. )

+1 在点(0,2)处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角形面积为 ( 1 B. 2 C. 2 3 D.1

6.过曲线 y ? x ? x ? 2 上的点 P0 的切线平行于直线 y ? 4 x ? 1 ,则切点 P0 的坐标( A.(0, ?1) 或 (1, 0) B.(1, 0) 或 (?1, ?4) 7.某射手射击所得环数 ξ 的分布列如下: ξ 7 8 0.1 C.(0, ?2) 或 (?1, ?4) 9 0.3 10



D.(2,8) 或 (1, 0)

P

x

y
1

已知 ξ 的数学期望 E(ξ )=8.9,则 y 的值为( ) A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8 3 2 8.已知函数 f(x)=x -px -qx 的图象与 x 轴相切于点(1,0),则 f(x)的极值情况为( A.极大值 0,极小值- 4 C.极大值 ,极小值 0 27 4 27 4 B.极大值 0,极小值 27 4 D.极大值- ,极小值 0 27

)

1 3 2 2 9.在下面的四个图象中,其中一个图象是函数 f(x)= x +ax +(a -1)x+1(a∈R)的导函 3 数 y=f′(x)的图象,则 f(-1)等于( y y ). y y

o

x

o

x

o

x

Ziy uanku.com

o

x

1 A. 3

1 B.- 3
5

7 C. 3

1 5 D.- 或 3 3 )

a ?? 1? ? 10. ? x ? ?? 2 x ? ? 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为( x ?? x? ?
A.-40 B.-20 C.20 D. 40

11.设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,g(x)恒不为 0,当 x<0 时,f ′ (x)g(x)-f (x)g′(x)>0,且 f(3)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是( A.(-3,0)∪(3,+∞) C.(-∞,-3)∪(3,+∞)
2

)

B.(-3,0)∪(0 ,3) D.(-∞,-3)∪(0,3)

12.若函数 f(x)=2x - lnx 在其定义域的一个子区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数 k 的取值范围是( A. ( ) B. (- ?, 1 ) 2 1 3 C. ( , ) 2 2 D. [1, 3 ) 2 3 ,+ ?) 2

第Ⅱ卷 主观题(90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.若复数(a - 3a+2)+(a-1)i 是纯虚数,则实数 a 的值为
2



14.某校安排 5 个班到 4 个工厂进行社会实践,每个班去一个工厂,每个工厂至少安排一个
2

班,不同的安排方法共有

种. (用数字作答)

15.已知随机变量 ? 服从正态分布 N 2, b2 ,且 p?? ? 4? ? 0.8, 则p?0 ? ? ? 2? ?
3 2

16.已知函数 f ?x? ? x ? ax ? ?a ? 6?x ? 1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围是

?

?



三、解答题(17 题满分 10 分,其余每小题满分 12 分,共 70 分,解答应写出文字说明,证 明过程或演算步骤) 17、设 f ( x ) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? 1 的导数 f ? ( x) 满足 f ? (1) ? 2a , f ? (2) ? ?b ,其中常数 a , b? R . 求曲线 y ? f ( x )在点 (1, f (1)) 处的切线方程;
8 18、已知 ( x ? ) 展开式中常数项为 1120,其中实数 a 为常数.

a x

(1)求 a 的值; (2)求展开式各项系数的和. 19、已知 F ( x) ?

?

x

0

(t 2 ? 2t ? 8)dt ( x ? 0) .

(1)求 F ( x) 的单调区间;

3] 上的最值. (2)求函数 F ( x) 在 [1,
20、某中学将 100 名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”,每班 50 人.陈老师采 用 A、B 两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验.为了解教学效果,期末考 试后,陈老师对甲、 乙两个班级的学生成绩进行统计分析, 画出频率分布直方图 (如右图) . 记 成绩不低于 90 分者为“成绩优秀”.

(1) 从乙班随机抽取 2 名学生的成绩,记“成绩优秀”的个数为 ? ,求 ? 的分布列和数学
3

期望; (2) 根据频率分布直方图填写下面 2 ? 2 列联表, 并判断是否有 95%的把 握认为 “成绩优秀” 与教学方式有关。 21、已知函数 f(x)=ax +2ln (1-x)(a 为常数). (1)若 f(x)在 x=-1 处有极值,求 a 的值并判断 x=-1 是极大值点还是极小值 点; (2)若 f(x)在[-3,-2 ]上是增函数,求 a 的取值 范围. 22、已知函数 f ?x ? ? ax3 ? bx2 ? cx 的极小值为-8,其导函数的 图象过点 ?? 2,0?, ? ,0 ? ,如图所示
2

?2 ?3

? ?

?2

(1)求 f ?x ? 的解析式 (2)若对 x ? ?? 3,3? 都有 f ?x ? ? m ? 14m 恒成立,求实数的 m 取值范围。
2

2 3

?2
4

2 3

?2

2 3

太 谷二中 2014 级 2015-201 6 学 年第二学期期中考试 理科数学答案 一、选择题 1 B 2 D 3 A 4 B 5 A 6 B 7 B 8 C 9 B 10 D 11 D 12 D

二、填空题 13. 2 14. 240 15.0.3 16. a ? 6或a ? ?3

三、解答题 故 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? 1, x ? 1, 得f ?(1) ? 3 ? 2a ? b, 由已知 f ?(1) ? 2a,因此3 ? 2a ? b ? 2a, 解得b ? ?3. 又令 x ? 2, 得f ?(2) ? 12 ? 4a ? b, 由已知 f ?(2) ? ?b, 3 因此 12 ? 4a ? b ? ?b, 解得 a ? ? . 2 3 2 5 3 所以 f ( x) ? x ? x ? 3 x ? 1, 从而f (1) ? ? 2 2 3 又因为 f ?(1) ? 2 ? ( ? ) ? ?3, 2 故曲线 y ? f ( x)在点(1, f (1)) 处的切线方程为 5 y ? (? ) ? ?3( x ? 1), 即6 x ? 2 y ? 1 ? 0. 2 a r r 8? r r r 8? 2 r 18.( 1) Tr ?1 ? C8 x (? ) ? C8 (?a ) x x 17. 解 因
4 设 8 ? 2r ? 0 则 r ? 4 . 故常数项为 C8 (?a)4 ? 1120

f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? b.



解得 a ? ?2 (2)当 a ? 2 时,令 x ? 1 展开式系数和为 1 当 a ? ?2 时,令 x ? 1 展开式系数和为 3 .
8

19. 解:依题意得, F ( x) ?

?

x

0

?1 ?x 1 3 (t 2 ? 2t ? 8)dt ? ? t 3 ? t 2 ? 8t ? 0 ? x ? x 2 ? 8x ,定义域 3 3 ? ?

? ?) . 是 (0,
(1) F ?( x) ? x ? 2x ? 8 ,
2

令 F ?( x) ? 0 ,得 x ? 2 或 x ? ?4 ,
5

令 F ?( x) ? 0 ,得 ?4 ? x ? 2 ,

20.解: 解:(1)由频率分布直方图可得“成绩优秀”的人数 4. 2,且

? 的可能取值为 0,1,

故 ? 的分布列

为:

所以 (2)由频率分布直方图可得,甲班成绩优秀、不优秀的人数分别为 12,38;乙班成绩优秀、 不优秀的人数分别为 4,46.

根据 列联表中数据可得,由于

,4.762>3.841 所以有 2 ,x∈(-∞,1),f′(-1)=-2a-1=0 , 1-x

95 %的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关
21 解:(1)f′(x)=2ax- 1 所以 a=- . 2

1 2 2 这 时 , f(x) = - x + 2ln (1 - x) , f′(x) = - x - = 2 1-x

6

?x+1??x-2? . 1-x ∵x<1,∴1-x>0,x-2<0 因此,当 x<-1 时 f′(x)>0,当-1<x<1 时 f′(x)<0 极大值点. 2 (2)f′(x)≥0 在 x∈[-3,-2]上恒成立, f′(x)≥0 即 2ax- ≥0. 1-x 1 ∴a≤ 2 在 x∈[-3,-2]上恒成立, -x +x 1 2 1 1 1 1 2 ∵-x +x=-(x- ) + ∈[-12,-6], ∈[- ,- ] 2 2 4 -x +x 6 12 1 1 1 ∴( 2 )min=- ,a≤- . -x +x 6 6 22.解(1) f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? c
2

∴x=-1 是 f(x)的

1 即 a 的取值范围为(-∞,- ]. 6

f ?(?2) ? 0

由题意可知

2 f ?( ) ? 0 3
f ?(?2) ? ?8

解得:a=-1, b=-2,c=4
2

∴ f ( x) ? ? x ? 2x ? 4x
3 2

(2)由(1)可知 f ?( x) ? ?3x ? 4 x ? 4 ? ( x ? 2)(?3x ? 2) ∴ x ? (?3, ?2) ( ,3)

2 3

f ( x) 单调递减

2 x ? ( ?2, ) , f ( x) 单调递增 3
f (?2) ? ?8, f (3) ? ?33
∴ x ? [?3,3], f ( x ) ? f (3) ? ?33
mm

若对 x ? [?3,3] 都有 f ( x) ? m ?14m 成立
2

只需 f ( x ) ? m ? 14m 成立
2 mm
2 即 m ? 14m ? ?33

解得:3≤m≤11

∴m 的取值范围是[3,11]

7


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