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椭圆及其标准方程复习课


椭圆及其标准方程(复习课)
江苏省口岸中学 陈明朋

基础梳理 1.椭圆的定义 和 等 平面内到两个定点F1,F2的距离之____ 大于|F1F2| 的点的集合叫做椭圆, 于常数(____________) 焦点 ,两 这两个定点F1,F2叫做椭圆的_______ 焦距 . 焦点F1,F2间的距离叫做椭圆的_______
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思考感悟 在椭圆的定义中,若2a=|F1F2|或2a<|F1F2|,动

点P的轨迹如何?
提示:当2a=|F1F2|时动点的轨迹是线段F1F2; 当2a<|F1F2|时动点的轨迹是不存在的.
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思考:
1、下列方程表示椭圆的是
2 2 2 2 2 2 2 2



A. x ? y ? 6 x ? 9 ? x ? y ? 6 x ? 9 ? 6 B. x ? y ? 6 x ? 9 ? x ? y ? 6 x ? 9 ? 4 C. x 2 ? y 2 ? 6 x ? 9 ? x 2 ? y 2 ? 6 x ? 9 ? 10 D. x ? y ? 6 x ? 9 ? x ? y ? 6 x ? 9 ? 4
2 2 2 2

椭圆的定义:平面内与两定点F1、F2的距离之和等于常数 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆.

探究:根据椭圆的定义你能求出它的轨迹方程吗?

解:取过焦点F1、F2的直线为x轴,线段F1F2的垂 直平分线为y轴,建立平面直角坐标系(如图). y 设M(x, y)是椭圆上任意一 M 点,椭圆的焦距2c(c>0),M 与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a>2c) ,则F1、F2的 F2 F1 0 坐标分别是(?c,0)、(c,0) .

x

由椭圆的定义得,限制条件:| MF 1 | ? | MF 2 |? 2a 代入坐标 | MF1 |? ( x ? c) 2 ? y 2 , | MF2 |? ( x ? c) 2 ? y 2
得方程 ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ? 2a

(问题:下面怎样化简?)

移项,再平方 ( x ? c ) 2 ? y 2 ? 4a 2 ? 4a ( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2

a 2 ? cx ? a ( x ? c ) 2 ? y 2 两边再平方,得

a 4 ? 2a 2cx ? c 2 x 2 ? a 2 x2 ? 2a 2cx ? a 2c 2 ? a 2 y 2
整理得 (a 2 ? c 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (a 2 ? c 2 )
由椭圆定义可知 2 a ? 2c, 即 a ? c, 所以

a 2 ? c 2 ? 0, 设 a 2 ? c 2 ? b 2 (b ? 0 ),

b2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b2
两边除以 a 2 b 2 得

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0). 2 a b

2.椭圆的标准方程的特点:
Y
M M F1 (-c,0)
2 2

Y F2(0 , c)

O

F2 (c,0)

X
2

O
F1(0,-c)

X

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

2

(1)椭圆标准方程的形式:左边是两个分式的平方和,右边是1 (2)椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。 (3)椭圆的标准方程中,x2与y2的分母哪一个大,则焦点在哪一个 轴上。

例一已知△ABC中,A(-1,0),C(1,0),

且边BC,AC,AB成等差数列,求顶点B的轨迹方程.
解:设B(x,y),∵BC+AB=2AC,

∴BC+BA=4.
又∵A,C为定点,∴由椭圆定义知,动点B的轨迹是

x2 y 2 以A,C为焦点的椭圆,设其方程为 2 + 2 = 1 a b ∴c=1,a=2,b2=3,
x2 y 2 ∴椭圆方程为 + =1 . 4 3 又A,B,C不共线,∴y≠0,即x≠±2. x2 y 2 ∴所求B点的轨迹方程为 + = 1 (x≠±2). 4 3



探究 1: 涉及到动点到两定点距离之和为常数的问题, 可直接用椭圆定义求解.

举一反三:
??? ? ??? ? 在 ?ABC 中, BC ? 6 ,三角形的周长为 16,求 AB ? AC 的取值范围

例二(1)两个焦点的坐标分别是(0,-2),(0,2),
3 5 ( 并且椭圆经过点 2 ,) 2

【法一】由题设知,所求椭圆的焦点在y轴上, y 2 x2 故设所求椭圆的方程为 2 ? 2 =1? a ? b ? 0 ?, a b ?a 2 ? b 2 ? 4 2 ? ? a ? 25 9 ? ? 10 则? , 解得 ? 2 ? ?b ? 6 ? 4 ? 4 =1 ? ? a 2 b2 y 2 x2 故所求椭圆的方程为 ? =1. 10 6

例二(1)两个焦点的坐标分别是(0,-2),(0,2),
(并且椭圆经过点

【法二】由题设知,所求椭圆的焦点在y轴上, y2 x2 故设所求椭圆的方程为 2 ? 2 =1? a ? b ? 0 ?, a b 32 5 32 5 2 由椭圆的定义知,2a= (? ) ? ( ? 2) ? (? ) ? ( ? 2) 2 =2 10 2 2 2 2 ? a ? 10 又? c?2 ? b2 ? 6 y2 x2 故所求椭圆的方程为 ? =1. 10 6

3 5 ,) 2 2

例二(2)长轴长是短轴长的3倍,且经过点A(3,0),求椭圆
的标准方程
x2 y2 解:(1)若焦点在 x 轴上,设方程为a2+b2=1(a>b>0). ∵椭圆过点 A(3,0), 9 ∴a2=1,∴a=3,∵2a=3×2b, x2 2 ∴b=1.∴方程为 9 +y =1. y2 x2 (2)若焦点在 y 轴上,设方程为a2+b2=1(a>b>0).
9 ∵椭圆过点 A(3,0),∴b2=1,∴b=3, 又 2a=3×2b,∴a=9, y2 x2 ∴方程为81+ 9 =1. x2 y2 x2 2 综上所述,椭圆方程为 9 +y =1 或81+ 9 =1.

例二(3) 经过 P 1 ( 6 ,1), P 2 (? 3,? 2 ) 两点.

探究2:求椭圆标准方程的方法——待定系数法

(1)定位: 根据条件判断焦点的位置.焦点不确定时要 注意分类讨论. (2)定量: 根据已知条件,建立关于 a、b、c 的方组. (3)解方程组: 将解代入所设方程即为所求. .注:当焦点所在的坐标轴不明确时,通常要进行分

类讨论,有时为了避免运算量过大,可设椭圆方程 为mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n)然后再根据条件 确定m和n的值.

x2 y2 例3 : 设M是椭圆 ? ? 1上一点, F1、F 2分别 25 16 为其左、 右焦点.
(1)若CD为过F1的弦,求△F2CD的周长;

(2)若N是MF1的中点,且|ON|=1(O是坐标原点),
求线段MF1的长度; (3)若∠F1MF2=600,求△MF1F2的面积.
(1)求它的长轴长,短半轴长,焦距及焦点坐标;(是几何性质吧)

例4 : 一动圆与已知圆 O1 : ( x ? 3) ? y ? 1外切,
2 2

与圆O2:(x ? 3) ? y ? 81 内切,试求动圆圆
2 2

心的轨迹方程 .

变式:已知动圆 M过定点A(? 3, 0),并且在定 圆B: ( x ? 3) ? y ? 64的内部与其内切,求动 圆
2 2

圆心M的轨迹方程 .

小结:
①求椭圆方程的方法;

②深刻理解椭圆的定义;
③思想方法:数形结合、函数与方程、等价转 化思想的运用.

4. A、B是两定点,且| AB |? 2,动点M到A的 距离为4,线段MB的垂直平分线 l交MA于P, 求点P的轨迹方程 .

练习:
x2 y2 ? 1有相同焦点,且经过点P (2,? 2 ) 1.与椭圆 ? 13 9 的椭圆方程为 .

2. 如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,则k的取 值范围是_______. 3.化简方程: x 2 ? ( y ? 3) 2 ? x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 10

巩固提升:
2 2 2 2 x ? ( y ? 3 ) ? x ? ( y ? 3 ) ? 10 1 化简方程:

2. 方程

x2 y2 ? ? 1表示焦点在x轴上的 25 ? m 16 ? m

椭圆,则m的取值范围为

A - 16 ? m ? 25 B 4.5 ? m ? 25 C - 16 ? m ? 4.5 D m ? 4.5


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