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高三数学课件:第35讲算术平均数与几何平均数


第 35 讲算术平均数与几何平均数

当 a、b 为正数时,

a+b ≥ ab 则 2
算术平均数 (a 、 b 的 )

可以用来 求最值( 求最值(积定 和小, 和小,和定 积大) 积大

(当且仅当 a = b 时取“=”号)

几何平均数
(a

、b 的)

1

第 35 讲算术平均数与几何平均数

一、知识要点 重要不等式
二、例题分析

基础练习

例1

例2

三、课堂练习及作业 课堂练习及 练习
作业: 全案》 作业:《全案》 P 训练 3、4、5 、 、
2

129

是正实数}, 定理 1:如果 a,b∈{x|x 是正实数 , : ∈

a+b 时取“ ” 那么 ≥ ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). 2
该不等式可推出下面几个相关不等式 注:该不等式可推出下面几个相关不等式 该不等式可推出下面几个相关不等式: 当 a、b 为正数时 为正数时,

a 2 +b 2 ≥ a + b ≥ 2 2

ab ≥

2 1+1 a b

时取“ ” (当且仅当 a = b 时取“=”号) 平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥ 即平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数
3

是正实数}, 定理 1:如果 a,b∈{x|x 是正实数 , : ∈

a+b 时取“ ” 那么 ≥ ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). 2
还可以推广: 还可以推广 是正实数}, 如果 a,b,c∈{x|x 是正实数 ,那么 a + b + c ≥ 3 abc . ∈
3

时取“ ” (当且仅当 a=b=c 时取“=”号)

均值不等式可以用来求最值(积定和小, 均值不等式可以用来求最值(积定和小 ,和 定积大),但特别要注意条件的满足:一正、二 定积大),但特别要注意条件的满足:一正、 ),但特别要注意条件的满足 三相等. 定、三相等.
4

基础练习: 基础练习:

1. a > 0 , b > 0 且 a + b =1, 则下列四个不等式中不成立的是( 则下列四个不等式中不成立的是

1 ( A)ab ≤ 4

D)

2 + b2 ≥ 1 (C )a

1 + 1 ≥4 ( B) a b

2

(D)a≥1

(A)、( )、( )不等式为什么成立? 、(B)、( 、( )、(C)
5

2.设 a 、 b 是实数 且 a + b = 3 , 设 是实数,且 a + 2b 的最小值是( ) 的最小值是 则2

基础练习: 基础练习:

B

(A)6

(B) 4 2

(C) 2 6

(D)8

积定和小, 积定和小,和定积大

2 + 2 ≥ 2 2 ? 2 =2 2 = 4 2 a b 当且仅当 2 = 2 时取等号
a b
a b a +b
6

3 的最大值. 例 1⑴已知 0 < x < ,求函数 y = x(3 ? 2x) 的最大值 求函数 2 2 x2 ( x > 3) 的最小值 的最小值. ⑵求函数 y = x ?3 x2 + 3 的最小值. ⑶求函数 y = 的最小值 2 x +2

3 重要不等式法) 解⑴(重要不等式法)∵ 0 < x < ,∴ x > 0且3 ? 2 x > 0 , ∴ 2 1 1 2x + 3 ? 2x 3 2 ? 2 x(3 ? 2 x) ≤ ? ∴ x(3 ? 2 x) = = 2 2 2 4 3 时取等号. 当且仅当 x = 时取等号. 4 3 2 3 取得. ∴函数 y = x(3 ? 2 x) 的最大值为 ,当且仅当 x = 取得. 4 4 7

3 的最大值. 例 1⑴已知 0 < x < ,求函数 y = x(3 ? 2 x) 的最大值 求函数 2 2 x2 ( x > 3) 的最小值 的最小值. ⑵求函数 y = x ?3 x2 + 3 的最小值. ⑶求函数 y = 的最小值 2 x +2 解: ⑵∵ x > 3 ,∴ x ? 3 > 0 2 x 2 2( x 2 ? 9) + 18 18 = = 2x + 6 + ∴y= x?3 x?3 x?3 18 = 2( x ? 3) + + 12 ≥24 x?3 18 时取等号. 当且仅当 2( x ? 3) = 即 x = 6 时取等号 x?3 2 x2 ( x > 3) 的最小值为 24,且当 x = 6 时取得 时取得. ∴函数 y = 且当 x?3

8

3 的最大值. 例 1⑴已知 0 < x < ,求函数 y = x(3 ? 2x) 的最大值 求函数 2 2 x2 ( x > 3) 的最小值 的最小值. ⑵求函数 y = x ?3 x2 + 3 的最小值. ⑶求函数 y = 的最小值 2 x +2
解: ⑶∵ y =
2

x2 + 3 x +2
2

=

x2 + 2 + 1 x +2
2

= x +2+
2

1 x2 + 2

1 时是减函数. 又∵ x + 2 ≥ 2 ,又∵函数 y = t + 在 t ∈ [1, +∞ ] 时是减函数. t 3 2 1 2 ∴当 x = 0 时,函数 y = x + 2 + 取得最小值 . 2 2 x +2
9

例 1⑶求函数 y =

x2 + 3

x2 + 2 x2 + 3 x2 + 2 + 1 1 2 解: ⑶∵ y = ≥2 = = x +2+ x2 + 2 x2 + 2 x2 + 2 x2 + 3 ∴函数 y = 的最小值为 2. x2 + 2 上面解法错在哪? 上面解法错在哪?

的最小值. 的最小值

均值不等式可以用来求最值( 积定和小, 均值不等式可以用来求最值( 积定和小, 和 定积大) 但特别要注意条件的满足 一正 二定 的满足: 一正、 二定、 定积大),但特别要注意条件的满足: 、 、 三相等. 三相等.
10

例 2 一批救灾物资随 26 辆汽车从某市以 v km/h 的速度直达 灾区, 灾区,已知两地公路线长 400km,为了安全起见,两辆汽车 ,为了安全起见,

? v ? 汽车本身长度不计) ,那么这批 的间距不得小于 ? ? km (汽车本身长度不计) 那么这批 , ? 20 ? 物资全部运到灾区, 物资全部运到灾区,至少需要 小时

2

10

400km
v )2 25( 2 400+ 20 = 400+ 25v≥ v ? ? t≥ v 10 v v 400 km ? ? ? 20 ?
11

课外思考: 外思考 1.已知 a > 0, b > 0 , 2 a + 3b = 10 , 已知 的最大值是____. 则 3b + 2 a 的最大值是 2 5 2.已知 x > 0 , y > 0 ,且 x + 2 y = 1 , 已知 1 1 3+ 2 2 。 的最小值是______________。 则 u = + 的最小值是 x y 2 x +8 3.函数 y = ( x > 1) 的最小值为 的最小值为______. 函数 x ?1 4. 现有两个定值电阻,串联后等效电阻值为 R,并 现有两个定值电阻, 联后等效电阻值为 r,若 R = k ? r ,则实数 k 的取值 范围是_____. 范围是_____.

8

k≥4

作业: 全案》 作业:《全案》 P

129

训练 3、4、5 、 、

12


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