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天津市七校联考2015届高考数学模拟试卷(文科)(4月份)


天津市七校联考 2015 届高考数学模拟试卷(文科) (4 月份)
一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分) 1. (5 分)设虚数单位为 i,复数 A.﹣1﹣2i B.﹣1+2i 为() C.1+2i D.1﹣2i

2. (5 分)设变量 x、y,满足约束条件

,则目标函数 Z=2x﹣3y 的最小值为()

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A.﹣2

B . ﹣3

C . ﹣4

D.﹣5

3. (5 分)阅读下面程序框图运行相应的程序,若输入 x 的值为﹣8,则输出 y 的值为()

A.0

B. 1

C.

D.

4. (5 分)方程 A.(3,4) B.(2,3)

的根所在区间为() C.(1,2) D.(0,1)

5. (5 分)若集合 M={0,1,2,3,4},集合 N={x||x﹣2|<3},则下列判断正确的是() A.x?M,是 x?N 的充分必要条件 B. x?M,是 x?N 的既不充分也不必要条件 C. x?M,是 x?N 的充分不必要条件 D.x?M,是 x?N 的必要不充分条件

6. (5 分)已知双曲线
2

的一条渐近线与

平行,且它

的一个焦点在抛物线 x =24y 的准线上,则双曲线的方程为()

A.

B.

C.

D.

7. (5 分)已知

的最小正周期为 π,将 y=f(x)

的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标不变;再把所得的图象向右平移|φ|个单 位长度,所得的图象关于原点对称,则 φ 的一个值是() A. B. C. D.

8. (5 分)在△ ABC 中,O 为中线 BD 上的一个动点,若 BD=6,则 值是() A.0

的最小

B . ﹣9

C.﹣18

D.﹣24

二、填空题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分) 9. (5 分)已知命题 p:?x0>2 使得(x0﹣2)ln(x0﹣1)>0,则 p: . 10. (5 分)若数列{an}是首项为 a1=3,公比 q≠﹣1 的等比数列,Sn 是其前 n 项和,且 a5 是 4a1 与﹣2a3 的等差中项,则 S19=. 11. (5 分)一个几何体的三视图(单位:m) ,则该几何体的体积为 m .
3 ?

12. (5 分)如图,已知 MA 为⊙O 的切线,A 为切点,△ ABC 是⊙O 的内接三角形,MB 交 AC 于 D,交⊙O 于 E,若 MA=MD,∠ABC=60°,ME=1,MB=9,则 DC=.

13. (5 分)过点(2,0)引直线 l 与曲线 △ AOB 面积取得最大值时,直线 l 斜率为.

相交于 A、B 两点,O 为坐标原点,当

14. (5 分)若函数

有且只有 2 个不同零点,则实数 k 的取值范

围是.

三、解答题: (15-18 题各 13 分,19、20 各 14 分,共 80 分) 15. (13 分)某公司有一批专业技术人员,对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调 查,其结果(人数分布)如表: 学历 35 岁以下 35~50 岁 50 岁以上 本科 80 30 20 研究生 x 20 y (Ⅰ)用分层抽样的方法在 35~50 岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为 10 的样本, 将该样本看成一个总体,从中任取 3 人,求至少有 1 人的学历为研究生的概率; (Ⅱ)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取 N 个人,其中 35 岁以 下 48 人,50 岁以上 10 人,再从这 N 个人中随机抽取出 1 人,此人的年龄为 50 岁以上的概率 为 ,求 x、y 的值.

16. (13 分)已知 a,b,c 分别为△ ABC 三个内角 A,B,C 的对边, (1)求角 B. (2)若 b=2,△ ABC 的面积为 ,求 a,c. 17. (13 分) 如图, 在四棱锥 S﹣ABCD 中, SD⊥底面 ABCD, AD⊥CD, BC⊥BD, ∠BAD=60°, SD=AD=AB,E 是 SB 的中点. (1)证明:BC⊥DE. (2)证明:平面 SBC⊥平面 ADE. (3)求二面角 B﹣SC﹣D 的正弦值.

18. (13 分)已知函数 (1)当 a=1 时,求函数 f(x)在 x=2 处的切线斜率及函数 f(x)的单减区间;

(2)若对于任意 x∈(0,e],都有 f(x)>0,求实数 a 的取值范围. 19. (14 分)已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O,一个短轴端点 ,短轴端点和焦

点所组成四边形为正方形, 直线 l 与 y 轴交于点 Q (0, t) , 与椭圆 C 交于相异两点 A、 B, (1)求椭圆的方程; (2)求 t 的取值范围. 20. (14 分)已知数列{an},a1=1, (1)证明{an+1}是等比数列. (2)若 ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. .

(3)证明



天津市七校联考 2015 届高考数学模拟试卷(文科) (4 月 份)
参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分) 1. (5 分)设虚数单位为 i,复数 A.﹣1﹣2i B.﹣1+2i 为() C.1+2i D.1﹣2i

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则即可得出. 解答: 解:复数 = =﹣2i﹣1,

故选:A. 点评: 本题考查了复数的运算法则,属于基础题.

2. (5 分)设变量 x、y,满足约束条件

,则目标函数 Z=2x﹣3y 的最小值为()

A.﹣2

B . ﹣3

C . ﹣4

D.﹣5

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解, 联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案.

解答: 解:由约束条件

作出可行域如图,

化目标函数 z=2x﹣3y 为 由图可知,当直线

, 过 A(0,1)时直线在 y 轴上的截距最大,

z 有最小值为 2×0﹣3=﹣3. 故选:B. 点评: 本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题. 3. (5 分)阅读下面程序框图运行相应的程序,若输入 x 的值为﹣8,则输出 y 的值为()

A.0

B. 1

C.

D.

考点: 程序框图. 专题: 图表型;算法和程序框图.

分析: 模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 x 的值,当 x=4 时,满足条件|x|≤4,计 算并输出 y 的值为 .

解答: 解:模拟执行程序框图,可得 x=﹣8 不满足条件|x|≤4,x=|x﹣4|=12 不满足条件|x|≤4,x=|x﹣4|=8 不满足条件|x|≤4,x=|x﹣4|=4 满足条件|x|≤4,y= ,输出 y 的值为 .

故选:D. 点评: 本题主要考查了循环结构的程序框图,搞清程序框图的算法功能是解决本题的关键, 按照程序框图的顺序进行执行求解,属于基础题.

4. (5 分)方程 A.(3,4) B.(2,3)

的根所在区间为() C.(1,2) D.(0,1)

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 方程 的根所在区间即函数 f(x)=log3x﹣ 的零点所

在区间,从而由零点的判定定理求解即可. 解答: 解:令 f(x)=log3x﹣ 则 f(2)=log32﹣1<0,f(3)=1﹣ >0; 故 f(x)=log3x﹣ 即方程 的零点在(2,3)之间, 的根所在区间为(2,3) ; ,

故选 B. 点评: 本题考查了方程的根与函数的零点的关系应用,属于基础题. 5. (5 分)若集合 M={0,1,2,3,4},集合 N={x||x﹣2|<3},则下列判断正确的是() A.x?M,是 x?N 的充分必要条件 B. x?M,是 x?N 的既不充分也不必要条件 C. x?M,是 x?N 的充分不必要条件 D.x?M,是 x?N 的必要不充分条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 先求出集合 N,从两个方向来判断 x?M 是 x?N 的什么条件:先看由 x?M 能否得到 x?N,然后看 x?N 能否得到 x?M,这样即可找出正确选项.

解答: 解:解|x﹣2|<3 得,﹣1<x<5; ∴N=(﹣1,5) ; ∴若 x?M,不一定得到 x?N,比如 x=0.5; 而 x?N 一定得到 x?M; ∴x?M 是 x?N 的必要不充分条件. 故选 D. 点评: 考查解绝对值不等式,列举法和描述法表示集合,元素与集合的关系,以及充分条 件、必要条件、必要不充分条件的概念.

6. (5 分)已知双曲线
2

的一条渐近线与

平行,且它

的一个焦点在抛物线 x =24y 的准线上,则双曲线的方程为() A. B.

C.

D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出抛物线的准线方程,可得双曲线的焦点,即有 c=6,再由渐近线方程可得 a,b 的方程,解出 a,b,进而得到双曲线的方程. 解答: 解:由题意可得,抛物线 x =24y 的准线为 y=﹣6, 双曲线的一个焦点为(0,﹣6) ,即有 c=6, 又双曲线
2 2 2 2 2 2

的一条渐近线与

平行,



,36=a +b =4b ,b =9,a =27,

则所求双曲线的方程为



故选:D. 点评: 本题考查抛物线和双曲线的方程和性质,考查渐近线方程的运用,考查运算能力, 属于中档题.

7. (5 分)已知

的最小正周期为 π,将 y=f(x)

的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标不变;再把所得的图象向右平移|φ|个单 位长度,所得的图象关于原点对称,则 φ 的一个值是()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件利用函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数、余弦函数的图象的对 称性,求得|φ|=﹣ ﹣ ,k∈z,从而得出结论. 的最小正周期为 ) . )

解答: 解:根据已知 =π,求得 ω=1,∴f(x)=cos(2x+

将 y=f (x) 的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的 倍, 纵坐标不变, 可得函数 y=cos (4x+ 的图象; 再把所得的图象向右平移|φ|个单位长度,可得函数 y=cos[4(x﹣|φ|)+ 的图象. 结合所得的图象关于原点对称,可得 则 φ 的一个值是 , ﹣4|φ|=kπ+ ,即|φ|=﹣ ﹣ ,k∈z, ]=cos(4x+

﹣4|φ|)

故选:A. 点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数、余弦函数的图象的 对称性,属于基础题. 8. (5 分)在△ ABC 中,O 为中线 BD 上的一个动点,若 BD=6,则 值是() A.0

的最小

B . ﹣9

C.﹣18

D.﹣24

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: O 在中线 BD 上,从而分 O 和 B 或 D 重合,O 在 B 与 D 之间两种情况进行求解:而 对于第一种情况容易求出 法则即可得到 从而根据基本不等式即可得到 小值. 解答: 解:如图, = ,对于第二种情况,根据向量加法的平行四边形 , 而 , 且 , 从而便可求出 , 的最

(1)当 O 和 B 或 D 重合时,显然 (2)当 O 在 B,D 之间时, 而 ∴ ∴ ∴ ,当且仅当 的最小值为﹣18. ,且 ; ,即 O 为中线 BD 中点时取“=”; ; = ;



故选 C. 点评: 考查向量加法的平行四边形法则,数量积的计算公式,基本不等式,注意应用基本 不等式所具备的条件. 二、填空题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分) 9. (5 分)已知命题 p:?x0>2 使得(x0﹣2)ln(x0﹣1)>0,则 p:?x>2 都有(x﹣2)ln (x﹣1)≤0. 考点: 命题的否定. 专题: 简易逻辑. 分析: 直接利用特称命题的是全称命题写出结果即可. 解答: 解:因为特称命题的否定是全称命题,所以,命题 p:?x0>2 使得(x0﹣2)ln(x0 ? ﹣1)>0,则 p:?x>2 都有(x﹣2)ln(x﹣1)≤0. 故答案为:?x>2 都有(x﹣2)ln(x﹣1)≤0. 点评: 本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系. 10. (5 分)若数列{an}是首项为 a1=3,公比 q≠﹣1 的等比数列,Sn 是其前 n 项和,且 a5 是 4a1 与﹣2a3 的等差中项,则 S19=57. 考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由已知易得 q 的方程,解方程由求和公式可得. 解答: 解:由题意可得 2a5=4a1﹣2a3, 4 2 2 2 2 ∴6q =12﹣6q ,即(q ) +q ﹣2=0, 2 解得 q =1, ∵公比 q≠﹣1,∴q=1, ∴S19=19a1=57,
?

故答案为:57. 点评: 本题考查等比数列的前 n 项和,求出数列的公比是解决问题的关键,属基础题. 11. (5 分)一个几何体的三视图(单位:m) ,则该几何体的体积为 44m .
3

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 画出几何体的直观图,利用三视图的数据求解几何体是体积即可. 解答: 解:由题意可知几何体的直观图如图: 几何体是五棱柱, 可得几何体的体积为: 故答案为:44. =44(m ) .
3

点评: 本题考查几何体的三视图,直观图的画法,几何体的体积的求法,考查空间想象能 力以及计算能力. 12. (5 分)如图,已知 MA 为⊙O 的切线,A 为切点,△ ABC 是⊙O 的内接三角形,MB 交 AC 于 D,交⊙O 于 E,若 MA=MD,∠ABC=60°,ME=1,MB=9,则 DC=4.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 选作题;推理和证明.

分析: 利用切割线定理结合题中所给数据,得 MA=3,由弦切角定理结合有一个角为 60°的 等腰三角形是正三角形,得到 AD=MD=MA=3,最后由相交弦定理可得 BD?DE=AD?CD,从 而求出 CD 的长. 解答: 解:∵MA 是圆 O 的切线, 2 ∴MA =ME?MB=9,可得 MA=3, ∵∠MAC 是弦切角,夹弧 AEC, ∴∠MAC=∠ABC=60°, ∵△MAD 中,MA=MD, ∴△MAD 是正三角形,可得 AD=MD=MA=3, ∴BD=MB﹣MD=6,ME=MD﹣ED=2, ∵圆 O 中,弦 AC、BE 相交于 D, ∴BD?DE=AD?CD,可得 6×2=3CD, ∴CD=4, 故答案为:4. 点评: 本题在圆中给出切线,并且以切线长为一边作正三角形的情况下,求线段的长度.着 重考查了切线的性质、正三角形的判定和相交弦定理等知识,属于中档题.

13. (5 分)过点(2,0)引直线 l 与曲线 △ AOB 面积取得最大值时,直线 l 斜率为 .

相交于 A、B 两点,O 为坐标原点,当

考点: 直线的斜率. 专题: 直线与圆. 分析: 由题意画出图形,求出使△ AOB 面积取得最大值时原点到直线 l 的距离,再由点到 直线的距离公式求得直线 l 斜率. 解答: 解:如图,

∵ 当

= 时,S△ AOB 面积最大.



此时 O 到 AB 的距离 d=1. 设 AB 方程为 y=k(x﹣2) (k<0) , 即 kx﹣y﹣2k=0.



,解得 k=﹣



故答案为:



点评: 本题考查了直线的斜率,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.

14. (5 分)若函数

有且只有 2 个不同零点,则实数 k 的取值范

围是 k≥0. 考点: 函数的零点. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 易知 1,0 是函数 f(x)的零点;从而可得 y= 解答: 解:当 x>0 时,f(1)=0; 故 1 是函数 f(x)的零点; 故当 x≤0 时, f(x)= +kx 有且只有 1 个零点,
2

+kx 没有零点;从而解得.

而 f(0)=0; 故 y= 若 则 k=﹣ 故 y= +kx 没有零点; +kx=0, (x<0) <0; +kx 没有零点时,

k≥0. 故答案为:k≥0. 点评: 本题考查了分段函数与函数的零点的综合应用,属于中档题. 三、解答题: (15-18 题各 13 分,19、20 各 14 分,共 80 分) 15. (13 分)某公司有一批专业技术人员,对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调 查,其结果(人数分布)如表: 学历 35 岁以下 35~50 岁 50 岁以上 本科 80 30 20 研究生 x 20 y (Ⅰ)用分层抽样的方法在 35~50 岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为 10 的样本, 将该样本看成一个总体,从中任取 3 人,求至少有 1 人的学历为研究生的概率;

(Ⅱ)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取 N 个人,其中 35 岁以 下 48 人,50 岁以上 10 人,再从这 N 个人中随机抽取出 1 人,此人的年龄为 50 岁以上的概率 为 ,求 x、y 的值.

考点: 古典概型及其概率计算公式;分层抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ) 设抽取学历为本科的人数为 m,由题意可得 ,由此解得 m=6,可得

抽取了学历为研究生 4 人,学历为本科 6 人,故从中任取 3 人,至少有 1 人的教育程度为研 究生的概率为 .

(Ⅱ)依题意得:

,解得 N 的值,可得 35~50 岁中被抽取的人数,再根据分层抽样

的定义和性质列出比例式,求得、xy 的值. 解答: (Ⅰ) 解:设抽取学历为本科的人数为 m,由题意可得 ,解得 m=6.

∴抽取了学历为研究生 4 人,学历为本科 6 人,∴从中任取 3 人,至少有 1 人的教育程度为 研究生的概率为 = .

(Ⅱ)解:依题意得:

,解得 N=78.

∴35~50 岁中被抽取的人数为 78﹣48﹣10=20. ∴ ,解得 x=40,y=5.

点评: 本题主要考查古典概型及其概率计算公式的应用,分层抽样的定义和方法,属于基 础题. 16. (13 分)已知 a,b,c 分别为△ ABC 三个内角 A,B,C 的对边, (1)求角 B. (2)若 b=2,△ ABC 的面积为 ,求 a,c. 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: (1)由正弦定理化简已知等式得: 范围,可得 ,由 B 的范围可求得: ,结合 A 的 ,从而可求 B 的

大小. 2 2 (2)由(1)及三角形面积公式可得 ac=4,结合余弦定理求得 a +c =82,联立即可解得 a,c 的值. 解答: (本小题满分 13 分)

解: (1)由 分) ∵0<A<π, ∴sinA>0, ∴ 即 又∵0<B<π, ∴ ∴ (2)∵ , (7 分) , , , (3 分) , (5 分)

及正弦定理得:

, (2

∵ac=4, (19 分) 2 2 2 2 2 又∵b =a +c ﹣2accosB,即 a +c =82, (11 分) 由 12 联立解得:a=c=2. (13 分) 点评: 本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形面积公式,两角和与差的正弦函数公 式等知识的应用,属于基本知识的考查. 17. (13 分) 如图, 在四棱锥 S﹣ABCD 中, SD⊥底面 ABCD, AD⊥CD, BC⊥BD, ∠BAD=60°, SD=AD=AB,E 是 SB 的中点. (1)证明:BC⊥DE. (2)证明:平面 SBC⊥平面 ADE. (3)求二面角 B﹣SC﹣D 的正弦值.

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的性质;平面与平面垂直的判定. 专题: 空间角. 分析: (1) 由线面垂直的性质得到 BC⊥SD, 再由已知 BC⊥BD, 利用线面垂直的判断 BC⊥ 面 SBD,进一步得到 BC⊥DE; (2)由已知可得△ ABD 为等边三角形,则 SD=BD,再由 E 为 SB 的中点,得到 DE⊥SB,结 合已知利用线面垂直的判定得,DE⊥平面 SBC,再由面面垂直的判断得答案; (3)在图中作出二面角 B﹣SC﹣D 的平面角,然后通过解三角形求得边长,再解直角三角形 求得二面角 B﹣SC﹣D 的正弦值. 解答: (1)证明:如图, ∵SD⊥平面 ABCD,BC?平面 ABCD,∴BC⊥SD, 又∵BC⊥BD,SD∩BD=D,∴BC⊥面 SBD, ∵DE?面 SBD,∴BC⊥DE;

(2)证明:∵SD=AD=AB,∠ABD=60°,∴△ABD 为等边三角形,则 SD=BD, 又 E 为 SB 的中点,∴DE⊥SB, 又∵BC⊥DE,SB∩BC=B,∴DE⊥平面 SBC, 又 DE?平面 SBD,∴平面 SBC⊥平面 ADE; (3)解:过 E 作 EF⊥SC 于 F,连 DF,∴DF⊥SC,则∠DEF 为二面角 B﹣SC﹣D 的平面角; 在 Rt△ SDB 中,设 SD=a,由(2)中证得的 SD=BD,可得 BD=a, ∴ ∴ ∴ , , ,





则 ∴二面角 B﹣SC﹣D 的正弦值为 .



点评: 本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系,二面角的概念、求法等知 识,以及空间想象能力和逻辑推理能力,是中档题.

18. (13 分)已知函数 (1)当 a=1 时,求函数 f(x)在 x=2 处的切线斜率及函数 f(x)的单减区间; (2)若对于任意 x∈(0,e],都有 f(x)>0,求实数 a 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)化简函数的解析式,求出函数的导数,求出函数 f(x)在 x=2 处的切线斜率, 利用导函数小于 0,求出单调减区间.

(2)通过导函数为 0,判断函数的单调性,结合对任意 x∈(0,e]都有 f(x)>0 等价于 f(x) 在(0,e]上的最小值>0,1 当 a<0 时, ,分别求解函数的最小值,推出结果即可.

解答: 解: (1)

当 a=1 时,

(1 分)

(2 分)

由 f′(x)<0,解得:0<x<1 所以,f(x)的单减区间为: (0,1) (4 分) (2)

令 f′(x)=0,求得:

(5 分)

若对任意 x∈(0,e]都有 f(x)>0 等价于 f(x)在(0,e]上的最小值>0(6 分) ①当 ,即 a<0 时,f′(x)<0 在 x∈(0,e]上恒成立, , ,只需 ,又 a<0

∴f(x)在(0,e]单调递减,∴ ∴ ②当 (i)若 (8 分) ,即 a>0 时, ,即

,则 f′(x)≤0 在 x∈(0,e]上恒成立, ,∴ (10 分)

∴f(x)在(0,e]单调递减,∴ (ii)若 x f(x) f′(x) ∴ 综上:a 的取值范围为: ﹣ 单减 0 极小值 + 单增 ,∴ (13 分) ,及

(12 分)

点评: 本题考查函数的导数的综合应用,函数的单调性以及曲线的斜率,函数的最小值, 考查分析问题解决问题的能力. 19. (14 分)已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O,一个短轴端点 ,短轴端点和焦

点所组成四边形为正方形, 直线 l 与 y 轴交于点 Q (0, t) , 与椭圆 C 交于相异两点 A、 B,

(1)求椭圆的方程; (2)求 t 的取值范围. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)判断椭圆的焦点在 y 轴上,设椭圆的方程,求出几何量,然后求解椭圆方程. (2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,设直线方程为:y=kx+t,联立方程组,通过韦达定理,结 合向量关系,即可求解 t 的范围. 解答: (本小题满分 14 分) 解: (1)由题意可知椭圆的焦点在 y 轴上 设椭圆的方程为: 由题意知: 所以,椭圆方程为: ,又 a =b +c =2b =4,∴a=2(3 分) (4 分)
2 2 2 2

(2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由题意知,直线 l 的斜率存在 设直线方程为:y=kx+t

则(2+k )x +2tkx+t ﹣4=0,△ =(2tk) ﹣4(2+k ) (t ﹣4)>0

2

2

2

2

2

2

(6 分)

又由

,即(﹣x1,t﹣y1)=2(x2,y2﹣t) ,得﹣x1=2x2∴ (8 分)
2 2 2



可得:

,整理得: (9t ﹣4)k =8﹣2t

又∵9t ﹣4=0 时不符合题意,∴ ,此时△ >0(11 分) 或

2

(10 分)

解得: 解得;

所以,t 的取值范围为:

(14 分)

点评: 本题考查椭圆的方程的求法,椭圆的综合应用,韦达定理以及转化思想的应用.

20. (14 分)已知数列{an},a1=1, (1)证明{an+1}是等比数列. (2)若 ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.



(3)证明



考点: 数列的求和;数列与不等式的综合. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由 列的定义即可证明; (2)由 ,可得 ,bn= ,利用 “裂项求和”即可得出; ,利用“累加求和”即可证明不等式的右边成立; .可得:an+1=2(an﹣1+1) ,利用等比数

(3)由



= 明不等式的左边边成立. 解答: (1)证明:由

, (k∈N ) , 利用“累加求和”即可证

*



可得:an+1=2(an﹣1+1) ,当 n≥2 时, ∴{an+1}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列. (2)解: ∴ , ,

,a1+1=2,

, = ;

(3)证明:∵







又∵

=

, (k∈N )

*



=



综上:



点评: 本题考查了递推式的应用、等比数列的定义及其通项公式、“裂项求和”方法、“放缩 法”、不等式的性质,考查了变形能力、推理能力与计算能力,属于难题.


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