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上海市奉贤区2015届高三上学期期末考试(一模)数学试题及答案


2014 年奉贤区调研测试高三数学试卷
时间 120 分钟 ,分值 150 分 2015、1、8

一、填空题(每空正确 3 分,满分 36 分)
1.已知全集 U ? R ,集合 P ? {x | x ? 2 ? 1} ,则 P ? .

2.某工厂生产 A 、 B 、 C 三种不同型号的产品,产品数量之比依次为 2

: 3 : 5 ,现用分层抽样的方 法抽出一个容量为 n 的样本,其中 A 种型号产品有 16 件,那么此样本的容量 n ? 3.设 ? : 1 ? x ? 4 , ? : x ? m ,若 ? 是 ? 的充分条件,则实数 m 的取值范围是 4.若双曲线 x ?
2

. .

y2 ? 1 的一个焦点是 (3, 0) ,则实数 k ? k

. . .

5.已知圆 C : x2 ? y 2 ? r 2 与直线 3x ? 4 y ? 10 ? 0 相切,则圆 C 的半径 r ? 6.若 1 ? i 是实系数一元二次方程 x 2 ? px ? q ? 0 的一个根,则 p ? q ?

7.盒子里装有大小质量完全相同且分别标有数字 1 、 2 、 3 、 4 的四个小球,从盒子里随机摸出两个 小球,那么事件“摸出的小球上标有的数字之和为 5 ”的概率是 8.函数 y ? sin x, x ? ?? .

? ? ?? , 的反函数为 ? 2 2? ?

.

9.在 ?ABC 中,已知 AB ? 4, AC ? 1 ,且 ?ABC 的面积 S ? 3 ,则 10.已知 ? ?

AB ? AC 的值为
.

.

? sin ? ? 0

0 ? ?? ? ? 为单位矩阵,且 ?、? ? ? , ? ? ,则 tan(? ? ? ) ? ? ?2 ? ? 2 cos ? ?

11.如图,在矩形 ABCD 中, E 为边 AD 的中点, AB ? 1 , BC ? 2 ,分别

A 、D 为圆心, 1 为半径作圆弧 EB 、EC( E 在线段 AD 上) .由两圆弧 EB 、
及边 BC 所围成的平面图形绕直线 AD 旋转一周,则所形成的几何体的体积 为 .

D E A



C

EC

? 3 4?8 x? ? ? 2 12.定义函数 f ( x) ? ? ? 1 f ( x) ? ? 2 2
间? 1,8? 内的所有零点的和为

1? x ? 2
,则函数 g ( x) ? xf ( x) ? 6 在

B


x?2
.

二、单项选择题(每题正确 3 分,满分 36 分)
13.正方体中两条面对角线的位置关系是 A.平行 C.相交 14.下列命题中正确的是 ( B.异面 D.平行、相交、异面都有可能 ( )



A.任意两复数均不能比较大小 C.复数 z 是纯虚数的充要条件是 Imz ? 0 15.与函数 y ? x 有相同图像的一个函数是 A. y ? C. y ?

B.复数 z 是实数的充要条件是 z ? z D. i ? 1 的共轭复数是 i ? 1 ( B. y ? a
loga x



x
x2 x
B. y ? 2
x

(a ? 0且a ? 1)
x

D. y ? loga a (a ? 0且a ? 1) ( C. y ? sin x ) D. y ? tan x

16.下列函数是在 (0,1) 上为减函数的是 A. y ? cos x

? 17.在空间中,设 m 、 n 是不同的直线, ? 、 ? 是不同的平面,且 m ? ? ? , n ? ? ,则下列命题正
确的是 A.若 m // n ,则 ? // ? C.若 m 、 n 相交,则 ? 、 ? 相交
3

( ) B.若 m 、 n 异面,则 ? 、 ? 平行 D.若 m ? n ,则 ? ? ? ) C. P3 (? a , b) D. P4 ( a ,?b)

18.设 P (a, b) 是函数 f ( x) ? x 图像上任意一点,则下列各点中一定 在该图像上的是 ( .. A. P 1 (a,?b) 19. 设椭圆
2

B. P2 (?a,?b)

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点分别为 F 上顶点为 B , 若B F 2 ?FF ? 2, 1 、F2 , 1 2 a2 b2

2 2

则该椭圆的方程为
2



x y x x x2 2 2 ? y ?1 ? y ?1 ? y2 ? 1 ? ?1 A. B. C. D. 3 2 4 4 3 6 20.在二项式 ?2 x ? 1? 的展开式中,系数最大项的系数是 ( ) A. 20 B. 160 C. 240 D. 192 * 21.已知数列 {an } 的首项 a1 ? 1 , an?1 ? 3Sn (n ? N ) ,则下列结论正确的是 ( ) A.数列是 {an } 等比数列 B.数列 a2,a3, ???,an 是等比数列
C.数列是 {an } 等差数列
2 2 2

D.数列 a2,a3, ???,an 是等差数列 ( )

22.在 ?ABC 中, sin A ? sin B ? sin C ? sinBsinC ,则角 A 的取值范围是 A. ? 0, ? 6

?? ? ? ?? ?? ? C. ? 0, ? D. ? , ? ? ,? ? ? ?6 ? ? 3? ?3 ? ? 23. 对于使 f ( x) ? M 成立的所有常数 M 中, 我们把 M 的最小值叫做 f ( x ) 的上确界, 若 a 、b ? R 1 2 ? 的上确界为 且 a ? b ? 1 ,则 ? ( ) 2a b 9 9 1 A. ? B. C. D. ?4 2 2 4 x y 24.定义两个实数间的一种新运算“ ? ”: x * y ? lg(10 ? 10 ) , x 、 y ? R 。对于任意实数 a 、b 、 给出如下结论: ① a ?b ? b ? a ; ② (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) ; ③ (a ? b) ? c ? (a ? c) ? (b ? c) . 其 c, ? ?

??

B. ?

中正确结论的个数是 A. 0 个 B. 1 个

( ) C. 2 个

D. 3 个

三、解答题(7+7+8+13+13+14+16=78 分)(写出必要的解题步骤)

25.判断函数 f ( x) ? lg

1? x 的奇偶性. 1? x
P

26.如图,四棱锥 P ? ABCD 的侧棱都相等,底面 ABCD 是正 方形,O 为对角线 AC 、 BD 的交点,PO ? OA ,求直线 PA 与 面 ABCD 所成的角的大小.

D

C
O
B

A

27 .已知函数 f ( x) ? 3 cos x ? sin x ? cos x ?
2

3 ,求 f ( x ) 的最小正周期,并求 f ( x ) 在区间 2

? ? ?? ? , 上的最大值和最小值. ? ? 6 4? ?

28.为了加强环保建设,提高社会效益和经济效益,某市计划用若干年时间更换一万辆燃油型公交 车。每更换一辆新车,则淘汰一辆旧车,更换的新车为电力型车和混合动力型车。今年初投入了电 力型公交车 128 辆, 混合动力型公交车 400 辆, 计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加 50% , 混合动力型车每年比上一年多投入 a 辆.设 an 、 bn 分别为第 n 年投入的电力型公交车、混合动力型 公交车的数量,设 Sn 、 Tn 分别为 n 年里投入的电力型公交车、混合动力型公交车的总数量。 (1)求 S n 、 Tn ,并求 n 年里投入的所有新公交车的总数 Fn ; (2)该市计划用 7 年的时间完成全部更换,求 a 的最小值.

29.曲线 C 是平面内到直线 l1 : x ? ?1 和直线 l2 : y ? 1 的距离之积等于常数 k 2 (k ? 0) 的点的轨迹, 设曲线 C 的轨迹方程 f ( x, y) ? 0 . (1)求曲线 C 的方程 f ( x, y) ? 0 ; (2)定义:若存在圆 M 使得曲线 f ( x, y) ? 0 上的每一点都落在圆 M 外或圆 M 上,则称圆 M 为曲 线 f ( x, y) ? 0 的收敛圆.判断曲线 f ( x, y) ? 0 是否存在收敛圆?若存在,求出收敛圆方程;若不存 在,请说明理由.

30.对于正项数列 {an } ,若 命题.

an ?1 ? q 对一切 n ? N * 恒成立,则 an ? a1 ? qn?1 对 n ? N * 也恒成立是真 an an?1 1 ? (3c) n 1 ; ? 3c(c ? , c ? 1) ,求证:数列 {an } 前 n 项和 Sn ? 1 ? 3c an 3

(1)若 a1 ? 1 , an ? 0 ,且 (2)若 x1 ? 4 , xn ?

2 2 2 xn?1 ? 3(n ? 2, n ? N * ) ,求证: 3 ? ( ) n ?1 ? xn ? 3 ? ( ) n ?1 . 3 3

31 .设 f ( x ) 是定义在 D 上的函数,若对任何实数 ? ? (0,1) 以及 D 中的任意两数 x1 、 x2 ,恒有

f ?? x1 ? (1 ? ? ) x2 ? ? ? f ( x1 ) ? (1?? ) f (x2 ),则称 f ( x) 为定义在 D 上的 C 函数.
(1)证明函数 f1 ( x) ? x2 是定义域上的 C 函数;

1 ( x ? 0) 是否为定义域上的 C 函数,请说明理由; x (3)若 f ( x ) 是定义域为 R 的函数,且最小正周期为 T ,试证明 f ( x ) 不是 R 上的 C 函数.
(2)判断函数 f 2 ( x) ?

2015 年 1 月奉贤区高三数学调研测试参考解答 一、填空题(每题 3 分)
1. ?? ?,1? ? ?3,??? 5. 2 9. ?2 2. 80 6. 0 10. 1 3. m ? 4 7. 11. 4. 8 8. y ? arcsin x, x ? ?? 1,1? 12.

1 3 2? 3

21 2

二、单项选择题(每题 3 分)
13.D 19.A 14.B 20.C 15.D 21.B 16.A 22.C 17.C 23.A 18.B 24.D

三、解答题(7+7+8+13+13+14+16=78 分)
25.?

1? x ?0, 1? x

1分 2分 3分 4分
?1

所以函数 f ( x ) 的定义域是 (?1,1) , 定义域关于原点对称,

f (? x) ? lg

1 ? ( ? x) 1 ? ( ? x)

1? x 1 ? x ? 1? x? ,) ?lg ? l? g ? ?? lg ??f x ( 1? x 1 ?x ? 1? x ?
而 f ( ) ? lg , f (? ) ? lg 3 ,? f ( ) ? f ( ? ) , 所以 f ( x ) 是奇函数不是偶函数。

5分 6分 7分

1 2

1 3

1 2

1 2

1 2

26.

ABCD 为正方形,? O 为 AC 、 BD 的中点,


PA ? PC, PB ? PD,? PO ? AC, PO ? BD ,

2分

因为 AC 与 BD 交于一点 O ,

? PO ? 平面 ABCD , ? ?P A O 为直线 PA 与平面 ABCD 所成的角,
在 Rt ?PAO中,PA ? PO

4分 5分 6分 7分

??PAO ? 45? ,

所以直线 PA 与平面 ABCD 所成的角为 45 ? .

27.解: f ?x ? ?

3 cos2 x ? sin x ? cos x ?

3 2
2分 4分 5分

3(cos 2 x ? 1) 1 3 ? sin 2 x ? 2 2 2 ? ? sin(2 x ? ) ? 3 , 3 ?
?T ?
因为 ?

2? ?? 2

?
6

?x? ?

?
4

,所以 0 ? 2 x ?

?

5 ? ?, 3 6

6分 7分 8分

当 2x ? 当 2x ?

?
3

?
2

时,即 x ?

?
12

时, f ( x ) 的最大值为 1 ? 3 , 时, f ( x ) 的最小值为 3 .

?
3

? 0 时,即 x ? ?

?
6

28. (1)设 an 、 bn 分别为第 n 年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量, 依题意知,数列 {an } 是首项为 128 、公比为 1 ? 50% ? 数列 {bn } 是首项为 400 、公差为 a 的等差数列,

3 的等比数列; 2

1分 2分

3 128[1 ? ( ) n ] 2 ? 256[( 3 )n ? 1] , 所以数列 {an } 的前 n 和 Sn ? 3 2 1? 2 n(n ? 1) a, 数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ? 400n ? 2 所以经过 n 年,该市更换的公交车总数
3 n(n ? 1) Fn ? Sn ? Tn ? 256[( ) n ? 1] ? 400n ? a; 2 2
(2)因为 256[( ) ? 1] 、 400n ?
n

4分

6分

7分

3 2

n(n ? 1) a(a ? 0) 是关于 n 的单调递增函数, 9 分 2
10 分 11 分 12 分 13 分

因此 Fn 是关于 n 的单调递增函数, 所以满足 a 的最小值应该是 F7 ? 10000 , 即 256[( ) ? 1] ? 400 ? 7 ?
7

3 2

7?6 3082 a ? 10000 ,解得 a ? , 2 21

又 a ? N ,所以 a 的最小值为 147.
*

29. (1)设动点为 ( x, y ) ,则由条件可知轨迹方程是 x ?1 ? y ?1 ? k 2 ; (2)设 P 为曲线 C 上任意一点,可以证明 则点 P 关于直线 x ? ?1 、点 (?1,1) 及直线 y ? 1 对称的点仍在曲线 C 上 根据曲线 C 的对称性和圆的对称性,若存在收敛圆, 则该收敛圆的方程是 ( x ? 1)2 ? ( y ?1)2 ? r 2 (r ? 0) 讨论: x ? ?1, y ? 1 时 ?
2 ? (1) ?( x ? 1)( y ? 1) ? k 最多一个有一个交点 r 满足条件 2 2 2 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? r (2) ? ?

3分

6分

7分 8分

(1)代入(2)得 r 2 ? ( x ? 1) 2 ? 曲线 f ( x, y) ? 0 存在收敛圆

k4 ? 2k 2 2 ( x ? 1)

10 分 11 分 13 分

收敛圆的方程是 ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? r 2 (0 ? r ? 2k )

30. (1)?

an?1 n ?1 ? 3c,? an ? a1 ? ?3c ? , an
an ? ? 3c ?
n ?1

2分 4分

? a2 ? 3c, a3 ? 9c 2 , S n ? a1 ? a2 ?
n


n ?1

? an ? 1 ? 3c ? 9c 2 ? ? 3c ?



6分 7分

1 ? ? 3c ? ; ? Sn ? 1 ? 3c
(2) x n ? 3 ?

2 xn?1 ? 3 ? 3 ?
2 xn ?1 ? 3 , 3
n ?1

?

2 xn?1 ? 3 ? 3

??

2 xn?1 ? 3 ? 3

2 xn?1 ? 3 ? 3

??

2 xn?1 ? 3 2 xn ?1 ? 3 ? 3

, 10 分

? xn ? 3 ?

11 分

? 2? ? xn ? 3 ? x1 ? 3 ? ? ? ? 3? ?2? ? xn ? 3 ? ? ? ?3? ? 2? ?3 ? ? ? ? 3?
n ?1 n ?1



12 分

13 分
n ?1

? 2? ? xn ? 3 ? ? ? ? 3?



14 分

31. (1)证明如下: 对任意实数 x1 , x2 及 ? ? ? 0,1? , 有 f ?? x1 ? ?1? ? ? x2 ? ? ? f ? x1 ? ? ?1? ? ? f ? x2 ? ? ?? x1 ? ?1 ? ? ? x2 ? ? ? x12 ? ?1 ? ? ? x2 2
2

2分

? ?? ?1? ? ? x12 ? ? ?1? ? ? x22 ? 2? ?1? ? ? x1x2 ? ?? ?1 ? ? ?? x1 ? x2 ? ? 0 , 4 分
2

即f

?? x ? ?1?? ? x ? ? ? f ? x ? ? ?1?? ? f ? x ? ,
1 2 1 2

5分 6分 7分

∴ f1 ? x ? ? x2 是 C 函数; (2) f 2 ? x ? ?

1 ? x ? 0 ? 不是 C 函数, x 1 , 2
1 2

说明如下(举反例): 取 x1 ? ?3 , x2 ? ?1 , ? ? 则f
1 2

?? x ? ?1?? ? x ? ?? f ? x ? ? ?1?? ? f ? x ?
? f ? ?2 ? ?
即f
1

1 1 1 1 1 f ? ?3? ? f ? ?1? ? ? ? ? ? 0 , 2 2 2 6 2
2 1 2

?? x ? ?1?? ? x ? ? ? f ? x ? ? ?1?? ? f ? x ? ,
1 ? x ? 0 ? 不是 C 函数; x
10 分 11 分

∴ f2 ? x ? ?

(3)假设 f ? x ? 是 R 上的 C 函数, 若存在 m ? n 且 m, n ??0, T ? ,使得 f ? m? ? f ? n ? 。 (i)若 f ? m? ? f ? n ? , 记 x1 ? m , x2 ? m ? T , ? ? 1 ? 那么 f ? n? ? f
1 2

n?m ,则 0 ? ? ? 1 ,且 n ? ? x1 ? ?1 ? ? ? x2 , T
1 2

?? x ? ?1?? ? x ? ? ? f ? x ? ? ?1?? ? f ? x ?
13 分

? ? f ? m? ? ?1? ? ? f ? m ? T ? ? f ? m? ,
这与 f ? m ? ? f ? n ? 矛盾; (ii)若 f ? m? ? f ? n ? , 记 x1 ? n , x2 ? n ? T , ? ? 1 ? ∴ f ? x ? 在 ?0, T ? 上是常数函数,

n?m ,同理也可得到矛盾; T

14 分 15 分

又因为 f ? x ? 是周期为 T 的函数, 所以 f ? x ? 在 R 上是常数函数,这与 f ? x ? 的最小正周期为 T 矛盾. 所以 f ? x ? 不是 R 上的 C 函数。 16 分


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