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竞赛辅导1——数列的递推公式


高一竞赛

学科:数学

编号: 1

编制人: 杨宁平

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评价

高考数列的数列十大构造方法
知识梳理:常见辅助数列法 (1) a1 ? A, an ? an?1 ? f (n)

? 2) ,一阶差分形式,用累加求和求通项。 (n (2) a1 ? A, an ? f (n)an(n ? 2) ,用累乘求积求通项。 ?1 (3)线性递推关系 a1 ? A, an+1 ? pan ? q( p ? 1, p ? 0, q ? 0) 两边同加
q 构造等比数列。 p -1

(4) a1 ? A, an ? pan?1 ? pn ( p ? 1, p ? 0,) ? 2) 两边同除 p n 构造等差数列 (n (5) a1 ? A, an ?
an ?1 , q ? 0 ,取倒数的方法转化为等差数列。 1 ? qan ?1 an?1 ,取倒数转化为(3)题型 , q ? 0, p ? (n ? 2) q p ? qan?1

(6) a1 ? A, an ?

(7) a1 ? A, an ? 0, an?1 ? an m ,取对数转化为等比数列 (8)待定系数法, a1 ? A, an?1 ? pan ? g (n)( p ? 1, p ? 0,) 假 设 与 g (n) 与 f (n) 为 相 同 的 函 数 类 型 , 构 造 an?1 ? f (n ? 1) ? p(an ? f (n)) , 并 且 用
pf (n) ? f (n ? 1) ? g (n) 待定 f (n) 中的系数。

(9) a1 ? A, an +1 ?

p? ? q pan ? q , 可得特征根 ?1,?2 ,则递推 , q ? 0, p ? q 若求特征方程 ? ? r? ? h ran ? h

公式两边同减 ?1或?2 得构造 {

an ? ?1 } 是等比数列; an ? ?2 1 } 是等差数列; an ? ?1

若 ?1 ? ?2 则递推公式两边同减 ?1 的倒数 {

1

高一竞赛

学科:数学

编号: 1

编制人: 杨宁平

(10)齐次二阶线性递推,特征方程待定系数法

a1 ? A, a2 ? B, an?1 ? pan ? qan?1 ( p ? 1, p ? 0,) 求特征方程 ? 2 ? p? ? q 可得特征根 ?1,?2 ,
当 ?1 ? ?2 时, an ? c1?1n?1 ? c2?2n?1其中c1,c2是a1,a2确定 当 ?1 =?2 时, an ? (c1n+c2 )?1n?1, 其中c1,c2是a1,a2确定

巩固练习 1.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 5 ,且 an ? 2an?1 ? 2n ? 1, (n ? 2且n ? N * )求an

2. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , a2 ? 6 ,且 an?2 ? 4an +1 -4an 求 an

2

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学科:数学

编号: 1

编制人: 杨宁平

3. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a2 ? 3 ,且 an?1 ? an ? 2an?1 ? n≥2? .求 an

4. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 3 , a2 ? 6 ,且 an?2 ? 2an +1 ? 3an .

5. 已知 a1 ? 3, an +1 ?

3an ? 2 , 求数列 ?an ? 通项公式。 an ? 2

3? ? 2 , 可得特征根 ?1 =-1,?2 ? 2 , ??2 则递推公式两边同减 2或-1 得

解析:设特征方程 ? ?

an +1 ? 2 ?

3an ? 2 a ?2 3a ? 2 4a ? 4 (1) an +1 ? 1 ? n , (2) 、 ?2? n ?1 ? n an ? 2 an ? 2 an ? 2 an ? 2 an +1 ? 2 1 an ? 2 1 n a1 ? 2 1 n?1 ? ?( ) ?( ) an +1 ? 1 4 an ? 1 4 a1 ? 1 4

(1)/(2)得

所以

2 ? 4n ? 1 an ? 2 1 n , ? ( ) ,解得 an ? n 4 ?1 an ? 1 4

6. 已知数列 ?an ? , a1 ? 2, an +1 ? 2-

1 , 求数列 ?an ? 通项公式。 an

3

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学科:数学

编号: 1

编制人: 杨宁平

7. (本小题满分 12 分) 设 p, q 为实数,?,? 是方程 x2 ? px ? q ? 0 的两个实根,数列 {xn } 满足 x1 ? p , x2 ? p2 ? q ,

4, . (2)求数列 {xn } 的通项公式; xn ? pxn?1 ? qxn?2 ( n ? 3, …)(1)证明: ? ? ? ? p , ?? ? q ;
(3)若 p ? 1 , q ?

1 ,求 {xn } 的前 n 项和 Sn . 4

【解析】 (1)由求根公式,不妨设 ? ? ? ,得 ? ?

p ? p 2 ? 4q p ? p 2 ? 4q ,? ? 2 2

p ? p 2 ? 4q p ? p 2 ? 4q p ? p 2 ? 4q p ? p 2 ? 4q ?? ? ? ? ? ? p , ?? ? ? ?q 2 2 2 2
(2)设 xn ? sxn?1 ? t ( xn?1 ? sxn?2 ) ,则 xn ? (s ? t ) xn?1 ? stxn?2 ,由 xn ? pxn?1 ? qxn?2 得 ?

?s ? t ? p , ? st ? q

消去 t ,得 s 2 ? ps ? q ? 0 ,?s 是方程 x2 ? px ? q ? 0 的根,由题意可知, s1 ? ? , s2 ? ? ①当 ? ? ? 时,此时方程组 ?

? s1 ? ? ? s2 ? ? ?s ? t ? p 或? 的解记为 ? ? t1 ? ? ? t2 ? ? ? st ? q

? xn ? ? xn?1 ? ? ( xn?1 ? ? xn?2 ), xn ? ? xn?1 ? ? ( xn?1 ? ? xn?2 ),
即 ?xn ? t1xn?1? 、 ?xn ? t2 xn?1? 分别是公比为 s1 ? ? 、 s2 ? ? 的等比数列, 由等比数列性质可得 xn ? ? xn?1 ? ( x2 ? ? x1 )? n?2 , xn ? ? xn?1 ? ( x2 ? ? x1 )? n?2 , 两式相减,得 (? ? ? ) xn?1 ? ( x2 ? ? x1 )? n?2 ? ( x2 ? ? x1 )? n?2

?x2 ? p2 ? q, x1 ? p ,? x2 ? ? 2 ? ? 2 ? ?? , x1 ? ? ? ? ?( x2 ? ? x1 )? n?2 ? ? 2 ? n?2 ? ? n , ( x2 ? ? x1 )? n?2 ? ? 2 ? n?2 ? ? n ? ?

? n ?? n ? n?1 ? ? n?1 ,? xn ? ?(? ? ? ) xn?1 ? ? ? ? ,即? xn?1 ? ? ?? ? ??
n n
2 2 ②当 ? ? ? 时,即方程 x ? px ? q ? 0 有重根,? p ? 4q ? 0 ,

即 (s ? t ) ? 4st ? 0 ,得 (s ? t ) ? 0,? s ? t ,不妨设 s ? t ? ? ,由①可知
2 2

xn ? ? xn?1 ? ( x2 ? ? x1 )? n?2 ,?? ? ? ,? xn ? ? xn?1 ? ( x2 ? ? x1 )? n?2 ? ? n
即? xn ? ? xn?1 ? ? n ,等式两边同时除以 ? ,得
n

?

xn
n

?

?

xn ?1
n ?1

? 1 ,即

?

xn
n

?

? n ?1

xn ?1

?1

4

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学科:数学

编号: 1

编制人: 杨宁平

x x x 2? ? ? n ? 1 ? n ? 1 ,? xn ? n? n ? ? n ? 数列 { nn } 是以 1 为公差的等差数列, nn ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? ? ? ? ?

? ? n?1 ? ? n?1 , (? ? ? ) ? 综上所述, xn ? ? ? ? ? ? n? n ? ? n , (? ? ? ) ?
(3)把 p ? 1 , q ?

1 1 1 2 代入 x2 ? px ? q ? 0 ,得 x ? x ? ? 0 ,解得 ? ? ? ? 4 4 2

1 1 ? xn ? n ? ( ) n ? ( ) n 2 2

1 1 1 ? ? 1 1 1 1 ? ? 1 Sn ? ? ( ) ? ( )2 ? ( )3 ? ... ? ( ) n ? ? ? ( ) ? 2 ? ( ) 2 ? 3 ? ( )3 ? ... ? n ? ( ) n ? 2 2 2 ? ? 2 2 2 2 ? ? 2
1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? 1 ? 1 ? ( )n ? ? ( ) ? 2? ) 2 ? 3? )3 ? ... ? n? ) n ? ? 1 ? ( ) n ? 2 ? ( ) n ?1 ? n( ) n ? 3 ? ( n ? 3)( ) n ( ( ( 2 2 2 2 2 2 2 2 ? ? 2

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