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高中物理竞赛:几何光学


几何光学 § 1 几何光学基础 1、光的直线传播:光在同一均匀介质中沿直线传播。 2、光的独立传播:几束光在交错时互不妨碍,仍按原来各自的方向传播。 3、光的反射定律: ①反射光线、入射光线和法线在同一平面内; ②反射光线和入射光线分居法线两侧; ③反射角等于入射角。 4、光的折射定律: ①折射光线、入射光线和法线在同一平面内; ②折射光线和入射光线分居法线两侧; ③入射角 i

与折射角 i 2 满足 n1 sin i1 ? n2 sin i2 ; 1 ④当光由光密介质向光疏介质中传播, 且入射角大于临界角 C 时, 将发生全面反射现象 (折 射率为 n1 的光密介质对折射率为 n 的光疏介质的临界角 sin C ? 2

n2 ) 。 n1

1

几何光学 § 2 光的反射 2.1 组合平面镜成像 组合平面镜:由两个以上的平面镜组成的光学系统叫做组 合平面镜,射向组合平面镜的光线往往要在平面镜之间发 生多次反射,因而会出现生成复像的现象。先看一种较简 单的现象,两面互相垂直的平面镜(交于 O 点)镜间放一 点光源 S(图 1) ,S 发出的光线经过两个平面镜反射后形 成了 S 1 、 S 2 、 S 3 三个虚像。用几何的方法不难证明:这 三个虚像都位于以 O 为圆心、OS 为半径的圆上,而且 S 和 S 1 、S 和 S 2 、 S 1 和 S 3 、 S 2 和 S 3 之间都以平面镜(或 S2
图1

A S1 S

O

B

S3

它们的延长线) 保持着对称关系。 用这个方法我们可以容易地确定较复杂的情况中复像的个 数和位置。 两面平面镜 AO 和 BO 成 60?角放置(图 2) ,用上述 规律,很容易确定像的位置:①以 O 为圆心、OS 为 半径作圆;②过 S 做 AO 和 BO 的垂线与圆交于 S 1 和 S4 O S5 S2 S3
图2

S1 S

S 2 ;③过 S 1 和 S 2 作 BO 和 AO 的垂线与圆交于 S 3 和 S 4 ;④过 S 3 和 S 4 作 AO 和 BO 的垂线与圆交于 S 5 ,
S1 ~ S 5 便是 S 在两平面镜中的 5 个像。

双镜面反射。如图 3,两镜面间夹角 a =15? ,OA=10cm,A 点发出的垂直于 L2 的光线射向 L1 后在两镜间反复反射,直到光线平行于某一镜面射出,则从 A 点开始到最后一次反射点, 光线所走的路程是多少? O? L1 O α A
图3 2

C? B O α A C
图4

D

L1 L2

L2

如图 4 所示,光线经 L 第一次反射的反射线为 BC,根据平面反射的对称性, BC ? ? BC ,
1

且∠ BOC ? ? a 。上述 A, B, C ?, D? 均在同一直线上,因此光线在 L 、 L 之间的反复反射就 2 1 跟光线沿 ABC ? 直线传播等效。设 N ? 是光线第 n 次反射的入射点,且该次反射线不再射到

90 另一个镜面上,则 n 值应满足的关系是 na <90? ? (n ? 1)a , n ? ? 6 。取 n=5 , a
∠ N ?OA ? 75 0 ,总路程 AN ? ? OAtg 5?

0

? 37.3cm 。

2.2 全反射:全反射光从密度媒质 1 射向光疏媒质 2,当入射角大于临界角 a ? sin 光线发生全反射。 全反射现象有重要的实用意义, 如现代通讯的重要组成部 分——光导纤维,就是利用光的全反射现象。图 5 是光导 纤维的示意图。 AB 为其端面,纤维内芯材料的折射率 i B
图5

?1

n21 时,

A

n1 n2

γ β

n1 ? 1.3 ,外层材料的折射率 n2 ? 1.2 ,试问入射角在什
么范围内才能确保光在光导纤维内传播?

图 5 中的 r 表示光第一次折射的折射角,β 表示光第二次的入射角,只要 β 大于临界角,光 在内外两种材料的界面上发生全反射,光即可一直保持在纤维内芯里传播。

? ? sin ?1 n21 ? sin

?1

n2 1.2 ? sin ?1 ? 67.4 0 r ? ? ? ? ? 90 o ? 67.4 o ? 22.6 o n1 1.3 2

sin i / sin r ? 1.3 / 1,只要 sin i ? 0.50, i ? 30 o 即可。

3

例题讲解: 例 1、如图 6 所示,AB 表示一平直的平面镜, P P 是水平 1 2 放置的米尺(有刻度的一面朝着平面镜) ,MN 是屏,三者相 互平行,屏 MN 上的 ab 表示一条竖直的缝(即 ab 之间是透 光的) 。某人眼睛紧贴米尺上的小孔 S(其位置如图所示) , 可通过平面镜看到米尺的一部分刻度。试在本题图上用三角 板作图求出可看到的部位,并在 P P 上把这部分涂以标志。
1 2

P1

S a b

P2 N B
图6

M A

分析:本题考查平面镜成像规律及成像作图。人眼通过小孔看见的是米尺刻度的像。由反射 定律可知,米尺刻度必须经过平面镜反射后,反射光线进入人的眼睛,人才会看到米尺刻度 的像。可以通过两种方法来解这个问题。 解法一:相对于平面镜 AB 作出人眼 S 的像 S ? 。连接 Sa 并延长交平面镜于点 C,连接 S ? 与 点 C 并延长交米尺 P1 P2 于点 E,点 E 就是人眼看到的米尺刻度的最左端;连接 S ?b 并延长 交米尺 P1 P2 于点 F,且

S ?b 与平面镜交于 D,连接 S 与点 D,则点 F 就是人眼看到的米尺

刻度的最右端。E 与 F 之间的米尺刻度就是人眼可看到部分,如图 7 所示。

P1

S

E FP 2

P1

S

E FP 2

M A

a
C D

b

N

M A M?
P1 ?

a
C a?

b

N

B

D
b?

B N?
P2 ?

S?
图7

图8

解法二:根据平面镜成像的对称性,作米尺 P1 P2 及屏 MN 的像,分别是 P ? P ? 及 M ? N ? ,a、
1 2

b 的像分别为 a ?, b ? ,如图 8 所示。连接 Sa 交 AB 于点 C,延长并交 P ? P ? 于点 E ? ,过点 E ?
1 2

作P 的垂线,交于点 E,此点就是人眼看到的米尺刻度的最左端;连接 Sb? 交 AB 1P 2 ( AB) 于点 D,延长并交 P ? P ? 于点 F ? ,过点 F ? 作 P1 P2 (AB)的垂线 P1 P2 交于点 F,点 F 就是
1 2

人眼看到的米尺刻度的最右端。EF 部分就是人眼通过平面镜可看见的米尺部分。 点评:平面镜成像的特点是物与像具有对称性。在涉及到平面镜的问题中,利用这一特点常
4

能使问题得以简洁明晰的解决。

例 2、两个平面镜之间的夹角为 45? 、60? 、120? 。而物体总是放在平面镜的角等分线上。试 分别求出像的个数。 分析:由第一面镜生成的像,构成第二面镜的物,这个物由第二面镜所成的像,又成为第一 面镜的物,如此反复下去以至无穷。在特定条件下经过有限次循环,两镜所成像重合,像的 数目不再增多,就有确定的像的个数。 P3 P1 P A O θ
P
3

P
1

P3 A
P

P1 A

A
P

P5 O P7 P6 45 ?

P 120 ? O P (d2 ) B

B

P
5

O

60?

B P
4

B P P2
1

P4

(a)

P2

P (b)
2

图9

P4 (c)

解:设两平面镜 A 和 B 的夹角为 2θ,物 P 处在他们的角等分线上,如图 9(a)所示。以两 镜交线经过的 O 点为圆心,OP 为半径作一辅助圆,所有像点都在此圆周上。由平面镜 A 成 的像用 P 表示,由平面镜 B 成的像用 P2 , P4 ? 表示。由图不难得出: P 在圆弧 1, P 3? 1, P 3? 上的角位置为 (2k ? 1)? , P2 , P4 ? 在圆弧上的角位置为 2? ? (2k ? 1)? 。其中 k 的取值为 k=1,2,… 若经过 k 次反射,A 成的像与 B 成的像重合,则 (2k ? 1)? ? 2? ? (2k ? 1)? 即

k?

? 2?

当 2? ? 45 o ? 当 2? ? 60 o ?

? 时,k=4,有 7 个像,如图 9(a)所示; ? 时,k=3,有 5 个像,如图 9(b)所示;
4

3 2? 时,k=1.5,不是整数,从图 9(d)可直接看出,物 P 经镜 A 成的像在 当 2? ? 120 o ? 3
镜 B 面上,经镜 B 成的像则在镜 A 面上,所以有两个像。

例 3、要在一张照片上同时拍摄物体正面和几个不同侧面的像,可以在物体的后面放两个直 立的大平面镜 AO 和 BO,使物体和它对两个平面镜所成的像都摄入照像机,如图 10 所示。 图中带箭头的圆圈 P 代表一个人的头部(其尺寸远小于 OC 的长度) ,白色半圆代表人的脸

5

部,此人正面对着照相机的镜头;有斜线的半圆代表脑后的头发;箭头表示头顶上的帽子, 图 11 为俯视图,若两平面镜的夹角∠AOB=72? ,设人头的中心恰好位于角平分线 OC 上, 且照相机到人的距离远大于到平面镜的距离。 1、试在图 11 中标出 P 的所有像的方位示意图。 2、在方框中画出照片上得到的所有的像(分别用空白和斜线表示脸和头发,用箭头表示头 顶上的帽子) 。本题只要求画出示意图,但须力求准确。 A O B C P P C O A

图 10

图 11

解:本题的答案如图 12、13 所示。 A P B
图 13

O

图 12

例 4、五角楼是光学仪器中常用的一种元件,如图 14 所示。棱镜用玻璃制成,BC、CD 两 平面高度抛光,AB、DE 两平面高度抛光后镀银。试证明:经 BC 面入射的光线,不管其方 向如何,只要它能经历两次反射(在 AB 与 DE 面上) ,与之相应的由 CD 面出射的光线,必 与入射光线垂直。 A A B
112.5? 112.5? 112.5?

F 45?

E

B

i3 i3

112.5?

E

i2 i2
90? 112.5?

i1 D
90?

γ1 C
图 15

i4
112.5?

C

图 14

D γ4

6

解:如图 15 所示,以 i 表示入射角, i ? 表示反射角,r 表示折射角,次序则以下标注明。光 线自透明表面的 a 点入射,在棱镜内反射两次,由 CD 面的 e 点出射。可以看得出,在 DE 面的 b 点;入射角为 i ? r ? 22.5 o ,反射角为 i ? ? i ? r ? 22 .5 o 。在四边形 bEAC 中, 2 1 2 2 1

? a ? 90 o ? i2 ? 90 o ? r1 ? 22 .5 o ? 67 .5 o ? r1
而 ? ? 360 o ? 2 ? 112 .5 o ? a ? 135 0 ? (67.5 o ? r ) = 67.5 o ? r 1 1 于是, i ? ? i ? 90 o ? ? ? 22 .5 o ? r 3 3 1 在△cdb 中∠cdb=180?

? ? ? 2(r1 ? 22.5 o ) ? 2(22.5 o ? r1 ) ? 90 0 ? (i ? i ) ? (i ? i ) =180?
2 2 3 3

这就证明了:进入棱镜内的第一条光线 ab 总是与第三条光线 ce 互相垂直。 -270? -∠dec=90? -∠dec= i 。设棱镜的折射率为 n,根据折 由于棱镜的 C 角是直角, r =360?
1 1

射定律有 sin i1 ? n sin r1 , sin r4 ? n sin i4 。? r1 ? i4 ,? r4 ? i1 总是成立的,而与棱镜折射 率的大小及入射角 i 的大小无关。只要光路符合上面的要求,由 BC 面的法线与 CD 面的法
1

线垂直,又有 i1 ? r4 ,?出射光线总是与入射光线垂直,即光线经过这种棱镜,有恒定的偏 转角——90? 。

例 6、横截面为矩形的玻璃棒被弯成如图 16 所示的形状,一束平行光垂直地射入平表面 A 上。 试确定通过表面 A 进入的光全部从表面 B 射出的 R/d 的最小值。 已知玻璃的折射为 1.5。

R
d d A

? R
O

A
图 16

B

B
图 17

分析:如图 17 所示,从 A 外侧入射的光线在外侧圆界面上的入射角较从 A 内侧入射的光线 入射角要大, 最内侧的入射光在外侧圆界面上的入射角 α 最小。 如果最内侧光在界面上恰好 发生全反射, 并且反射光线又刚好与内侧圆相切, 则其余的光都能保证不仅在外侧圆界面上, 而且在后续过程中都能够发生全反射,并且不与内侧圆相交。因此,抓住最内侧光线进行分 析,使其满足相应条件即可。 解:当最内侧光的入射角 α 大于或等于反射临界角时,入射光线可全部从 B 表面射出而没
7

有 光 线 从 其 他 地 方 透 出 。 即 要 求 sin a ? 1 , 而 sin a ?

n

R ,所以 R 1 ? ,即 R?d R?d n

1 1 R 1 。故 ? R ? ? ?2 ? ? ? ? d n ?1 ? d ? min n ? 1 1.5 ? 1
点评:对全反射问题,掌握全反射产生的条件是基础,而具体分析临界条件即 “边界光线” 的表现是解决此类问题的关键。

例 7、普通光纤是一种可传输光的圆柱形细丝,由具有圆形截面的纤芯 A 和包层 B 组成,B 的折射率小于 A 的折射率,光纤的端面与圆柱体的轴垂直,由一端面射入的光在很长的光 纤中传播时, 在纤芯 A 和包层 B 的分界面上发生多次全反射。 现在利用普通光纤测量流体 F 的折射率。实验方法如下:让光纤的一端(出射端)浸在流体 F 中。令与光纤轴平行的单 色平行光束经凸透镜折射后会聚在光纤入射端面的中心 O。 经端面折射进入光纤, 在光纤中 传播。由于 O 点出发的光束为圆锥形,已知其边缘光线和轴的夹角为 a 0 ,如图 18 所示。 最后光从另一端面出射进入流体 F。在距出射端面 h1 处放置一垂直于光纤轴的毛玻璃屏 D, 在 D 上出现一圆形光斑,测出其直径为 d 1 ,然后移动光屏 D 至距光纤出射端面 h2 处,再测 出圆形光斑的直径 d 2 ,如图 19 所示。 (1)若已知 A 和 B 的折射率分别为 n A 与 n B 。求被测流体 F 的折射率 n F 的表达式。 (2)若 n A 、 n B 和 a 0 均为未知量,如何通过进一步的实验以测出 n F 的值?
h2
h1
空气

B

B A F
d1
d2

?0
O

A

D
图 18 图 19

D

分析:光线在光纤中传播时,只有在纤芯 A 与包层 B 的分界面上发生全反射的光线才能射 出光纤的端面,据此我们可以作出相应的光路图,根据光的折射定律及几何关系,最后可求 出 nF 。
8

解: (1)由于光纤内所有光线都从轴上的 O 点出发,在光纤中传播的光线都与轴相交,位 于通过轴的纵剖面内,图 20 为纵面内的光路图。

B

o

A? i

F
图 20

i ?

?

设由 O 点发出的与轴的夹角为 α 的光线,射至 A、B 分界面的入射角为 i,反射角也为 i,该 光线在光纤中多次反射时的入射角均为 i,射至出射端面时的入射角为 α。若该光线折射后 的折射角为 ? , 则由几何关系和折射定可得 i ? a ? 90? ①

nA s i n a ? nF s i n ? ②。当 i 大于

全反射临界角 i c 时将发生全反射, 没有光能损失, 相应的光线将以不变的光强射向出射端面。 而 i ? iC 的光线则因在发生反射时有部分光线通过折射进入 B,反射光强随着反射次数的增 大而越来越弱, 以致在未到达出射端面之前就已经衰减为零了。 因而能射向出射端面的光线 的 i 的数值一定大于或等于 i c , i c 的值由下式决定: n A sin iC ? n B ③ 与 i C 对应的 α 值为 ? C ? 90 0 ? iC ④ 当 a 0 ? a C ,即 sin a 0 ? sin a C ? cos iC ? 1 ? sin 2 iC ? 1 ? ( 或 n sin a ? A 0

nB 2 ) 时, nA

2 2 时, 由 O 发出的光束中, 只有 a ? aC 的光线才满足 i ? iC 的条件下, nA ? nB

才能射向端面,此时出射端面处 α 的最大值为 a max ? a c ? 90 0 ? iC ⑤ 若 a 0 ? a c ,即 n sin a ? A 0
2 2 时,则由 O 发出的光线都能满足 i ? iC 的条件,因而 nA ? nB

都能射向端面,此时出射端面处 α 的最大值为 a max ? a0 ⑥ 端面处入射角 α 最大时,折射角 θ 也达最大值,设为 ? max , 由②式可知 n F sin? max ? n A sin a max ⑦ 由⑥、⑦式可得,当 a 0 ? a C 时, n F ?

h2
h1

B
O0

A

O max

F O max

d 1 O1

d 2 O2

n A sin a 0 ⑧ sin ? max
n ?n ⑨ sin ? max
2 A 2 B

D
图 21

D

n cos iC 由③至⑦式可得, 当 a 0 ? a C 时, nF ? A ? sin ? max
9

? max 的数值可由图 21 上的几何关系求得为 sin ?

max

d 2 ? d1 2 ? ?(d 2 ? d1 ) / 2?2 ? (h2 ? h1 ) 2
2



d ? d1 ? 2 ( d ? d1 ) 于 是 n 的 表 达 式 应 为 n ? n sin ? ? ? ?? 0 ? ? C ? ? 2 ? ? (h2 ? h1 ) / 2 F F A ? 2 ? 2
(11)

2 2 nF ? n A ? nB

? d 2 ? d1 ? 2 ? ? ? (h2 ? h1 ) ? 2 ? ? ?? 0 ? ? C ? (12) (d 2 ? d 1 ) 2
1 2

2

(2) 可将输出端介质改为空气, 光源保持不变, 按同样手续再做一次测量, 可测得 h ? 、 h? 、

? ,这里打撇的量与前面未打撇的量意义相同。已知空气的折射率等于 1,故有 d 1? 、 d 2
当 ? 0 ? ? C 时, 1 ? n sin ? A 0

?(d 2? ? d1? ) / 2?2 ? (h2? ? h1? ) 2
? ? d1? ) / 2 (d 2

(13)

当 ? 0 ? ? C 时1 ?

n ?n
2 A

2 B

?(d 2? ? d1? ) / 2?2 ? (h2? ? h1? ) 2
? ? d1? ) / 2 (d 2

(14)

将 (11) (12) 两式分别与 (13) (14) 相除, 均得

nF ?

? ? d1? d2 d2 ? d

? d 2 ? d1 ? 2 ? ? ? (h2 ? h1 ) 2 ? ?

2

?(d 2? ? d1? ) / 2?2 ? (h2? ? h1? ) 2

(15)此结果适用于 ? 0 为任何值的情况。

10

几何光学 § 3 光的折射 3.1 多层介质折射 如图 1:多层介质折射率分别为 n1 , n2 , n3 ? 则由折射定律得:

i1
i2
i3

n1

n2
n3

n1 sin i1 ? n2 sin i2 ? ? ? nk sin ik

nR
3.2 平面折射的视深
图1

如图 2,在水中深度为 h 处有一发光点 Q,作 OQ 垂直于水面,求射出水面折射线的延长线

4 与 OQ 交点 Q ? 的深度 h ? 与入射角 i 的关系。设水相对于空气的折射率为 n ? ,由折射定 3
律得 n sin i ? sin i ? 。 令 OM=x, 则 x ? d ? tgi ? d ? ? tgi ? , 于是 d ? ? d ? tgi ? d 1 ? ( n sin i )
2

tgi ?

n cos i

上式表明,由 Q 发出的不同光线,折射后的延长线不再交于同一点,但对于那些接近法线

d 。这时 与入射角 i 无关,即折 d? n 1 3 射线的延长线近似地交于同一点 Q ? ,其深度是原光点深度的 ? 。 n 4
方向的光线, i ? 0 ,则 sin 2 i ? 0 , cosi ? 1 于是 d ? ? x O d′ d Q′ i γ M P M

S2 Q
图2

S3

S′

O2 Q
图3

O1 N

S

S1

如图 3 所示,MN 反射率较低的一个表面,PQ 是背面镀层反射率很高的另一个表面,通常 照镜子靠镀银层反射成像,在一定条件下能够看到四个像。若人离镜距离 l ,玻璃折射率 n, 玻璃厚度 d,求 MN 成的两个像间的距离。 图中 S 为物点,S ? 是经 MN 反射的像,若 S1 , S 2 , S 3 依次表示 MN 面折射,PQ 面反射和 MN 面再折射成像,由视深公式得 O1 S1 ? nO1 S ,O2 S 2 ? O2 S1 ? O1 S1 ? d ,O1 S 2 ? n ? O1 S 3 ,

O1 S 3 ?

2d 。 O1O2 ? O2 S 2 d ? nl ? d 2d ,故两像间距离为 O1 S 3 ? O1 S ? ? ? ? 1? n n n n
11

3.3 棱镜的折射与色散 入射光线经棱镜折射后改变了方向,出射光线与入射光线之间的夹角称为偏向角,由图 4

? ? i2 ? ) ? i1 ? i1 ? ? ? 。其中 sin i1 ? n sin i2 ,sin i2 ? ? n sin i1 ?① 的几何关系知 ? ? (i1 ? i2 ) ? (i1 ? ? i1 ? 即 δ=(n-1)α 当 i1 ,α 很小时, i1 ? ni2 , ni2
A δ i1 D B E i2 i′2 F 折射率
图4

S′ i′1 G C S L
图5

δ h δ

厚度不计顶角 α 很小的三棱镜称之为光楔,对近轴光线而言,δ 与入射角大小无关,各成像 光线经光楔后都偏折同样的角度 δ,所以作光楔折射成像光路图时可画成一使光线产生偏折 角的薄平板,图 5。设物点 S 离光楔 L 则像点 S ? 在 S 的正上方。 h ? l? ? (n - 1)? l h=lδ=

(n-1)αl。②当棱镜中折射光线相对于顶角 α 对称成等腰三角形时, i1 ? i ? , i2 ? i2 ?。

? ? n sin sin i1 ? sin i1

?, ? ? ?? ? ? ? 2 arcsin(n sin ) ? ? 或 sin ? n sin 这为棱镜的最小
2 2 2 2

偏向角 δ,此式可用来测棱镜的折射率。 由于同一种介质对不同色光有不同的折射率, 各种色光的偏折角不同, 所以白光经过棱 镜折射后产生色散现象。 虹和霓是太阳被大气中的小水滴折射和反射形成的色散现象。 阳光 在水滴上经两次折射和一次反射如图 6。形成内紫外红的虹;阳光经小滴两次折射和两次反 射如图 7,形成内红外紫的霓。由于霓经过一次反射,因此光线较弱,不容易看到。 紫 红 阳光 红

紫 阳光
图6 图7

12

3.4 费马原理 费马原理指出,光在指定的两点之间传播,实际的光程总是为最大或保持恒定,这里的 光程是指光在某种均匀介质中通过的路程和该种媒质的折射率的乘积。 费马原理是几何光学中的一个十分重要的基本原理, 从费马原理可以推导出几何光学中 的很多重要规律。例如光的直线传播、反射定律,折射定律,都可以从光程极小推出。如果 反射面是一个旋转椭球面,而点光源置于其一个焦点上,所有反射光线都经过另一个焦点, 所有反射光线都经过另一个焦点, 便是光程恒定的一个例子。 此外, 透镜对光线的折射作用, 也是很典型的。 一平凸透镜的折射率为 n, 放置在空气中, 透镜面孔的半径为 R。 在透镜外主光轴上取一点 F ? , OF ? ? f ? (图 8) 。当平行光沿 主光轴入射时,为使所有光线均会聚于 F ? 点。试问: (1)透镜凸面应取什么形状? (2)透镜顶点 A 与点 O 相距多少? (3)对透镜的孔径 R 有何限制? 解:根据费马原理,以平行光入射并会聚于 F ? 的所有光线应有相等的光程,即最边缘的光 线 BF ? 与任一条光线 NMF ? 的光程应相等。由此可以确定凸面的方程。 (1)取 o ? xy 坐标系如图,由光线 BF ? 和 NMF ? 的等光程性,得
图8

y B M (x, y) x A f′ F′

R

n

nx ? ( f ? ? x) 2 ? y 2 ?

f ?2 ? R 2

整理后,得到任一点 M(x,y)的坐标 x,y 应满足的方程为
2 2 2 ? n f ?2 ? R 2 ? f ? ? ? ? y 2 ? (nf ? ? f ? ? R ) (n 2 ? 1)? x ? ? ? n2 ?1 n2 ?1 ? ? 2

令x ? n 0

f ?2 ? R 2 ? f ? , nf ? ? f ? 2 ? R 2 ,则上式成为 a ? n2 ?1 n2 ?1

(n 2 ? 1)( x ? x0 ) 2 ? y 2 ? a 2 这是双曲线的方程,由旋转对称性,透镜的凸面应是旋转双曲
面。 (2)透镜顶点 A 的位置 应满足 (n 2 ? 1)( x A ? x0 ) 2 ? a 2

13

或者 x ? x ? A O

a n2 ?1

?

f ?2 ? R 2 ? f ? ,可见,对于一定的 n 和 f ? , x 由 R 决定。 A n ?1

(3)因点 F ? 在透镜外,即 x ? f ? ,这是对 R 的限制条件,有 A 即要求 R ?

f ?2 ? R 2 ? f ? ? f? n ?1

n2 ?1 f ? n ? 1 f ? 时,有: x A ?
2

讨论:在极限情形,即 R ?

f ? 2 ? (n 2 ? 1) f ? 2 ? f ? ? f? n ?1

即点 A 与点 F ? 重合。又因 x ? n f ? ? f ? ? f ? ,a=0。故透镜凸面的双曲线方程变为 O 2
2

n ?1

(n 2 ? 1)( x ? f ?) 2 ? y 2 ? 0 即 y ? ? n 2 ? 1( x ? f ?)
双曲线退化成过点 F ? 的两条直线,即这时透镜的凸面变成以 F ? 为 顶点的圆锥面,如图 9 所示。考虑任意一条入射光线 MN,由折射 定律有 n sin ? ? sin ? t ,由几何关系 sin ? ? cos? ? R N

y M θ t Φ A F′ f′
图9

1 f ?2 ? R 2

n

θ

x

故 sin ? t ?

?1 , ? ? ? t f? ?R 2
2 2

nf ?

即所有入射的平行光线折射后均沿圆锥面到达点 F ? ,此时的角 θ 就是全反射的临界角。

例题讲解: 例 1、半径为 R 的半圆柱形玻璃砖,横截面如图 10 所示。O 为 圆心。已知玻璃的折射率为 2 。当光由玻璃射向空气时,发 生全反射的临界角为 45° ,一束与 MN 平面成 450 的平行光束射 到玻璃砖的半圆柱面上,经玻璃折射后,有部分光能从 MN 平 面上射出。求能从 MN 平面射出的光束的宽度为多少? 分析:如图 11 所示。进入玻璃中的光线①垂直半球面,沿半径方向直达球心,且入射角等 于临界角,恰好在 O 点发生全反射,光线①左侧的光线经球面折射后,射在 MN 上的入射 角都大于临界角,在 MN 上发生全反射,不能从 MN 射出,光线①右侧一直到与球面正好相 切的光线③范围上的光线经光球面折射后,在 MN 面上的入射角均小于临界角,都能从 MN 面上射出,它们在 MN 上的出射宽度即是所要求的。
14
45?

R
M
图 10

O

N

解:图 11 中,BO 为沿半径方向入射的光线,在 O 点正好发生全反射,入射光线③在 C 点 与球面相切,此时入射角 i ? 90 ? ,折射角为 r,则有 sin i ? n sin r , sin r ? sin i ?

n

2, 2

即 r ? 45 ? 。这表示在 C 点折射的光线将垂直 MN 射出,与 MN 相交于 E 点。MN 面上 OE 即是出射光的宽度。 OE ? R sin r ?
1 ○ ○ 2 3 ○

2 R 2

B A
45?

i

R r
O
图 11

C

M

45?

O

N M

i

E

i

O

FN
C

r
A

r
B
图 13

M

E N
图 12

讨论:如果平行光束是以 45° 角从空气射到半圆柱的平面表面上,如图 12 所示,此时从半 圆柱面上出射的光束范围是多大?见图 13 所示,由折身定律 sin 45 ? ?

2 sin r ,得

sin r ?

1, 。考虑在 E 点发生折射的折 r ? 30 ? ,即所有折射光线与垂直线的夹角均为 30° 2

射光线 EA,如果此光线刚好在 A 点发生全反射,则有 n sin ?EAO ? sin 90 ? ,而 n ? 即有 ?EAO ? 45 ? ,因 EA 与 OB 平行,所以 ?EAO ? ?AOB ? 45 ? ,所以

2,

? ? 180 ? ? 45 ? ? 60 ? ? 75 ? ,即射向 A 点左边 MA 区域的折射光( ? ? 45 ? )因在半圆柱
面上的入射角均大于 45° 的临界角而发生全反射不能从半圆柱面上射出, 而 A 点右边的光线 ( ? ? 45 ? )则由小于临界角而能射出,随着 φ 角的增大,当 ?FCO ? 45 ? 时,将在 C 点 再一次达到临界角而发生全反射,此时 ?FOC ? 15 ? 故知能够从半圆柱球面上出射的光束 范围限制在 AC 区域上,对应的角度为 75 ? ? ? ? 165 ? 。 点评:正确作出光路图并抓住对边界光线的分析是解答问题的两个重要方向。

例 2、给定一厚度为 d 的平行平板,其折射率按下式变化 n( x) ?

n0 1? x r

一束光在 O 点由空气垂直入射平板,并在 A 点以角 α 出射(图 14) 。求 A 点的折射率 nA,
15

并确定 A 点的位置及平板厚度。 (设 n0 ? 1.2, r ? 13cm, ? ? 30 ? ) 。

r
d

?
A
O
图 14

?
K
?1
?2
?3

?2

n1 n 2

n3

n4

O

x x
图 16

C

图 15

解:首先考虑光的路线(图 15) 。对于经过一系列不同折射率的平行平板的透射光,可以应 用斯涅耳定律

sin ? 1 n2 sin ? 2 n3 , ? ? ? 更简单的形式是 sin ? 2 n1 sin ? 3 n2

n1 sin ?1 ? n2 sin ? 2 ? n3 sin ? 3 ? ?这个公式对任意薄层都是成立的。在我们的情形里,
折射率只沿 x 轴变化,即 n x sin ? x ? 常数 在本题中,垂直光束从折射率为 n0 的点入射,即 n x ? n0 , ? x ? 90 ? 为常数,于是在平板内 任一点有 n x sin ? x ? n0 , n x 与 x 的关系已知,因此沿平板中的光束为

sin ? x ?

n0 x r?x ? 1? ? nx r r
XC

OC ? x 图(16)表明光束的路径是一个半径为 XC=r 的圆,从而有 ? sin ? x
现在我们已知道光的路径,就有可能找到问题的解答。按折射定律,当光在 A 点射出时, 有 nA ?

sin ? sin ? n ,因为 n A sin ? B ? n0 ,故有 sin ? A ? 0 , ? ? sin(90 ? ? A ) cos ? A nA

2 ? n0 ? 。于是 n A ? cos ? A ? 1 ? ? ?n ? ? ? A?

sin ? (1 ?
2 n0 2 ,因此 n A ? n0 ? sin 2 ? ) nA

在本题情形 n A ? 1.3

n ? 1.3 ? ,根据 A

1.2 x ,得出 A 点的 x 坐标为 x=1cm。 1? 13

光线的轨迹方程为 y 2 ? (1 ? x) 2 ? r 2 。代入 x=1cm,得到平板厚度为 y=d=5cm

16

例 3、图 17 表示一个盛有折射率为 n 的液体的槽,槽的中部扣着一个对称屋脊形的薄壁透 明罩 A,D,B,顶角为 2 ? ,罩内为空气,整个罩子浸没在液体中,槽底 AB 的中点处有一 个亮点 C。请求出:位于液面上方图标平面内的眼睛从侧面观察可看到亮点的条件。

D n? ? 1

D

?

?
n? ? 1

n
B A
C

?

?

? ? P
N B

?

A
图 17

图 18

解:本题可用图示平面内的光线进行分析,并只讨论从右侧观察的情形。如图 18 所示,由 亮点发出的任一光线 CP 将经过两次折射而从液面射出。由折射定律,按图上标记的各相关 角度有 sin ? ? n sin ? (1)

s in ? ?

1 s in ? (2)其中 ? ? ? / 2 ,?? ? ? / 2( ? ? ? )(3) n

如果液内光线入射到液面上时发生全反射, 就没有从液面射出的折射光线。 全反射临界角 γ。 应满足条件 sin ? c ? 1 / n ,可见光线 CP 经折射后能从液面射出从而可被观察到的条件为

? ? ? (4)或 sin ? ? 1 / n (5)
现在计算 sin ? ,利用(3)式可得 sin ? ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos? ? sin ? sin ?

sin ? ? 1 由(1)式可得 cos ? ? 1 ? ? ? ? ? ? n ?

2

n

n 2 ? sin 2 ?

由此 n sin ? ? cos? n 2 ? sin 2 ? ? n sin ? sin ? 又由(1)式 n sin ? ? cos? n 2 ? sin 2 ? ? n sin ? sin ? (6) 由图及(1) 、 (2)式,或由(6)式均可看出,α 越大则 γ 越小。因此,如果与 α 值最大的 光线相应的 γ 设为 ? m ? ? c ,则任何光线都不能射出液面。反之,只要 ? m ? ? c ,这部分光 线就能射出液面,从液面上方可以观察到亮点。由此极端情况即可求出本题要求的条件。 自 C 点发出的 α 值最大的光线是极靠近 CD 的光线,它被 DB 面折射后进入液体,由(6) 式可知与之相应的 ? m ; ? ? ? / 2 ? ? , n sin ? ? cos? n 2 ? cos2 ? ? cos? sin ? ? 1 m 能观察到亮点的条件为 n sin ? m ? 1 ,即 cos? n 2 ? cos2 ? ? cos? sin ? ? 1

17

上式可写成 cos? n 2 ? cos2 ? ? 1 ? cos? sin ? 取平方 cos2 ? (n 2 ? cos2 ? ) ? 1 ? 2 cos? sin ? ? cos2 ? (1 ? cos2 ? ) 化简后得 (n 2 ? cos2 ? ) ? 1 ? 2 cos? sin ? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos? sin ? 故 (n 2 ? 1) cos2 ? ? (cos? ? sin ? ) 2 ,平方并化简可得 tan ? ?

n2 ?1 ?1

这就是在液面上方从侧面适当的方向能看到亮点时 n 与 φ 之间应满足条件。

? ? 例 4、如图 19 所示,两个顶角分别为 ? 1 ? 60 和 ? 2 ? 30 的棱镜胶合

A
a1 n2 a2

B

在一起( ?C ? 90 ) 。折射率由下式给出:
?

n1 ? ? 1 ?

b1

? ;
2

D

n1
图 19

C

n2 ? ? 2 ?

?2 ,其中 ?1 ? 1.1; b1 ? 10 nm ,
5 2

b2

? 2 ? 1.3; b2 ? 5 ? 10 4 nm2
1、确定使得从任何方向入射的光线在经过 AC 面时不发生折射的波长 ? 0 。确定此情形的折 射率 n1 和 n 2 。 2、画出入射角相同的、波长为 ?红 、 ? 0 和 ?蓝 的三种不同光线的路径。 3、确定组合棱镜的最小偏向角。 4、计算平行于 DC 入射且在离开组合棱镜时仍平行于 DC 的光线的波长。 解:1、如果 n1 ? n2 ,则从不同方向到达 AC 面的波长为 ? 0 的光线就不折射,即

?1 ?

b1

?

2 0

? ?2 ?

b2

?

2 0

,因而 ? 0 ?

b2 ? b1 ? 500 nm ,在此情形下 n1 ? n2 ? 1.5 。 ? 2 ? ?1

2、对波长比 ? 0 长的红光, n 和 n 均小于 1.5。反之,对波长比 ? 0 短的蓝光,两个折射率 1 2 均比 1.5 要大。现在研究折射率在 AC 面上如何变化。我们已知道,对波长为 ? 0 的光,

n2 / n1 ? 1 。
如果考虑波长为 ?红 而不是 ? 0 的光,则由于 b1 ? b2 ,所以 n2 / n1 ? 1 。同理,对蓝光有 。 n2 / n1 ? 1 。现在我们就能画出光线穿过组合棱镜的路径了(图 20)
18

?红
?0

15? 15?

A
30?

B
30?

?
?蓝

b

120 ?

?
D
图 21 图 20

??

60? ? ? C

图 22

3、对波长为 ? 0 的光,组合棱镜可看作顶角为 30° 、折射率为 n=1.5 的单一棱镜。 我们知道,最小偏向在对称折射时发生,即在图 21 中的 α 角相等时发生。根据折射定律,

sin ? ? 1.5 , 因而 ? ? 22 ? 50? , 偏向角为 ? ? 2? ? 30 ? ? 15 ? 40? sin15
4、利用图 22 中的数据,可以写出 sin 30 ? n ; 1
?

sin ?

sin(60 ? ? ? ) n2 ,消去 α 后得 ? n1 sin 30 ?

2 经变换后得 (3n 2 ? n 2 ? n ? 1)?4 ? (6? b ? 2a b )?2 ? 3b 2 ? b 2 ? 0 3n12 ? n2 ? n2 ? 1 , 1 2 2 1 1 2 2 1 2

这是 ? 2 的二次方程。求解得出 ? ? 1.18 ?m

例 5、 玻璃圆柱形容器的壁有一定的厚度, 内装一种在紫外线照射下会发出绿色荧光的液体, 即液体中的每一点都可以成为绿色光源。已知玻璃对绿光的折射率为 n1 ,液体对绿光的折 射率为 n 2 。当容器壁的内、外半径之比 r:R 为多少时,在容器侧面能看到容器壁厚为零? 分析: 所谓“从容器侧面能看到容器壁厚为零”,是指眼在容器截面位置看到绿光从 C 点处 沿容器外壁的切线方向射出, 即本题所描述为折射角为 90° 的临界折射。 因为题中未给出 n1 、

n 2 的大小关系,故需要分别讨论。
解: (1)当 n1 ? n2 时,因为是要求 r:R 的最小值,所以当 n1 ? n2 时,应考虑的是图 1-3-23 中 ABCD 这样一种临界情况,其中 BC 光线与容器内壁相切,CD 光线和容器外壁相切,即 两次都是临界折射,此时应该有

sin i2 1 ? ? n1 sin 90

设此时容器内壁半径为 r0 ,在直角三角形 BCO 中, sin i2 ? r0 / R 。当 r ? r0 时,C 处不可

19

能发生临界折射,即不可能看到壁厚为零;当 r ? r0 时,荧光液体中很多点发出的光都能在 C 处发生临界折射,所以只要满足 r / R ? 1 / n ,即可看到壁厚为零。
1

i1 B

A

A O n2 n1
(2)当 n1 ? n2 时
图 23

i2

O

E r0

B

r1

C

C

i2

D
图 24

D

此时荧光液体发出的光线将直接穿过容器内壁,只要在 CD 及其延长线上有发光体,即可看 到壁厚为零,因此此时应满足条件仍然是 r / R ? 1 / n1 。 (3)当 n1 ? n2 时 因为 n1 ? n2 ,所以荧光液体发出的光在容器内壁上不可能发生折射角为 90° 的临界折射, 因此当 r ? r0 时,所看到的壁厚不可能为零了。当 r ? r0 时,应考虑的是图 24 中 ABCD 这 样一种临界情况,其中 AB 光线的入射角为 90° ,BC 光线的折射角为 r ,此时应该有
1

sin 90 ? n1 ,在直角三角形 OBE 中有 ? sin r1 ? OE / OB ,因为图 23 和图 24 中的 i 2 角是 sinr 1 n2
相同的,所以 OE ? r0 ,即 到容器壁厚度为零。 上面的讨论,图 23 和图 24 中 B 点和 C 点的位置都是任意的,故所得条件对眼的所有位置 均能成立。

R sin 90 ? n1 ,将 r0 ? 代入,可得当 r / R ? 1 / n2 时,可看 ? n1 r 0/ r n2

例 6、 有一放在空气中的玻璃棒, 折射率 n=1.5, 中心轴线长 L=45cm, 一端是半径为 R1 =10cm 的凸球面。 (1)要使玻璃棒的作用相当于一架理想的天文望远镜(使主光轴上无限远处物成像于主光 轴上无限远处的望远系统) ,取中心轴为主光轴,玻璃棒另一端应磨成什么样的球面? (2) 对于这个玻璃棒, 由无限远物点射来的平行入射光束与玻璃棒的主光轴成小角度 ? 1 时,

20

从棒射出的平行光束与主光轴成小角度 ? 2 ,求 ? 2 / ?1 (此比值等于此玻璃棒的望远系统的 视角放大率) 。 分析: 首先我们知道对于一个望远系统来说,从主光轴上无限远处物点发出的入射光线为 平行于主光轴的光线, 它经过系统后的出射光线也应与主光轴平行, 即像点也在主光轴上无 限远处,然后我们再运用正弦定理、折射定律及的小角度近似计算,即可得出最后结果。
i1

P A

i1 r1 R1 C1

n

i1 ? r1

C2 R2

F1
图 25

B

解: (1)对于一个望远系统来说,从主光轴上无限远处的物点发出的入射光为平行于主光轴 的光线,它经过系统后的出射光线也应与主光轴平行,即像点也在主光轴上无限远处,如图 25 所示,图中 C 为左端球面的球心。由正弦定理、折射定律和小角度近似得
1

AF1 ? R1 sin r1 r 1 1 ? ? 1 ? ? R1 sin(i1 ? r1 ) i1 ? r1 (i1 / r1 ) n ? 1
1

①即

AF1 1 ② ?1 ? R1 n ?1

光线 PF 射至另一端面时, 其折射光线为平行于主光轴的光线, 由此可知该端面的球心 C 2 一 定在端面顶点 B 的左方, C 2 B 等于球面的半径 R2 ,如图 25 所示。 仿照上面对左端球面上折射的关系可得

BF1 1 ③ ?1 ? R2 n ?1

又有 BF ? L ? AF ④,由②③④式并代入数值可得 R2 ? 5cm ⑤ 1 1 即右端应为半径等于 5cm 的向外凸面球面。 (2)设从无限远处物点射入的平行光线用 a、b 表示,令 a 过 C1 ,b 过 A,如图 26 所示, 则这两条光线经左端球面折射后的相交点 M,即为左端球面对此无限远物点成的像点。

?

b

R1

n
?1
C1

?1

A

?1
? ?1 ? ?1
图 26

F ?2
1

C2

R2

?2

B

M

现在求 M 点的位置。在 ?AC1 M 中

R1 AM AM ⑥ ? ? ?) sin(? ? ? 1 ) sin ? 1 sin(? 1 ? ? 1
21

又 n sin ? ? ? sin ? ⑦已知 ? 、 则有 ? ? ? 均为小角度, 1 1 1 ?1 1

AM

R1

?1 (1 ? )

与②式比较可知, 1 ⑧, n

AM ? AF1 ,即 M 位于过 垂直于主光轴的平面上。上面已知,玻璃棒为天文望远系统,
则凡是过 M 点的傍轴光线从棒的右端面射出时都将是相互平行的光线。容易看出,从 M 射 向 C 的光线将沿原方向射出,这也就是过 M 点的任意光线(包括光些 a、b)从玻璃棒射
2

出的平行光线的方向。 此方向与主光轴的夹角即为 ? 。
2

? 2 C1 F1 AF1 ? R1 ⑨, 由②③ ? ? ? 1 C 2 F1 BF1 ? R2

式可得

AF1 ? R1 BF1 ? R2

?

? R R1 ,则 2 ? 1 ? 2 ⑩ ? 1 R2 R2

22

几何光学 § 4 球面反射和折射 4.1 球面镜成像 (1)球面镜的焦距球面镜的反射仍遵从反射定律,法线是球面的半径。一束近主轴的平行 光线,经凹镜反射后将会聚于主轴上一点 F(图 1) ,这 F 点称为凹镜的焦点。一束近主轴 的平行光线经凸面镜反射后将发散,反向延长可会聚于主轴上一点 F(图 2) ,这 F 点称为 凸镜的虚焦点。焦点 F 到镜面顶点 O 之间的距离叫做球面镜的焦距 f。可以证明,球面镜焦 距 f 等于球面半径 R 的一半,即 f ? R

2

O

F
图1

C
图2

(2)球面镜成像公式 根据反射定律可以推导出球面镜的成像公式。下面以凹镜为例来推导: (如图 3 所示) 设在凹镜的主轴上有一个物体 S, 由 S 发出的射向凹镜的光线镜面 A 点反射后与主轴交于 S ? 点,半径 CA 为反射的法线, S ? 即 S 的像。根据反射定律, ?SAC ? ?S ?AC ,则 CA 为 SAS ? 角 A 的平分线,根据角平分线的性质有

AS CS ① ? AS ? CS ?
OS CS ② ? OS ? CS ?

由为 SA 为近轴光线,所以 AS ? ?

S ?O , AS ? SO ,①式可改写为

②式中 OS 叫物距 u, OS ? 叫像距 v,设凹镜焦距为 f,则 CS ? OS ? OC ? u ? 2 f ,

CS ? ? OC ? OS ? ? 2 f ? ? 代入①式 u ? u ? 2 f ,化简即可。 ? 2 f ??
这个公式同样适用于凸镜。使用球面镜的成像公式时要注意:凹镜焦距 f 取正,凸镜焦距 f 取负;实物 u 取正,虚物 u 取负;实像 v 为正,虚像 v 为负。

1 1 1 ? ? u ? f

上式是球面镜成像公式。它适用于凹面镜成像和凸面镜成像,各量符号遵循“实取正,虚取 负”的原则。凸面镜的焦点是虚的,因此焦距为负值。在成像中,像长
23

和物长 h 之比为成

m?
像放大率,用 m 表示,

h? ? ? h u

由成像公式和放大率关系式可以讨论球面镜成像情况,对于凹镜,如表Ⅰ所列;对于凸镜, 如表Ⅱ所列。 表Ⅰ 凹镜成像情况 物的性质 实物 物的位置 像的位置 同侧 f 同侧 f~2f 同侧 2f 同侧 f~2f 像的大小 缩小 缩小 等大 放大 放大 放大 缩小 正 正 虚 实 像的正倒 倒 倒 倒 倒 像的虚实 实 实 实 实

? ? ~2f
2f 2f~f f f~0

?
异侧 ? ~0 异侧 0~f

虚物

?

表Ⅱ 凸镜成像情况 物的性质 实物 物的位置 f~ ? 像的位置 同侧 0~f 同侧 f~2f 同侧 2f 同侧 ? ~2f 像的大小 缩小 缩小 等大 放大 像的正倒 正 倒 倒 倒 像的性质 虚 虚 虚 虚

? ~2f
虚 物 2f f~2f f f~0 (3)球面镜多次成像

?
异侧 ? ~0 放大 正 实

球面镜多次成像原则: 只要多次运用球面镜成像公式即可, 但有时前一个球面镜反射的 光线尚未成像便又遇上了后一个球面镜,此时就要引进虚像的概念。

如图 4 所示,半径为 R 的凸镜和凹镜主轴相互重合放置,两镜顶点 O1 、 O2 相距 2.6R, 现于主轴上距凹镜顶点 O1 为 0.6R 处放一点光源 S。设点光源的像只能直接射到凹镜上,问 S 经凹镜和凸镜各反射一次后所成的像在何处?

24

O1

S S2
图4

O2

S1

1 1 2 1 1 1 ? ? ? ? 1 R 。可解得? ? 3R f1 , 0.6 R ?1 S 在凹镜中成像,u1 ? 0.6 R , f1 ? R ,u1 ?1 1
2

O1O2 ? 2.6R 。根据题意:所以凹镜反射的光线尚未成像便已又被凸镜反射,此时可将凹
镜原来要成像 S 1 作为凸镜的虚物来处理, u2 ? (2.6 R ? 3R) ? ?0.4 R ,

f2 ? ?

R 2

1 1 2 ? ? ?? 1 1 1 0.4 R ? 2 R ,可解得 ? 2 ? 2 R ,说明凸镜所成的像 S 2 和 S 在同一 ? ? u2 ?2 f 2 ,
位置上。

4.2 球面折射成像 (1)球面折射成像公式 (a)单介质球面折射成像

1

i
?

? S uO

r

n
?

C v

S?

图5

如图 5 所示,如果球面左、右方的折射率分别为 1 和 n, 行以 ①,因为

S ? 为 S 的像。因为 i、r 均很小,

sin i i ? ?n sin r r

i ? ? ? ? , r ? ? ? ? ,代入①式可有 ? ? ?r ? n(? ? ? ) ②

对近轴光线来说,α、θ、β 同样很小,所以有 ? 代入②式可得

?

x, x x ? ? ,? ? ? R u

1 n n ?1 ? ? u ? R

当 u ? ? 时的 v 是焦距 f,所以 f ? R ? n n ?1
25

(b)双介质球面折射成像

i2

?
O
图6

i2

?

?

如图 6 所示,球形折射面两侧的介质折射率分别 n1 和 n2,C 是球心,O 是顶点,球面曲率 半径为 R,S 是物点, S ? 是像点,对于近轴光线 , n1i1 ? n2i2 i1 ? ? ? ? ,

i2 ? ? ? ? ,

??

A A0 , A n n n ?n ? ? 0 , ? ? 0 ,联立上式解得 1 ? 2 ? 2 1 R u v r u v

这是球面折射的成像公式,式中 u、υ 的符号同样遵循“实正虚负”的法则,对于 R;则当球 心 C 在出射光的一个侧, (凸面朝向入射光)时为正,当球心 C 在入射光的一侧(凹面朝向 入射光)时为负。 若引入焦点和焦距概念,则当入射光为平行于主轴的平行光(u=∝)时,出射光(或其反 向延长线)的交点即为第二焦点, (也称像方焦点) ,此时像距即是第二焦距 2 ,有

f

f2 ?

n2 ? n1

n2 R

。当出射光为平行光时,入射光(或其延长线)的交点即第一焦点(即物方

焦点) ,这时物距即为第一焦距 f ,有 f ? 1

1

nR 1 ,将 f 、 f 代入成像公式改写成 1 2 n ?n 2 1

f1 f ? 2 ?1 u u
反射定律可以看成折射定律在 n
2

? ?n1 时的物倒,因此,球面镜的反射成像公式可以从球

面镜折射成像公式中得到,由于反射光的行进方向逆转,像距 υ 和球面半径 R 的正负规定 应与折射时相反,在上述公式中令 n 反 射成 像公式
2

? ?n1 ,? ? ?? , R ? ? R ,即可得到球面镜

1 1 2 , 对 于凹面 镜 R ? ? R ? 0 , f1 ? f 2 ? 2 , 对于 凸面 镜 R ? 0 , u ? R

f1 ? f 2 ?

R ,厚透镜成像。 2

26

(c)厚透镜折射成像
A
h1

O
r2

O? r1

P?

P ??

u ??

u

t
图7

u?

设构成厚透镜材料的折射率为 n,物方介质的折射率为 n ,像方介质的折射率为 n ,前后 1 2 两边球面的曲率半径依次为

r1 和 r2 ,透镜的厚度为 oo? ? t ,当物点在主轴上的 P 点时,
? O?P
,首先考虑第一个球面 AOB 对入

物距 u ? OP ,现在来计算像点 P ? 的像距。 S?

射光的折射,这时假定第二个球面 AOB 不存在,并认为球 AOB 右边,都为折射率等于 n 的介质充满,在这种情况下,P 点的像将成在 线在第二个球面的折射,对于这个球面来说,

P?? 处,其像距 ? ? ? OP?? ,然后再考虑光 P?? 便是虚物。因此对于球面 AOB,物像公

式为

n n ?n n2 n1 n ? n1 n ,对于球面 AOB,物像公式为 2 ? ? 2 ? ? v u r1 v u ?t r2

这样就可以用二个球面的成像法来求得透镜成像的像距 u。 (2)光焦度 折射成像右端仅与介质的折射率及球面的曲率半径有关, 因而对于一定的介质及一定形状的 表面来说是一个不变量,我们定义此量为光焦度,用 φ 表示: ?

?

n? ? n r

它表征单折射球面对入射平行光束的屈折本领。φ 的数值越大,平行光束折得越厉害;φ>0 时,屈折是会聚性的;φ<0 时,屈折是发散性的。φ=0 时,对应于 r

? ? ,即为平面折射。

这时,沿轴平行光束经折射后仍是沿轴平行光束,不出现屈折现象。光焦度的单位是[米-1], 或称[屈光度],将其数值乘以 100,就是通常所说的眼镜片的“度数”。

27

(3)镀银透镜与面镜的等效

i
C2

u
60cm
图8

i?

h

i
C
CB
图9

i?

A h? h

30cm

有一薄平凸透镜,凸面曲率半径 R=30cm,已知在近轴光线时:若将此透镜的平面镀银,其 作用等于一个焦距是 30cm 的凹面镜; 若将此透镜的凸面镀银, 其作用也等同于一个凹面镜, 其其等效焦距。当透镜的平面镀银时,其作用等同于焦距是 30cm 的凹面镜,即这时透镜等 效面曲率半径为 60cm 的球面反射镜。由凹面镜的成像性质,当物点置于等效曲率中心时任 一近轴光线经凸面折射,再经平面反射后将沿原路返回,再经凸面折射后,光线过点,物像 重合。如图 8 所示。 i

? ni? , i ? u ? i? , n ? 1 ?

u h h , 。依题意, u ? , i? i? 30 60

故 n ? 1.5 。凸面镀银,光路如图 9 所示。关键寻找等效曲率中心,通过凸面上任一点 A 作 一垂直于球面指向曲率中心 C 的光线。此光线经平面折射后交至光轴于 CB ,令 C B O 则 ni

?r

? i? , i ?

R h? h ? 20cm 。由光的可逆性原理知, C B 是等效 , i? ? ,得 r ? n r R

凹面镜的曲率中心,f=10cm。

例题讲解: 例 1、如图 10 所示,一个双凸薄透镜的两个球面的曲率半径均为 r,透镜 的折射率为 n,考察由透镜后表面反射所形成的实像。试问物放于何处, 可使反射像与物位于同一竖直平面内(不考虑多重反射) 。



图 10

解:从物点发出的光经透镜前表面(即左表面)反射后形成虚像,不合题意,无须考虑。 从物点发出的光经透镜前表面折射后, 再经透镜后表面反射折回, 又经前表面折射共三次成 像,最后是实像,符合题意。利用球面折射成像公式和球面反射成像公式,结合物与像共面 的要求。就可求解。

R 球面反射的成像公式为: 1 ? 1 ? 1 ,其中反射面的焦距为 f ? (R 为球面半径) ,对凹 2 u v f
28

面镜,f 取正值,对凸面镜,f 取负值。 球面折射的成像公式为:

n1 n2 1 ? ? (n1 ? n2 ) 。当入射光从顶点射向球心时,R 取正值, u v R

当入射光从球心射向顶点时,R 取负值。 如图 11 甲所示, 当物点 Q 发出的光经透镜前表面折射后成像于 Q , 设物距为 u, 像距为 v,

?

n1 n2 1 ? ? (n1 ? n2 ) v R 根据球面折射成像公式: u
这里空气的折射率 n1 ? 1 ,透镜介质的折射率 n2

? n ,入射光从顶点射向球心,R=r 取正

1 n n ?1 ? ? r (1)这是第一次成像。 值,所以有 u v
1 n
Q
Q?

n 1
Q1? u1

1 n
Q1 (Q ?) Q (Q ? ) Q ? 2 1 2

u

v
图 11 甲

u1 ? ?v1
图 11 乙

P2?

? P2 ? P1?

图 11 丙

对凸透镜的后表面来说, 物点 Q 经透镜前表面折射所成的点 Q ? 是它的物点, 其物距 u1 ? ?v (是虚物) ,经透镜后表面反射后成像于 Q1 ,由球面反射 ? ,像距为 ? v1 (如图 11 乙所示)

1 1 1 2 1 1 2 ? ? ? ? ? ? f 2 r ,将前面数据代入得 v v1 r (2)这是第二次成像。 成像公式 u1 v1
? 又作为透镜前表面折射成像的物点 Q2 ,其物距 u 2 由透镜后表面反射成的像点 Q1

? ?v1

? ,像距为 v 2 , (是虚物) ,再经过透镜前表面折射成像于 Q2 (见图 11 丙所示) ,再由球面折
射成像公式

n1 n2 1 , ? ? (n1 ? n2 ) ,这时入射光一侧折射率,折射光一侧折射率(是空气) u v R
n 1 1 ? ? (1 ? n) u 2 v2 ?r

入射光由球心射向顶点,故 R 值取负值。所以可写出

代入前面得到的关系可得 ?

n 1 n ?1 (3)这是第三次成像,由(1) 、 (2)两式可解 ? ? u1 v2 r

29

得 1 ? n ? 3n ? 1 (4) ,再把(4)式和(3)式相加,可得 1 ? 1 ? 2(2n ? 1) (5)

u

v1

r

u

v2

r

? 在同一竖直平面内,这就要求 u2 为使物点 Q 与像点 Q2

? ?v1 代入(5)是可解得物距为

u?

r 2n ? 1

说明:由本题可见,观察反射像,调整物距,使反射像与物同在同一竖直平面内,测出物距 P,根据上式就可利用已知的透镜折射率 n 求出透镜球面的半径 r,或反过来由已知的球面 半径 r 求出透镜的折射率 n。

例 2、 显微镜物镜组中常配有如图 12 所示的透镜, 它的表面是球面, 左表面

S1 的球心为 C ,
1

半径为 R1 ,右表面 S 2 的球心为 C 2 ,半径为 R2 ,透镜玻璃对于空气的折射率为 n,两球心 间的距离为 C1C 2

?

R2 n

。在使用时,被观察的物位于 C1 处,试证明

1、从物射向此透镜的光线,经透镜折射后,所有出射光线均相交于一点 Q。 2、 QC 2 ? nR2 。

?
C1 C 2

?
C1 C 2

r

S1
图 12

透镜主轴

?i

O

S2

图 13

解: 首先考虑 S 1 面上的折射, 由于物在球心处, 全部入射光线无折射地通过 S 1 面, 所以对 S 2 来说,物点就在 C1 处。再考虑到 S 2 面上的折射。设入射光线与主轴的夹角为 θ,入射点为 P,入射角为 i,折射角为 r,折射线的延长线与主轴的交点为 Q 如图 13,则由折射定律知

sin r ? n sin i ,在 ?C1C2 P 中应用正弦定理得

C1C2 C2 P ? sin i sin?

已知

C1C 2 ?

R2 n

由此得

R2 / n R ? 2 s in i s in ? , sin? ? n sin i ? sin r 。所以 r ? ?

设 CP 与主轴的夹角为 α,则有 ?

?? ? i ? r ? i

显然,θ≠0 时,r<α,因此出射线与主轴相交之点 Q 必在透镜左方。

30

θ 为 ?QC1 P 的外角, ? ? ? ? ?QPC1. ? r ? (r ? i) ? i 在 ?QC 2 P 中应用正弦定理,得

QC 2 R ? 2 sin r sin ?

, QC 2 ? R2

sin r ? nR2 sin i

QC 2 的数值与 θ 无关,由此可见,所有出射线的延长线都交于同一点,且此点与 C 2 的距
离为 nR2 。

例 3、有一薄透镜如图 1-4-14, S 1 面是旋转椭球面(椭圆绕长轴旋转而成的曲面) ,其焦点 为 F1 和 F2 ; S 2 面是球面,其球心 C 与 F2 重合。已知此透镜放在空气中时能使从无穷远 处于椭球长轴的物点射来的全部入射光线(不限于傍轴光线)会聚于一个像点上,椭圆的偏 心率为 e。 (1)求此透镜材料的折射率 n(要论证) ; (2)如果将此透镜置于折射率为 n? 的介质中,并能达到上述的同样的要求,椭圆应满足 什么条件?
P
N

i
S1
S2

S1

S2

C
F1
F2

rr
F1

l

?

C F2

图 14

图 15

分析:解此题的关键在于是正确地运用椭圆的几何性质及折射定律。 解: (1)根据题设,所有平行于旋转椭球长轴的入射光线经旋转椭球面和球面两次折射后全 部都能会聚于同一像点, 可作出如下论证: 如果经椭球面折射后射向球面的光线都射向球心 C,即射向旋转椭球面的第二焦点 F2 ,则可满足题设要求。光路图如图 1-4-15 所示:PA 为 入射线,AC 为经椭球面折射后的折射线,BN 为 A 点处椭球面的法线,i 为入射角,r 为折 射角。根据椭圆的性质,法线 BN 平分 ?F1 AF2 ,故 AF1 与法线的夹角也是 r,由正弦定 律可得

F1 A sin i F A ? F2 A 2a 1 F A sin i ? ? n, 2 ? ? ? ? n ,从而可求得 n ? 1 F1 B sin r F1 A ? F2 B 2c e F2 B sin r

2a 为长轴的长度,2c 为焦点间的距离;即只要 n 满足以上条件,任意入射角为 i 的平行于
31

旋转椭球长轴的入射光线都能会聚于 C(即 F2 )点。 (2)如果透镜置于折射率为 n ? 的介质中,则要求 sin i ? n ? 1 ,即椭圆的偏心率 e 应满

sin r

n?

e



e?

n? 。由于椭圆的 e<1,如果 n? ? n 就无解。只要 n? ? n ,总可以找到一个椭球 n

面能满足要求。

例 4、 (1)图 16 所示为一凹球面镜,球心为 C,内盛透明液体。已知 C 至液面高度 CE 为 40.0cm,主轴 CO 上有一物 A,物离液面高度 AE 恰好为 30.0cm 时,物 A 的实像和物处于同 一高度。实验时光圈直径很小,可以保证近轴光线成像。试求该透明液体的折射率 n。 (2)体温计横截面如图 17 所示,已知细水银柱 A 离圆柱面顶点 O 的距离为 2R,R 为该圆 柱面半径,C 为圆柱面中心轴位置。玻璃的折射率 n=3/2,E 代表人眼,求图示横截面上人 眼所见水银柱像的位置、虚像、正倒和放大倍数。

C A
光圈

n

E
O

R C 2R
图 17

O

E

图 16

解: (1)主轴上物 A 发出的光线 AB,经液体界面折射后沿 BD 方向入射球面镜时,只要 BD 延长线经过球心 C,光线经球面反射后必能沿原路折回。按光的可逆性原理,折回的光线相 交于 A(图 18) 。对空气、液体界面用折射定律有 sin i

? n ? sin r
CE 40.0

n? ? ? 1.33 sin i BE / AB AE 30.0 n? ? ,当光圈足够小时,B→E,因此有 sin r BE / CB

r

C A

B? B A?

i i B E D O
图 18

n
i

P

r ? ni Q
O

A i C
图 19

E

32

(2)先考虑主轴上点物 A 发出的两条光线,其一沿主轴方向 ACOE 入射界面,无偏折地出 射,进入人眼 E。其二沿 AP 方向以入射角 i 斜入射界面 P 点,折射角为 r。折射光线 PQ 要 能进入人眼 E,P 点应非常靠近 O 点,或说入射角 i 折射角 r 应很小。若角度以弧度量度, 在小角(近轴)近似下,折射定律 n sin i ? sin r 可写为 r ? ni 。这两条光线反向延长,在 主轴上相交于 A? , A? 即为物 A 之虚像点(图 19) 对 ?APA? 用正弦定律,得

sin ?A?PA sin(? ? i) sin i ? ? A?A A?P A?P

在小角(近轴)近似下: sin ?A?PA ? ?A?PA ? ni ? i , sin i ? i , A?P ? A?D 上式可写为

ni ? i i ,解上式得 2R 2R ? A?O ? ? ? 4R A?O ? 2 R A?O 2 ? n 2 ? 3/ 2

为了分析成像倒立和放大情况,将水银柱看成有一定高度的垂轴小物体 AB,即然 A ~ A? 是 一对共轭点,只要选从 B 发出的任一条光线经界面折射后,反向延长线与过 A? 垂轴线相交 于 B? , B? 是点物 B 虚像点,即 A?B? 是物 AB 之正立虚像。选从 B 点发出过圆柱面轴心 C 之光线 BC。该光线对界面来说是正入射(入射角为零) ,故无偏折地出射,反向延长 BC 线 交过 A? 垂轴线于 B? ,从 ?A?B?C ? ~ ?ABC 得放大率= A?B ? ? A?C ? 3R ? 3

AB

AC

R

33

几何光学 § 5 透镜成像 5.1 透镜成像作图 (1)三条特殊光线 ①通过光心的光线方向不变; ②平行主轴的光线,折射后过焦点; ③通过焦点的光线,折射后平行主轴。

OO ? 与焦平面 MM ? (2) 一般光线作图: 对于任一光线 SA, 过光心 O 作轴 OO’平行于 SA,
交于 P 点,连接 AP 或 AP 的反向延长线即为 SA 的折射光线。

S
F1

F2

S
F1
F2

A
S
O

P F

M O? M?
图1

M
S
F1

M P O
F2

O?

M?

M?

像与物的概念: 发光物体上的每个发光点可视为一个“物点”即“物”。 一个物点上发出的光束, 经一系列光学系统作用后,若成为会聚光束,则会聚点为物的实像点;若成为发散光束,则 其反向延长线交点为物的虚像点;若为平行光束则不成像。

5.2 薄透镜成像公式 薄透镜成像公式是:

1 1 1 ? ? u ? f
2

式中 f、 u、 v 的正负仍遵循“实正、 虚负”的法则。 若令 x ? u ? f ,x? ? ? ? f , 则有 xx ? ? f

该式称为“牛顿公式”。式中 x 是物到“物方焦点”的距离, x ? 是像到“像方焦点”的距离。从物 点到焦点,若顺着光路则 x 取正,反之取负值;从像点到焦点,若逆着光路则 x ? 取正值,

34

反之取负值,该式可直接运用成像作图来推导,请自行推导,从而弄清 x, x ? 的意义。下面 用牛顿公式讨论一个问题。 一个光源以 v=0.2m/s 的速度沿着焦距 f=20cm 的凸透镜向光心运动,当它经过距光心

u1 ? 30cm 和 u 2 ? 15cm 的两点时,求像所在的位置及速度。 x1 ? u1 ? f ? 10cm , x2 ? u 2 ? f ? ?5cm ? ? 40cm ,x? ? ? f ? 60cm , ? ? f ? ?60cm , ? ?80cm , ?1 ? x1 ? 2 ? x2 2 代入牛顿公式得 x1

? 、 x2 ? 意义如图 2 所示。 上述 x1 、 x 2 、 x1

x1 ? 0 x2 ? 0

? S2 S1

F2

S1?
??0 x1

F1 S 2 O

? ?0 x2
图2

设 在 △t 时 间 内 , 点 光 源 的 位 移 为 △x , 像 点 的 位 移 为

?x? , 有

f2 f 2 ( x ? ?x) , x ? ? ?x ? ? ? 2 x ? ?x x ? ?x 2
当 △t→0 时 △x→0 , 略 去 △x 的 二 阶 小 量 , 有 x ? ? ?x ? ? f
2

x

?

f 2 ?x f 2 ?x , ? ? x ? x2 x2

?x ? ?

?x? x? ?x x? f 2 ? ?x x ? ? ? ? ?? ? ? ?x , ? ? ? 2 ?t x ?t x x x

? ? 0.8m / s ,? 2 ? ? 3.2m / s 。像移动方向与移动方 ? 、 x2 ? 的值代入,求得?1 将 x1 、 x 2 、 x1
向相同。

“实正、虚负”法则:凸透镜焦距取正值,凹透镜焦距取负值;实像像距取正值,虚像像距取 负值。实物物距取正值,虚物物距取负值。 实物与虚物:发散的入射光束的顶点(不问是否有实际光束通过此顶点)是实物;会聚的入 射光束的顶点(永远没有实际光束通过该顶点)是虚物。假定 n? ? n ,P 为实物, P? 为虚

35

像使所有光线都循原路沿相反方向进行,如将(a)反向为(b)图所示,则 P0 表示光线在 未遇凸面镜之前是会聚的, P0 为虚物 P0 均为实物。

?

n
P
(a)

n?

P? O
图3

O P0
(b)

P0?

5.3 组合透镜成像 B 两片薄透镜构成一个透镜组 如果由焦距分别为 f 和 f 的 A、 1 2 (共主轴)将一个点光源 S 放在主轴上距透镜 u 处,在透镜另 一侧距透镜 v 处成一像 S ? (图 4)所示。对这一成像结果,可 以从以下两个不同的角度来考虑。 u

A B
S S?

v
图4

因为 A、B 都是薄透镜,所以互相靠拢地放在一起仍可看成一个薄透镜。设这个组合透镜的 焦距是 f,则应有

1 1 1 ? ? ① u ? f

B 两个透镜依次成像的结果。 另一个考虑角度可认为 S ? 是 S 经 A、 如 S 经 A 后成像 S 1 , 设 S1 位于 A 右侧距 A 为 ? 处,应有
1

1 1 1 ? ? ②,因为 S 1 位于透镜 B 右侧 ? 1 处,对 B 为一虚 u ?1 f1 1 1 1 1 1 1 ④,比 ? ? ? ? ③,由②、③可解得 ? ?1 ? f2 u ?1 f1

物,物距为 ? ,再经 B 成像,所以
1

较①、④两式可知

1 1 1 1 ? ? ? u ? f1 f 2

如果 A、B 中有凹透镜,只要取负的 f 1 或 f 2 代入即可。

36

5.4 光学仪器的放大率 实像光学仪器的放大率 幻灯下、照相机都是常见的实像光学仪器。由于此类仪器获得的是物体的实像,因而放大率 m 一般是指所有成实像的长度放大率,即 v=mu。 如果有一幻灯机,当幻灯片与银幕相距 2.5m 时,可在银幕上得到放大率为 24 的像;若想得 到放大率为 40 的像,那么,假设幻灯片不动,镜头和银幕应分别移动多少?

根据第一次放映可知 ?

?u1 ? ?1 ? 2.5 ? ? ??1 ? m1u1 ? 24u1
u1?1 ? 0.096 m u1 ? ?1

可解得 u1 ? 0.1m , ?1 ? 2.4m , f ?

1 1 ?1 ? ? ? ? f 第二次放映 ? u 2 ? 2 ,可解得 u 2 ? 0.0 9 8 m 4 , ? 2 ? 3.94 m ? ? ?? 2 ? m2 u 2 ? 40u 2
比较 u1 和 u 2 ,可知镜头缩回 1.6mm;比较 ? 1 和 ? 2 ,可知银幕应移远 1.54m。

虚像光学仪器的放大率 望远镜和显微镜是常见的虚像光学仪器。 由于此类仪器得到的是物体的虚像, 目的是扩大观 察的视角,因此放大率 m 一般是指视角放大率。如果直接观察物体的视角为 α,用仪器观察 物体的视角为 β,那么 m=β/α

37

显微镜的放大率 如果有一台显微镜,物镜焦距为 f ,目镜焦距为 f ,镜筒长 L,若最后的像成在离目镜 d 1 2 处,试证明显微镜的放大率 m ?

Ld 。 f1 f 2
L


A
B2



F1

B1
?

F2
O2

B

O1

A1

A2

d
图5

显 微 镜 的 光 路 如 图 5 所 示 , AB 经 物 镜 Ⅰ 成 一 放 大 实 像 A B , 物 镜 的 长 度 放 大 率 1 1

m1 ?

A1 B1 B1O1 , 因 f 1 、f 2 相对 L 都较小, 而且 B 很靠近 F1 , 所以 B1O1 ? L ,BO1 ? f ? AB BO1

即 m1 ? L / f 1

A1 B1 位于目镜Ⅱ的焦点内,经目镜成一放大的虚像 A2 B2 (通常让 A2 B2 成在观察者的明视
距离 d 上) 。 因为 都是近 轴 光线 ,所 以此 时观察 者 从目 镜中 看到 A2 B2 的 视角 β 为

? ? tan ? ?

A2 B2 AB AB ? 1 1 ? 1 1 d B1O2 f2

若观察者不用显微镜,直接观看 AB 的视角 α 为 ? ? tan? ? 则显微镜的放大率 m m ?

AB d

? A1 B1 d Ld ? ? ? ? f2 AB f1 f 2

目镜的长度放大率为 m2 ? d / f 2 所以有 m ? m1m2

38

天文望远镜的放大率 如 果 天 文 望 远 镜 的 物 镜 焦 距 为 f1 , 目 镜 焦 距 为 f 2 , 试 证 明 天 文 望 远 镜 的 放 大 率

m ? f1 / f 2 。

A



B O1
s f1

?

B1 A1



?
f2

O2

图6

望远镜成像光路如图 6 所示,远处物体 AB 由物镜Ⅰ成像 A B ,然后再由目镜Ⅱ在远处成 1 1 一虚像 A2 B2 (图中未画出) ,观察者观察 A2 B2 的视角即为图中的 β, ? ? A1 B1 / f 2 。若不 用 望 远 镜 , 观 察 者 直 接 观 察 距 望 远 镜 S 远 处 的 物 体 AB 的 视 角 , 近 似 为 图 中 的

? ? AB / S ? A1 B1 / f 2
因此望远镜的放大率 m 为 m ?

f f ? A1 B1 ? ? 1 ? 1 ? f2 A1 B1 f2

39

5.5 常见的光学仪器 1、投影仪器 电影机、幻灯机、印相放大机以及绘图用的投影仪等,都属于投影仪器,它的主要部分是一 个会聚的投影镜头,将画片成放大的实像于屏幕上,如图 7。由于物距 u 略大于焦距 f,画 片总在物方焦平面附近,像距 υ?f,放大率 m ? ? / f ,它与像距 v 成正比。 一光学系统如图 8 所示,A 为物平面,垂直于光轴,L 为会聚透镜,M 与光轴成 45° 角的平 面镜。P 为像面,垂直于经平面镜反射后的光轴。设物为 A 面上的一个“上”字,试在图 9 中 实像面 P 上画出像的形状。




光画 镜片

A B C



P Q C?

B?

投影镜头

R?


A L M P

A M P
图9

P?

Q

R
u≈f
图7

A?
v

P?

图8

2、眼睛 眼睛是一个相当复杂的天然光学仪器。从结构 上看,类似于照像机,图 10 为眼球在水平方 向的剖面图。其中布满视觉神经的网膜,相当 于照像机中的感光底片,虹膜相当于照像机中 的可变光阑,它中间的圆孔称为瞳孔。眼球中 的晶状体是一个折射率不均匀的透镜,包在眼 球外面的坚韧的膜,最前面的透明部分称为角 膜,其余部分为巩膜。角膜与晶状体之间的部 分称为前房,其中充满水状液。晶状体与网膜之间眼球的内腔,称为后房,其中充满玻璃状 液。 所以, 眼睛是一个物、 像方介质折射率不等的例子。 聚焦光无穷远时, 物焦距 f=17.1mm, 像方焦距 f=22.8。眼睛是通过改变晶状体的曲率(焦距)来调节聚焦的距离。 眼睛肌肉完全松弛和最紧张时所能清楚看到的点, 分别称为它调节范围的远点和近点。 正常
图 10

H H?
角膜 虹膜 瞳孔 后房玻璃状液 晶状体 黄斑

巩膜 网膜

前房水状液

F

H H’

N?

F
盲点
视 神 经

40

眼睛的远点在无穷远。近视眼的眼球过长,无穷远的物体成像在网膜之前,它的远点在有限 远的位置。远视眼的眼球过短,无穷远的物体成像在网膜之后(虚物点) 。矫正近视眼和远 视的眼镜应分别是凹透镜和凸透镜。 所谓散光, 是由于眼球在不同方向的平面内曲率不同引 起的,它需要非球面透镜来矫正。

视角、视角放大:物体的两端对人眼光心所张的角度叫做视角,视角的大小跟物体的尺寸及 物体到人眼的距离有关。当两物点(或同一物体上的两点)对人眼视角大小 I ? (约

2.9 ? 10 ?4 md )时,才能被人眼区分。在看小物体时,为了增大视角就要缩短物眼间距离,
但当其小于人眼近点距离时,视网膜上所成的像反而模糊不清。为此,必须使用光学仪器来 增大视角。

A? B? A F? E BO
图 11

A F B
图 12

?

E

图 11 是人眼(E)通过放大镜观察物体 AB 的像 A?B? ,当人眼靠近光心时视角。

? ? ? ?A?OB? ?

A?B? AB ? B?O BO

若物体很靠近焦点,且成像于明视距离,则: B?O ? 25cm , BO ? f , ? ? ?

A?B ? AB ? B ?O f
AB 25cm

若不用放大镜将物体置于明视距离,如图 12,BE=25cm,则视角: ? ? ?AEB ?

把用光学仪器观察虚像所得视角 ? ?? 与将物体放在虚像位置上直接观察的视角 φ 的比值叫做 光学仪器的视角放大率。用 β 表示视角放大率,即有 ? ?

? ?? ?

AB 25cm 。 f 对于放大镜,有 ? ? ? AB f 25cm

41

3、显微镜 图 13 是显微镜成像原理图。 被观察物体 AB 置于物镜 L 焦点
1

外很靠近焦点处, (u ? f ) ,成放大实像 A?B? 于目镜 L 焦 1 1 2 点内靠近焦点处( u ? f ) ,眼睛靠近目镜 L 的光心可观察 2 2 到位于明视距离的虚像 A??B??

B? L

?

L2

A?

??
B??
图 13

L1 A B

A??

A?B ? AB ?? 显微镜的物镜视角放大率 ? ? ? 1 ? L ? f 1 ? L AB AB ?1 f1 L L

A?B ? A??B ?? ? ?? f2 25cm ? 1 未在图中画出。目镜放大率: ? 2 ? 2 ? 25 ? ? ? ? ? ? A B A B ?2 f2 25 25cm

? 2 未在图中画出。显微镜的视角放大率: ? ? ? 1 ? ? 2 ?

25 L f1 ? f 2

L,因此在计算放大率时用 L 代表物镜像距。通常显微镜焦距 式中 L 是镜筒长度。由于 f ? 2

f 1 很小,多为 mm 数量级,明镜焦距稍长,但一般也在 2cm 以内。

42

4、望远镜 望远镜用于观察大而远的物体,如图 14,图 15 分别表示开普勒望远镜和伽利略望远镜的光 路图。

B?? A
?

B?
F1 F2 ? ?

B A?
图 14

A?? B?
??

B?? A
?

B

F1 F2

A??
图 15

A?

两种望远镜都是用焦距较长的凸透镜做物镜。远处物体从同点发出的光线可近似为平行光, 因此将在物镜的焦平面上成一实像 A?B? 。开普勒望远镜的目镜也是凸透镜,其焦距较短, 物方焦平面和物镜的像方焦平面几乎重合。 结果, 以 A?B? 为物, 在无穷远处得到虚像 A??B?? 。 而伽利略望远镜的目镜则是凹透镜,当它的物方焦平面(在右侧)与物镜的像方焦平面重合 时,实像 A?B? 却成了虚物,经凹透镜折射成像 A??B?? 于无穷远处。 由图中看出伽利略望远镜观察到的像是正立的, 可用于观察地面物体, 而开普勒望远镜观察 到的像是倒立的, 只适合作为天文望远镜。 从图中的几何关系还可看出两种望远镜的视角放 大率均为: ? ?

f1 f2

还有一类望远镜的物镜是凹面镜, 称为反射式望远镜。 大型的天文望远镜都是反射式望远镜。

43

例题讲解: 例 1、如图 16。AB 为一线状物体, A1 B1 为此物经透镜所成的像。试用作图法确定此镜的位 置和焦距,写出作图步骤。

C
A A B
图 16

D
O

B1

N

B1 A1

M
B

F?

F
A1

E
图 17

分析:像 A1 B1 是倒像,所以透镜应是凸透镜。物 AB 和像 A1 B1 不平行,所以物相对于透镜 的主轴是斜放的,沿物体 AB 和其像 A1 B1 所引出的延长线的交点必在过光心且垂直于主轴 的平面上,这条特殊光线是解答本题的关键光线。 解: 作 AA1 和 BB1 的连线,两条连线的交点 O 就是凸透镜光心的位置。作 AB 和 A1 B1 的延 长线交于 C 点,C 点必定落在透镜上。由 C、O 两点可画出透镜的位置,过 O 点且与 CO 垂直的连线 MN 就是透镜的主光轴,如图 17 所示。过 A 点作平行于主光轴的直线交透镜于 D 点,连接 DA1 ,该连线与主光轴的交点 F 就是透镜的右焦点位置。过 A1 作平行于主光轴 的直线交透镜于 E 点,连线 EA 与主光轴的交点 F ? 就是透镜左焦点的位置所在。 点评:熟练掌握凸透镜、凹透镜的成像特点和规律,并能灵活运用特殊光线来作图是解决这 一类作图题的关键。

例 2、如图 18,MN 是凸透镜主光轴,O 为光心,F 为焦点,图中所画两条光线为点光源 S 经凸透镜折射的两条光线。用作图法确定光源 S 与像点 S ? 的位置。

S?

S
O

M

F
图 18

O

F

N

M

F
图 19

F

N

44

分析: 经凸透镜折射后的两条出射光线它们看上去是由像点发出来的, 所以两条出射光线的 反向延长线的交点就是像点 S ? 的所在位置。由于物点发出的过光心的光线不改变方向,由 此可以确定物点 S 落在 S ?O 直线上, S ? 与凸透镜右焦点 F 的连线交凸透镜于 P 点,由于物 点发出的平行于主光轴的光线经凸透镜折射后过 F 焦点,所以过 P 点作与主光轴 MN 的平 行线与 S ?O 相交处就是物点 S 所在位置。如图 19 所示。 解:反向延长两条出射光线,它们的交点就是像点 S ? ,分别作 S ? 和 O 的连线, S ? 和 F 的 连线且与凸透镜交于 P,过 P 点作与 MN 的平行线 PS 与 S ?O 交于 S,S 就是物点所在位置。 点评:正确理解像的物理意义,物与像之间的关系,才能顺利解答这类作图题。

例 3、在斯涅耳的档案中有一张光学图(图 20) ,由于墨水褪色只留下三个点;一个薄透镜 的焦点 F,光源 S 和透镜上的一点 L。此外还留下一部分从光源 S 画到其像 S ? 的直线 a。从 正文中知道 S 点比 S ? 点更靠近透镜,有可能恢复这张图吗?如果可能,把它画出来,并确 定图中透镜的焦距。

S S

a
2F

n2

n1
O2

a
F L
图 20

2F
图 21

F C

O1 L

解:1、令 O 为透镜的光学中心; 2、F 和 O 点应位于垂直于透镜的光轴上,因此 ?FOL 是直角; 3、连接光源及其像的直线总是通过透镜的光学中心; 4、连接 F,L 点并以线段 FL 的中点 C 为圆心,画一通过 F 及 L 点的圆; 5、由于一个圆的直径所对着的圆周角总是直角,可以判定 O 点位于圆和直线 a 的交点上; 6、从圆中找到 O 点的两个可能的位置( O1 和 O2 ) ; 7、恢复出两种可能的示意图,如图 21 所示; 8、由于光源 S 比其像 S ? 更靠近透镜,可以断定只有透镜 n1 符合题意。实际上,对透镜 n1 可

45

以看到 S 到 n1 的距离大于二倍焦距,因此 S ? 到 n1 的距离小于二倍焦距。

例 4、焦距均为 f 的二凸透镜 L1 、 L2 与两个圆形平面反射镜 M 1 、 M 2 放置如图 22。二透镜 共轴,透镜的主轴与二平面镜垂直,并通过二平面镜的中心,四镜的直径相同,在主轴上有 一点光源 O。

M1

L1

L2

M2 F2?
f
f 2

A
F1
f 2

F1?
f f f

O
f

F2
f

图 22

1、画出由光源向右的一条光线 OA(如图 22 所示)在此光学系统中的光路。 2、分别说出由光源向右发出的光线和向左发出的光线各在哪些位置(O 点除外)形成光源 O 的能看到的像,哪些是实像?哪些是虚像。 3、现在用不透明板把 L1 和 L2 的下半部(包括透镜中心)都遮住,说出这些像有什么变化。 解:1、光线 OA 的第一次往返光路如图 23 所示。当光线由图中左方返回经 O 点后,将继 续向右下方进行,作第二次往返。第二次往返的光路在图中未画出,可按图中光路对称于主 轴画出。以后,光线重复以上两种往返光路。

M1
P

L1

L2

M2 F2?
f 2

A
F1
f 2

F1?

Q

O

F2

图 23

2、向右发出的光线: F ? 处成实像,右方无限远处成虚像; F 处成实像;P 处( M 左方 f 2 1 1 处主轴上)成虚像。 向左发出的光线: F1 处成实像;左方无限远处成虚像; F2? 处成实像;Q 处( M 2 右方 主轴上)成虚像。
46

2

f 处 2

3、向右发出的光线只在 F ? 处成实像。向左发出的光线只在 F 处成实像。两像均比未遮住
2 1

时暗。

例 5、一平凸透镜焦距为 f,其平面上镀了银,现在其凸面一侧距它 2f 处,垂直于主轴放置 一高为 H 的物,其下端在透镜的主轴上(图 24) 。 (1)用作图法画出物经镀银透镜所成的像,并标明该像是虚、是实。 (2)用计算法求出此像的位置和大小。

H F 2f F/

图 24

分析: 这道题实质是一个凸透镜与一紧密接合的平面镜的组合成像问题。 虽然我们画不出光 线经透镜折射后射向平面镜的光路, 但光路仍然遵守凸透镜与平面镜成像规律。 成像的计算 也是遵守凸透镜与平面镜的成像计算方法的。 解: (1)用作图法求得物 AP 的像 A?P? 及所用各条光线的光路如图 25 所示。 LM P H F A P/ S T
图 25

Q A/

S/ F/

? ?

O

说明: 平凸透镜平面上镀银后构成一个由会聚透镜 L 和与它密接的平面镜 M 组合 LM, 如图 25 所示。图中 O 为 L 的光心, AOF ? 为主轴,F 和 F ? 为 L 的两个焦点,AP 为物。作图时 利用了下列三条特征光线: ①由 P 射向 O 的入射光线, 它通过 O 后方向不变, 沿原方向射向平面镜 M, 然后被 M 反射, 反射光线与主光轴的夹角等于入射角,均为 α。反射线射入透镜时通过光心 O,故由透镜射
47

出时方向与上述反射线相同,即图中的 OP ? 。 ②由 P 发出且通过 L 左方焦点 F 的入射光线 PFR,它经过 L 折射后的出射线与主轴平行, 垂直射向平面镜 M,然后被 M 反射,反射光线平行于 L 的主轴,并向左射入 L,经 L 折射 后的出射线通过焦点 F,即为图个中 RFP。 ③由 P 发出的平行于主轴的入射光线 PQ,它经过 L 折射后的出射线将射向 L 的焦点 F ? , 即沿图中的 QF ? 方向射向平面镜,然后被 M 反射,反射线指向与 F ? 对称的 F 点,即沿 QF

S ?OS 方向。 此反射线经 L 折射后的出射线可用下法画出: 通过 O 作平行于 QF 辅助线 S ?OS ,
通过光心,其方向保持不变,与焦面相交于 T 点。由于入射平行光线经透镜后相交于焦面 上的同一点,故 QF 经 L 折射后的出射线也通过 T 点,图中的 QT 即为 QF 经 L 折射后的出 射光线。 上列三条出射光线的交点 P? 即为 LM 组合所成的 P 点的像,对应的 A? 即 A 的像点。由图 可判明,像 A?P? 是倒立实像,只要采取此三条光线中任意两条即可得 A?P? ,即为正确的答 案。 (2)按陆续成像计算物 AP 经 LM 组合所成像的位置、大小。 物 AP 经透镜 L 成的像为第一像,取 u1 ? 2 f ,由成像公式可得像距 ?1 ? 2 f ,即像在平面 镜后距离 2f 处,像的大小 H ? 与原物相同, H ? ? H 。 第一像作为物经反射镜 M 成的像为第二像。第一像在反射镜 M 后 2f 处,对 M 来说是虚物, 成实像于 M 前 2f 处。像的大小 H ?? 也与原物相同, H ?? ? H ? ? H 。 第二像作为物,再经透镜 L 而成的像为第三像。这是因为光线由 L 右方入射。且物(第二 像)位于 L 左方,故为虚物,取物距 u 3 ? ?2 f ,由透镜公式

1 1 1 ? ? 可得像距 u3 ? 3 f

? ?
3

fu 3 ?0 u3 ? f
2 处,像的大小 f H ??? 可由 3

上述结果表明,第三像,即本题所求的像的位置在透镜左方距离

H ??? ? 3 1 1 1 1 ? ? 求得,即 H ??? ? H ?? ? H ,像高为物高的 。 H ?? u 3 3 3 3 3
48

例 6、如图 26 所示,凸透镜焦距 f=15cm,OC=25cm,以 C 为圆心、r=5cm 为半径的发光圆 环与主轴共面。试求出该圆环通过透镜折射后所成的像。 y,yˊ P C F O
图 26

F

x

C

F

O
图 27

F

xˊ Pˊ

分析:先考虑发光圆环上任意一点 P 经透镜所成之像,当 P 点绕圆环一周时,对应的像点 的集合就构成整个发光圆环通过透镜所成的像。因此可用解析几何的方法讨论本题。 解:如图 27 所示,以 O 点为直角坐标系原点建立坐标系 xOy 和 x ?Oy ? 。考虑发光圆环上任 一点 P(x,y) ,则有 ( x ? 25) 2 ? y 2 ? 5 2 ① 发光点 P(x,y)的像为 P?( x?, y ?) ,根据透镜成像公式及放大率关系可有

1 1 1 y ? x? 15 x ? ④, 15 y ? ⑤ ? ? ②, ? ③,联立②、③式解得 x ? y? x x? f y x x ? ? 15 x ? ? 15
将④、⑤式代入①式中并整理得

( x ? ? 45) 2 y?2 ? ? 1⑥ 15 2 (5 3 ) 2

⑥式即为所需求的圆环之像。 这是一个对称中心位于光心 45cm 处, 以主光轴为长轴的椭圆。 讨论:如果把发光圆环用一球壳取代,则根据对称性,球壳的像是以圆环的像绕主轴旋转一 周行成的一椭圆。 点评:曲线形线状物通过透镜所成的像也是一定曲线状,至于是什么样的曲线,要视具体情 况而定。 例如本题中的发光圆环所成的像变为一椭圆环就是一例。 本题的关键是要建立恰当 的物方和像方坐标系来球解问题。

49

例 7、求厚透镜对两个不同波长有同一焦距的条件。并且不同类型的透镜,讨论可行性。 解:我们必须知道厚透镜的性质。厚透镜由下述数据表征;球形表面的半径 r1 和 r2 ,厚度 d 和折射 n(图 28) ,焦距 f=BF 由下式给出

?1 1 1 ? n ?1? 1 ? ? (n ? 1) ? ? ? d ? ? ? f ? n ? r1 r2 ? ? r1 r2
焦距是从主点 B 算起的。B 离表面的距离为

r1

B d

A

r2 f

F

BA ? h ?

r2 d n(r1 ? r2 ) ? d (n ? 1)

图 28

上述公式对任意厚度的厚透镜都成立, 但只对近轴光线才给满意结果, 因为是在一定的近似 下得到的。 光被透镜色散。透镜对波长 ? 0 的折射率是 n a ,对波长 ? b 的折射率是 n b 。按折射率 n 的幂 次整理焦距公式,得 f (r ? r ? d )n 2 ? [2 fd ? f (r ? r ) ? r r ]n ? fd ? 0 1 2 1 2 1 2 这是一个二次方程。给定一个 f 值,应有两个 n 值,因此,我们的问题可以解决。 先后以 n a 和 n b 代入方程,并令其相等

?1 1 ?1 1 na ? 1 ? nb ? 1 ? ? ? ? (na ? 1)? ? ? d ? ? ( n ? 1 ) ? ? d ? b ?r r ?r r na r1 r2 ? nb r1 r2 ? 2 2 ? 1 ? ? 1 ?
整理后得到 r1 ? r2 ? d ?1 ? ? n n ? ? a b ? ? 如果半径 r1 , r2 与厚度 d 满足这一条件,则对两个不同的波长,即对两不同的折射率来说, 焦距是相同的。有趣的是折射率的乘积 n a n b 在起作用,而不是色散( nb ? na ) 。因折射率 大于 1,于是括号内的数值小于 1,说明半径之和小于镜厚。这意味着透镜将是相当厚的。 结果讨论:首先,透镜不可以是平凸或平凹的,因为这种透镜有无限大的半径。其次, r1 和

?

1 ?

r2 之一为负的发散透镜是许可的,但不能是双凹透镜。
如果要求的不是 f 而是(f-h)对两个折射率有相同的值。实现这一点也是可能的,但却是一 个复杂得多的问题。

50

例 8、一束平行光沿薄平凸透镜的主光轴入射,经透镜折射后,会聚于透镜后 f=48cm 处, 透镜的折射率 n=1.5。若将此透镜的凸面镀银,物置于平面前 12cm 处,求最后所成像的位 置。 分析: 平凸透镜的凸面镀银后将成为凹面镜, 我们可根据平凸透镜平行光汇聚的几何关系求 出凸球面的曲率半径 R,即求出凹面镜的焦距,根据平面折射成像及凹面镜成像的规律可进 一步求出最后所成像的位置。 解: (1)先求凸球面的曲率求径 R。平行于主光轴的光线与平面垂直,不发生折射,它在球 面上发生折射,交主光轴于 F 点,如图 29 所示,C 点为球面的球心, CO ? R ,由正弦定 理可得

R? f s inr sin i 1 , 当 i 、 r 很 小 时 , ,由折射定律知 ? ? sin r ? r , R s in r ( ? i) sin r n

f r n 1 ,所以 sin(r ? i) ? r ? i , sin i ? i 。 由 以 上 两 式 得 1 ? ? ? ? 1? R r ? i n ?1 n ?1
R ? (n ? 1) f

i
C

i

r r ?i E O
f

P? P??? P O C P?
图 30 12cm

图 29

(2)凸面镀银后将成为半径 R 的凹面镜,如图 30 所示令 P 表示物所在的位置,P 点经平面 折射成像于 P? ,根据折射定律可推出 P ?O ? n PO 。由于这是一个薄透镜, P? 与凹面镜的 距离可认为等于 P ?O ,设反射后成像于 P?? ,则由球面镜成像公式可得

1 1 2 ? ? , P?O P?O R

因此可解得 P?O ? 36cm ,可知 P? 位于平面的左方,对平面折射来说,是一个虚物,经平

??? 面折射后,成实像于点。 P O ? 1 , P ???O ? 24(cm) ,最后所成实像在透镜左方 24cm 处。 P ??O n

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