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2.1.1合情推理与演绎推理(3节 )


2.1.1 合情推理(1)——归纳推理 教学目标: 1、通过对已学知识的回顾,进一步体会合情推理这种基本的分析问题法,认识归 纳推理的基本方法与步骤,并把它们用于对问题的发现与解决中去。 2.归纳推理是从特殊到一般的推理方法,通常归纳的个体数目越多,越具有代表 性,那么推广的一般性命题也会越可靠,它是一种发现一般性规律的重要方法。 教学重点:了解合情推理的含义,能利用归纳进行简单的推理。 教学难点:用归纳进行推理,做出猜想。 课时安排:1 课时 课 型:新授课

教学方法:讲授法 教具准备:计算机。 教学过程: 引入: 从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。 1.蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的,蜥蜴是用肺呼吸的。 猜想:蛇,鳄鱼,海龟,蜥蜴都是爬行动物,所有的爬行动物都是用肺呼吸的。 2.三角形的内角和是 180? ,凸四边形的内角和是 360? ,凸五边形的内角和是 540? 猜想:凸边形的内角和是 (n ? 2) ?180? 3.哥德巴赫猜想:观察 4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ??, 50=13+37, ??, 100=3+97, 猜测:任一偶数(除去 2,它本身是一素数)可以表示成两个素数之和. 新课讲解: 1.归纳推理含义 这种由某类事物的部分对象具有某些特征 ,推出该类事物的全部对象都具有 这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理 ,称为归纳推理.(简称归
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纳). 简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理. 讨论: 1)由铜、铁、铝、金、银能导电,能归纳出什么结论? 2)统计学中,从总体中抽取样本,然后用样本估计总体,是否属归纳推理? 3)归纳推理的结果是否正确?(不一定) 2. 例题解析: 例 1.已知数列 ?an ? 的第 1 项 a1 ? 2 ,且 an ?1 ?
an (n ? 1, 2,?) ,试归纳出通项公式. 1 ? an

分析思路:试值 n=1,2,3,4 → 猜想 a n →如何证明:将递推公式变形,再构 造新数列) 第 n 项与序 n 号的关系? 巩固练习:
1 1 1 3 5 ? ? ? ??? ? n ( ? N? , ) 经 计 算 : f (2) ? , f (4) ? 2, f (8) ? , 1 、 已 知 f (n ) ? 1 2 3 n 2 2 7 f (16) ? 3, f (32) ? ,推测当 n ? 2 时,有__________________________. 2 3 3 2、已知: sin 2 30? ? sin 2 90? ? sin 2 150? ? , sin 2 5? ? sin 2 65? ? sin 2 125? ? 。 2 2

观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题,并证明之。 3、观察(1) tan10? tan 20? ? tan 20? tan 60? ? tan 60? tan10? ? 1 (2) tan 5? tan10? ? tan10? tan 75? ? tan 75? tan 5? ? 1 。 由以上两式成立,推广到一般结论,写出你的推论。 注:归纳推理的几个特点: 1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容 的范围. 2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜 测性. 3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上. 归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上.提出带有规律性的结
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论. 小结:①归纳推理的要点:由部分到整体、由个别到一般;②典型例子:哥德巴 赫猜想的提出;数列通项公式的归纳. 作业:优化 28 板书设计:2.1.1 归纳推理(1) 定义: 步骤: 教学反思: 例1

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2.1.1 合情推理(2)——类比推理 教学目标: 1、通过对已学知识的回顾,进一步体会合情推理这种基本的分析问题法,认识类 比推理的基本方法与步骤,并把它们用于对问题的发现与解决中去。 2、类比推理是从特殊到特殊的推理,是寻找事物之间的共同或相似性质,类比的 性质相似性越多,相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关,从而类比得出 的结论就越可靠。 教学重点:了解合情推理的含义,能利用类比进行简单的推理。 教学难点:用类比进行推理,做出猜想。 课时安排:1 课时 课 型:新授课

教学方法:讲授法 教具准备:计算机 教学过程: 引入: 鲁班由带齿的草叶发明锯;人类仿照鱼类外形及沉浮原理,发明潜水艇;地球 上有生命,火星与地球有许多相似点,如都是绕太阳运行、扰轴自转的行星,有 大气层,也有季节变更,温度也适合生物生存,科学家猜测:火星上也可能有生 命存在. 以上都是类比思维,即类比推理。 新课: 1. 类比推理概念: 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征, 推出另一类对象也具有这些特征的推理称类比推理. 简言之,类比推理是由特殊 到特殊的推理. 2.练习: 1)圆有切线,切线与圆只交于一点,切点到圆心的距离等于半径 . 由此结论如何 类比到球体?
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2)平面内不共线的三点确定一个圆,由此结论如何类比得到空间的结论? 3)由圆的一些特征,类比得到球体的相应特征. (教材 P73 探究 生填表) 小结:平面→空间,圆→球,线→面.

例题解析: 例 1.类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质. (得到如下表格) 类比角度 运算结果 运算律 实数的加法 若 a, b ? R, 则 a ? b ? R
a?b ?b?a (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

实数的乘法 若 a, b ? R, 则 ab ? R
ab ? ba (ab)c ? a (bc )

加法的逆运算是减法,使 逆运算 得方程 a ? x ? 0 有唯一解
x ? ?a

乘法的逆运算是除法, 使得方程 ax ? 1 有唯一解
x? 1 a

单位元

a?0?a

a ?1 ? 1

例 2.类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想. 思维: 直角三角形中
?C ? 900 ,

→ → →

3 个面两两垂直的四面体
?PDF ? ?PDE ? ?EDF ? 900

3 条边的长度 a, b, c , 2 条直角边 a , b 和 1 条斜边 c ;→

4 个面的面积 S1 , S2 , S3 和 S

3 个“直角面” S1 , S2 , S3 和 1 个“斜面” S

拓展:三角形到四面体的类比. 推理的一般步骤: 从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想 合情推理的概念:归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、 比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,统称为合情推理. 小结:归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,
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再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,统称为合情推理. 作业:优化 30 板书设计:2.1.1 类比推理(2) 定义: 步骤: 教学反思: 2.1.2 教学目标: 1.了解演绎推理的含义。 2.能正确地运用演绎推理进行简单的推理。 3.了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。 教学重点:了解演绎推理的含义,能利用“三段论”进行简单的推理. 教学难点:分析证明过程中包含的“三段论”形式. 课时安排:1 课时 课 型:新授课 演绎推理 例1

教学方法:讲授法 教具准备:计算机 教学过程: 复习:合情推理 归纳推理 类比推理 从特殊到一般 从特殊到特殊

过程:从具体问题出发――观察、分析比较、联想――归纳、类比――提出猜 想 引入:观察与思考 1.所有的金属都能导电 铜是金属,
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所以,铜能够导电 2.一切奇数都不能被 2 整除, (2100+1)是奇数, 所以, (2100+1)不能被 2 整除。 3.三角函数都是周期函数, tan 是三角函数, 所以,tan 是周期函数。 讨论:像这样的推理是合情推理吗? 新课: 1.演绎推理概念:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理 称为演绎推理。要点:指一般到特殊的推理。 上例中有三段,称为“三段论” 。大前提,小前提,结论。 (学生完成上题中个名 称) “三段论”是演绎推理的一般模式; (1)大前提——已知的一般原理; (2)小前提——所研究的特殊情况; (3)结论——据一般原理,对特殊情况做出的判断. 讨论:演绎推理怎样才结论正确?(只要前提和推理形式正确,结论必定正确) 演绎推理与合情推理有什么区别?(p81) 2.例题解析: 例 1.证明函数 f ?x? ? ? x 2 ? 2x 在 ?? ?,1? 上是增函数. 指出:大前题、小前题、结论. 师板演:证明方法(定义法、导数法) “三段论”表示为: M—P(M 是 P) S—M(S 是 M) (大前提) (小前提)
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S—P(S 是 P) (结论)

例 2.在锐角三角形 ABC 中, AD ? BC, BE ? AC ,D,E 是垂足. 求证:AB 的中 点 M 到 D,E 的距离相等. 指出:大前题、小前题、结论. 分析:证明思路 板演:证明过程 解: (1)因为有一个内角是只直角的三角形是直角三角形,——大前提 在△ABC 中,AD⊥BC,即∠ADB=90°——小前提 所以△ABD 是直角三角形——结论 (2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,——大前提 因为 DM 是直角三角形斜边上的中线,——小前提
1 AB——结论 2 1 同理 EM= AB 2

所以 DM=

所以 DM=EM. 练习:第 81 页 练习第 1 题 小结:演绎推理特点;演绎推理错误的主要原因是 1.大前提不成立;2, 小前提不符合大前提的条件。 作业:优化 板书设计:2.1.2 演绎推理 定义: 一般模式: 教学反思: 例1 例2

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