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第十五届应用竞赛初赛试题及参考解答


第十五 第十五届北京高中数学知识应用竞赛 初赛试题及参考解答
一、 (满分 20 分)在测量课上,老师交给的 任务是测量楼前旗杆的高度。小王灵机一动,想 出了如下的测量法:请同学小李当“参照物”站 在旗杆下,在离旗杆较近的地方,用手机拍下小 李和旗杆的照片,如图所示。然后把照片放在计 算机的屏幕上,量出旗杆有 6.3 个小李的高度, 小李的身高为 1.65 米, 于是得到旗杆的高度约为 6.3×1.65=10.4(米) (1) 你认为这种测量方法如何?如认为正 确,请说明理由以及这种方法的优点;如认为有 问题,请说明问题出在何处,结果偏大还是偏小? (2) 你认为测量中如何做就能减少误差,得到正确的结果? 参考解答: (1) 这个方法虽然操作简单易行,但却是有问题的,这样得到的结果, 与实际真实的结果相比,偏小。照相者离旗杆越近,误差越大。事实上,从 这张照片上可以看到,同样大小的窗户框,其高度在照片上看,四层的只有 一层的 70%,这符合“近大远小”的视觉规律。因此旗杆下面的“一人高”和 旗杆顶端的“一人高”对应的真实高度是不一样的,小王却把它当成一样的计 算了。而顶端的“一人高”比下端的一人高所对应的实际尺寸要大,故小王的 结果偏小了。 (2) 减少误差的思路有两种,一是远离旗杆,用长焦镜头拍照。这时摄 影者到旗杆底部和到旗杆顶部的距离差会缩小, 从而减少误差。 但也要注意, 距离远了,旗杆和人像也会变小,观察度量长度时的误差也会变大。二是考 虑“近大远小”的变化率,比如可以根据图片量出,旗杆下端一米对应 a 毫 米,旗杆顶端用国旗的实际宽度算出一米对应 b 毫米,可以认为整个旗杆平 均一米等于图中的(a+b)/2 毫米,于是用旗杆在照片上的总长度(毫米) , 除以(a+b)/2 就是旗杆的真实高度(米) 。
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二、 (满分 20 分)人们日常生产的产品——大到飞机、汽车,小到锅碗 瓢盆——其表面通常是由一些光滑的曲面拼接而成的。 在不同曲面的衔接处, 我们往往也希望它是光滑的。如何能做到这一点呢? 为简单起见,我们只考虑平面上两条光滑曲线在衔接点是光滑(没有尖 角)的。 1.给定平面上两条光滑的曲线,它们在某一点衔接。请你给出一个标准 (即给出定义) ,用它来说明,在这个衔接点是光滑的。 2.给定平面直角坐标系,在 x=2 左侧的曲线是函数 y=x2?x+c(x≤2)的 图像,其中 c 是参数,在 x=2 右侧的曲线是函数 y=alnx(x≥2)的图像,其 中 a 是参数。请你选择适当的参数 a,c(即,选择 x=2 左右两侧适当的曲线) 使得在 x=2 时上述两条曲线衔接,且在衔接点满足你所给出的光滑标准。 参考答案 1. 两条光滑曲线在衔接点是光滑的, 就是衔接后的整条曲线在该点的切 线存在。等价于原来的两条曲线在衔接点的切线重合,即两个函数在该点的 导数相等。 2.在直线 x=2 左侧的曲线 y=x2?x+c(x≤2)的导数是 2x?1,在 x=2 的值 都是 3,和参数值 c 无关。在 x=2 右侧的曲线 y=alnx(x≥2)的导数是 x=2 的值是

a ,在 x

a 。 2 根据刚刚给出的定义,为了保证两条曲线衔接后在衔接点处是光滑的, a =3,解得 a=6。 2 选择在直线 x=2 右边的曲线为函数 y=6lnx(x≥2)的图像。由于 x=2 时的

要求这两个值相等,即要求

函数值为 6ln2,所以两条曲线的衔接点为(2,6ln2)。 为 使 左 边 的 曲线 y=x2?x+c( x≤2 ) 也 过 点 (2,6ln2), 则 选 取 c, 满足 22?2+c=6ln2。解得 c=6ln2?2。 三、 (满分 20 分)2011 年 8 月 7 日,D22 次列车(长春—北京动车组, 经停站:长春—四平—铁岭—沈阳北—盘锦北—北戴河—滦县—北京)上的 一位乘客记录下了列车运行全程的时刻与速度对应表如下(速度单位:千米/ 小时) :
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时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度

15:18 0 15:36 161 15:48 155 16:01 155 16:16 126 16:28 160 16:41 156 16:59 35 17:12 158 17:24 155 17:38 46 17:51 240 18:03 240 18:17 239 18:32 239 18:46 218 18:59 203 19:11 239

15:25 130 15:37 157 15:50 160 16:04 136 16:17 156 16:30 160 16:42 156 17:00 0 17:13 162 17:27 106 17:39 54 17:52 238 18:04 239 18:21 108 18:34 239 18:47 217 19:00 238 19:47 163

15:26 158 15:38 161 15:51 157 16:05 65 16:18 155 16:31 161 16:43 156 17:02 92 17:14 163 17:28 56 17:41 124 17:53 238 18:06 239 18:22 66 18:35 227 18:49 218 19:01 239 19:48 54

15:27 156 15:40 161 15:52 159 16:06 36 16:20 144 16:32 161 16:45 156 17:03 109 17:16 98 17:30 41 17:42 155 17:54 240 18:07 224 18:23 25 18:36 216 18:50 223 19:02 237 19:50 34

15:28 154 15:41 161 15:53 160 16:08 12 16:21 156 16:33 158 16:46 156 17:04 161 17:17 124 17:31 43 17:43 157 17:56 240 18:09 239 18:25 0 18:37 227 18:51 214 19:04 239 19:51 4

15:30 156 15:42 161 15:55 156 16:09 0 16:22 156 16:35 161 16:47 157 17:06 152 17:18 163 17:32 10 17:44 158 17:57 238 18:11 238 18:26 62 18:39 238 18:52 218 19:05 239 19:52 0

15:31 162 15:43 161 15:56 156 16:10 0 16:23 155 16:36 155 16:48 156 17:07 163 17:19 136 17:33 0 17:46 184 17:58 239 18:12 239 18:27 91 18:40 237 18:54 236 19:06 238 19:53 0

15:32 161 15:45 152 15:57 160 16:12 43 16:25 156 16:37 161 16:50 146 17:08 163 17:21 124 17:35 0 17:47 220 17:59 236 18:13 239 18:29 154 18:42 216 18:55 240 19:07 239 19:54 0

15:33 152 15:46 161 15:58 161 16:13 77 16:26 156 16:38 161 16:56 104 17:09 158 17:22 157 17:36 34 17:48 238 18:01 238 18:14 235 18:30 199 18:44 216 18:56 216 19:09 239 19:55 0

15:35 160 15:47 161 16:00 156 16:15 117 16:27 156 16:40 161 16:57 108 17:11 163 17:23 155 17:37 40 17:49 239 18:02 238 18:16 239 18:31 230 18:45 218 18:57 213 19:10 239 19:57 0

第十五届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题

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时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度

19:58 0 20:11 161 20:25 117 20:39 147 20:51 163 21:04 201 21:16 188 21:29 204 21:41 86

19:59 38 20:12 158 20:27 97 20:40 163 20:53 164 21:05 204 21:18 204 21:30 203 21:45 114

20:01 68 20:13 158 20:28 38 20:41 148 20:54 163 21:06 204 21:19 204 21:31 200 21:46 70

20:02 72 20:14 164 20:30 0 20:43 153 20:55 159 21:08 200 21:20 204 21:33 136 21:47 39

20:03 155 20:16 164 20:31 27 20:44 159 20:56 165 21:09 203 21:21 204 21:34 118 21:49 38

20:04 159 20:17 159 20:33 100 20:45 163 20:58 203 21:10 204 21:23 204 21:35 105 21:50 31

20:06 158 20:18 165 20:34 106 20:46 163 20:59 204 21:12 204 21:24 202 21:36 119 21:51 27

20:07 164 20:19 164 20:35 107 20:48 158 21:00 204 21:13 203 21:25 204 21:38 119 21:52 14

20:08 164 20:21 159 20:36 153 20:49 151 21:01 204 21:14 186 21:26 203 21:39 104

20:09 164 20:22 158 20:38 164 20:50 154 21:03 204 21:15 198 21:28 204 21:40 109

根据这张数据表,请你回答下列问题: (1) D22 列车运行的总路程大概是多少?借助网络查阅一下具体的数值, 如果有误差,请分析一下原因。 (2) 19:11~19:47 时间段内列车没有显示数据,因此数据缺失。请推算一 下,此间的平均速度。 (3) 画出列车在不同时间运行的速度曲线,描述列车全程的运行动态。 参考解答: (1) 设时间为 t,t 时刻的速度为 v(t),D22 次列车经停站为长春、四平、 铁岭、沈阳北、盘锦北、北戴河、滦县、北京,将这些站分别记作 A,B,C, D,E,F,G,H,相邻经停站间的距离分别记为|AB|,|BC|,|CD|,|DE|,|EF|, |FG|,|GH|。 方法 1:将总路程分为七段,求出每一段内记录下的所有 m 个速度值的 和,在用这个和除以 m 得到商,把这个值当做这一段的平均速度。 这七段的平均速度分别为:142.9189,138.2286,120.4800,186.3421, 196.0732,130.6087,153.0313。
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再根据记录中这七段前后的两个时刻得到每一段行车用时,进而得到这 七 段 的 距 离 分 别 为 |AB|=128.6270 , |BC|=115.1905 , |CD|=66.2640 , |DE|=155.2851,|EF|=284.3061,|FG|=69.6580,|GH|=209.1427。于是 D22 次 列车运行的总路程为 d1=1028.5 千米。 方法 2: (积分的思想) ,将所给相邻两个时刻间作为一小段时间,用这 小段时间末端的速度当作这小段区间上的平均速度,即设区间[t(i), t(i+1)]上 的平均速度为 v(i+1), 由此计算出 D22 次列车运行的总路程为 d2=1053.9 千米。 方法 3: (积分的思想) ,将所给相邻两个时刻间作为一小段时间,用这 小段时间前端的速度当作这小段区间上的平均速度,即设区间[t(i), t(i+1)]上 的平均速度为 v(i),由此计算出 D22 次列车运行的总路程为 d3=1043.2 千米。 方法 4: (积分的思想) ,将所给相邻两个时刻间作为一小段时间,用区 间端点的平均速度当作这小段区间上的平均速度,即设区间[t(i), t(i+1)]上的 平均速度为 千米。 网络数据:长春到北京的火车距离为 d=1003 千米。 |d + d | 距离误差百分比定义为 i 。 d 上述四种算法的距离误差百分比分别为 0.0254 , 0.0508, 0.0401, 0.0454。 误差原因分析: 数据的误差可能来源于数据缺失,另一个重要原因是所估计的平均速度 的误差使得结果出现较大误差,速度区间的划分是比较关键的因素。 误差可能的原因为平均速度的假设过于粗糙,间隔大的数据对结果有影 响。
(2) 我们选用第一种距离估算方法,来研究 19:11~19:47 时间段内的缺 v(i ) + v(i + 1) ,由此计算出 D22 次列车运行的总路程为 d4=1048.6 2

失数据,假设缺失数据是导致总体距离误差的主要因素。 列车实际距离为精确的 1003 千米,按照第一种算法可估算出距离为
1028.5 千米,多走了 25.5 千米。该时间段经历时间为 36 分钟。用第一种算

法估计的平均速度为 196.0732 千米/小时, 于是知道这段缺失数据对应的更为 准确的平均速度 v 满足(196.0732?v)·36/60=25.5,解得
v=147.5732 千米/小时。

由此看出在这个时间段内有减速现象更为准确。 由第二种估计方法,得此段的平均速度 v 满足
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(163?v)×36/60=1053.9?1003 解得 v=78 千米/小时。 由第三种估计方法估计此段的平均速度 v 满足 (239?v)×36/60=1043.2?1003 解得 v=172 千米/小时。 由第四种估计方法估计此段的平均速度 v 满足 ((163+239)/2?v)×36/60=1048.6?1003 解得 v=125 千米/小时。 (3) 时间-速度图像如下: v
250 200 150 100 50

0

50

100

150

200

250

300

350

400

t

列车运行过程中因为有停靠站,共有七段运行过程。 在前三段基本为一个较慢的恒速:165 千米/小时;第三、四段运行在较 高的速度上:239 千米/小时;第六段和第七段的大约前四分之一又回到了较 慢的 165 千米/小时;第七段的中间时段(约占第七段的一半)的速度大约是 204 千米/小时;第七段的后四分之一是逐渐减速。 四、 (满分 20 分)AOBD 是从密度均匀、薄 厚一致、 半径为 r 的圆形纸板上剪下来的开角为 2θ A 的扇形纸板, 为对称轴。 OD 已知这块扇形纸板的 重心 Csec 位于距离圆心 O 为
D B

2r sin θ θ 的位置。请 3 θ O 你确定弓形纸板 ABD 的重心位置,即给出一个用 r 和 θ 表示的数学模型。
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参考解答:由图可知,扇形 OADB 是关于 OD 对称的。因此扇形的重心 应位于 OD 上,则重心在距离点 O 为 xsec= 的点 Csec 处。 扇形 OADB 可以分为三角形 OAB 和弓形 ADBE 两部分。 又知三角形 OAB 的重心位于对称轴 OD 上,与点 O 的距离为 xtei= 的点 Ctri 处。 显然弓形的重心 Cseg 也应该在半径 OD 上。设该点据圆心 O 点的距离为 xseg 根据假设,可知这三个重心的位置应与这个扇形以及组成它的三角形和 弓形的面积有关。有关系 Atri(Csec?Ctri)=Aseg(Cseg?Csec) 或者有 Atri(xsec?xtri)=Aseg(xseg?xsec)。 式中 Atri、Aseg 分别表示三角形和弓形的面积。显然如果用 Asec 表示扇形的面 积,应该有 Asec=Atri+Aseg。由此,前面的式子就可以改写成 Aseg·xseg=Asec·xsec? Atri·xtri 由此解得

2r sin θ 3 θ

2 r cos θ 3

xseg =
不难算出

Asec xsec ? Atri xtri Aseg

Asec=πr2θ/π=r2θ,Atri=r2sinθcosθ。 由此可得 Aseg=r2(θ?sinθcosθ)。代入上面的公式可以算出 xseg = 2r sin 3 θ 。 3 θ ? sin θ cos θ

五、 (满分 20 分)生物学家认为,正在休息时的温血动物体内消耗的能 量就是为了保持其体温。体内消耗的能量 E 与通过心脏的血流量 Q 成正比, 体重与体积成正比。已知一些动物的体重与脉搏率如表 1 所示:
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表 1 一些动物的体重和脉搏率 动物名 鼠 大鼠 豚鼠 兔 小狗 大狗 羊 马 体重(克) 25 200 300 2000 5000 30000 50000 450000 脉搏率 (心跳次数/分钟) 670 420 300 205 120 85 70 38

(1) 请你根据上面提供的生物学家的认识,给出血流量与体重关系的数 学模型。 (2) 从表 1 可以看到,体重 W 越轻的动物脉搏率 f 越高。请通过各量之 间的比例关系,建立脉搏率与体重关系的数学模型。 (3) 根据表 1,作出动物的体重和脉搏率的散点图,验证你建立的数学模 型。 名词解释:血流量 Q 是单位时间流过的血量,脉博率 f 是单位时间心跳 的次数。 假设:心脏每次收缩挤压出来的血量 q 与心脏大小成正比,动物的心脏 大小与其体积大小成正比。 参考解答: (1) 因为动物体温通过身体表面散发热量。表面积越大,散发的热量越 多,为保持体温需要的能量越大,所以动物体内消耗的能量 E 与其表面积 S 成正比。即 E=p1S。 又已知动物体内消耗的能量 E 与通过其心脏的血流量 Q 成正比,即 的 E=p2Q。 因此得 Q=pS。 另一方面,因为体积 V 与体重 W 成正比,可表为 V=r1W。而表面积 S 大 而 约与体积 V 的三分之二次方成正比,可表为 S=r2 V 。 因此得 S=r W 。所以血流量与体重关系模型:Q= k· W 。
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2 3 2 3 2 3

(2) 根据定义,有 f=
2

2 Q 。又根据假设,有 q=cW。再由(1)的结论 Q=k· W 3 q

Q Q kW 3 和 f= ,得 f= = ,也就是 q q cW f = k
1 3



W 这个脉搏率与体重关系的模型说明, 温血动物的体重越大, 脉搏率越底。 脉搏率与体重的三分之一次方成反比。 (3) 表 1 的数据基本上反映了这个反比例的关系。图 1 是原始数据的散 点图,图 2 是以 ln(W)和 ln(f) 为坐标的散点图。
700

600

500

400

300

200

100

0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5 x 10
5

图 1 脉搏率 f 与体重 W 的散点图
7

6.5

6

5.5

5

4.5

4

3.5

2

4

6

8

10

12

14

图 2 对数坐标下脉搏率 f 与体重 W 的散点图
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