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2013届高三理科数学高考专题训练19 特例检验型、逆向思维型、综合型 Word版含答案]


高考专题训练十九 特例检验型、逆向思维型、综合型
班级_______ 姓名_______ 时间: 45 分钟 分值: 100 分 总得分_______

1.(全国高考题)函数 f(x)=Msin(ωx+φ)(ω>0)在区间[a,b]上是 增函数,且 f(a)=-M,f(b)=M,则 g(x)=Mcos(ωx+φ)在[a,b]上 ( ) A.是增函数 B.是减函数

C.可以取得最大值 M D.可以取得最小值-M 解析:此题单纯从“数”的角度去分析,具有相当的难度.若在 同一直角坐标系中作出函数 y=Msin(ωx+φ)和 y=Mcos(ωx+φ)的大 致图形(如下图),再观察在区间[a,b]上函数 y=Mcos(ωx+φ)图象的 特征,则易知正确答案是 C.

答案:C 2.(全国高考题)如果直线 l 将圆 x2+y2-2x-4y=0 平分,且不 通过第四象限,那么 l 的斜率的取值范围是( A.[0,2]
? 1? C.?0,2? ? ? ? 1? D.?0,2? ? ?

)

B.[0,1]

解析:由题设,直线 l 平分圆,显然直线 l 应过圆心 M(1,2).设

过 M 的直线 l 的斜率为 k,当 k=0 时,l 不过第四象限,当 l 过原点 即 k=2 时,l 亦不过第四象限,由下图不难看出,0≤k≤2 时均符合 题意,故选 A.这是“以形助数”.

答案:A 3.(全国高考题)定义在(-∞,+∞)上的奇函数 f(x)为增函数, 偶函数 g(x)在区间[0,+∞)的图象与 f(x)的图象重合.设 a>b>0,给 出下列不等式: ①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b), ②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b), ③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a), ④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a). 其中成立的是( A.①② C.①③ )

B.②③ D.②④

解析:依题意画出 f(x)在[0,+∞)上的示意图(如下图)从图中易 得:

由 f(x)奇,g(x)偶有, f(a)=g(a)=g(-a)=-f(-a), f(b)=g(b)=g(-b)=-f(-b), f(b)-f(-a)=f(b)+f(a)=g(b)+g(a)>g(a)-g(-b), f(a)-f(-b)=f(a)+f(b)=g(a)+g(b)>g(b)-g(-a). 故选 C. 答案:C π 4.如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=- 对称,则 8 实数 a 的值为( A. 2 C.1 )

B.- 2 D.-1

π 分析:函数 f(x)在 x=- 时取得最值;或考虑有 8
? π ? ? π ? f?-8+x?=f?-8-x?对一切 x∈R 恒成立. ? ? ? ?

解析:解法一:设 f(x)=sin2x+acos2x,因为函数的图象关于直
? π ? ? π ? π 线 x=- 对称,所以 f?-8+x?=f?-8-x?对一切实数 x 都成立, 8 ? ? ? ?

? π ? ? π ? 即 sin2?-8+x?+acos2?-8+x? ? ? ? ? ? π ? ? π ? =sin2?-8-x?+acos2?-8-x? ? ? ? ? ? π ? ?π ? 即 sin?-4+2x?+sin?4+2x? ? ? ? ? ?? ? ?π ? ? π ?? =a?cos?4+2x?-cos?-4+2x??, ? ? ? ?

π π ∴2sin2x· cos =-2asin2x· sin , 4 4 即(a+1)· sin2x=0 对一切实数 x 恒成立,而 sin2x 不能恒为 0, ∴a+1=0,即 a=-1,故选 D. π 解法二:∵f(x)=sin2x+acos2x 关于直线 x=- 对称. 8
? π ? ? π ? ∴有 f?-8+x?=f?-8-x?对一切 x∈R 恒成立. ? ? ? ?

π 特别,对于 x= 应该成立. 8
? π? π 将 x= 代入上式,得 f(0)=f?-4?, 8 ? ? ? π? ? π? ∴sin0+acos0=sin?-2?+acos?-2? ? ? ? ?

∴0+a=-1+a×0. ∴a=-1.故选 D. 解法三:y=sin2x+acos2x= 1+a2sin(2x+φ),其中角 φ 的终 π 边经过点(1,a).其图象的对称轴方程为 2x+φ=kπ+ (k∈Z), 2 即 x= 令 kπ π φ + - (k∈Z). 2 4 2

kπ π φ π + - =- (k∈Z). 2 4 2 8

得 φ=kπ+

3π (k∈Z). 4

π 但角 φ 的终边经过点(1,a),故 k 为奇数,角 φ 的终边与- 角 2 的终边相同,∴a=-1.故选 D. 解法四:y=sin2x+acos2x= 1+a2sin(2x+φ),其中角 φ 满足 π tanφ=a.因为 f(x)的对称轴为 y=- , 8 π ∴当 x=- 时函数 y=f(x)有最大值或最小值, 8
? π? ? π? 所以 1+a2=f?-8?或- 1+a2=f?-8?, ? ? ? ? ? π? ? π? 即 1+a2=sin?-4?+acos?-4?, ? ? ? ? ? π? ? π? 或- 1+a2=sin?-4?+acos?-4?. ? ? ? ?

解之得 a=-1.故选 D. 答案:D 评析: 本题给出了四种不同的解法, 充分利用函数图象的对称性 的特征来解题. 解法一是运用了方程思想或恒等式思想求解. 解法二 是利用了数形结合的思想求解, 抓住 f(m+x)=f(m-x)的图象关于直 线 x=m 对称的性质,取特殊值来求出待定系数 a 的值.解法三利用 π 函数 y=Asin(ωx+φ)的对称轴是方程 ωx+φ=kπ+ (k∈Z)的解 x= 2 π kπ+ -φ 2 π ( k ∈ Z) , 然后将 x =- 代入求出相应的 φ 值, 再求 a 的值. 解 ω 8 法四利用对称轴的特殊性质,在此处函数 f(x)取最大值或最小值.于
? π? ? π? 是有 f?-8?=[f(x)]max 或 f?-8?=[f(x)]min.从而转化为解方程问题,体 ? ? ? ?

现了方程思想.由此可见,本题体现了丰富的数学思想方法,要从多 种解法中悟出其实质东西. → 5. △ABC 的外接圆的圆心为 O, 两条边上的高的交点为 H, OH → → → =m(OA+OB+OC),则实数 m 的值为( 1 A. 2 C.2 解析: B .1 D. 2 2 )

当△ABC 为等腰直角三角形时,O 为 AC 的中点,AB、BC 边上 → → → → → 高的交点 H 与 B 重合(如图),OA+OB+OC=OB=OH,所以 m= 1. 答案:B 6. 设 f(x)是定义在实数集 R 上的任意一个增函数, 且 F(x)=f(x) -f(-x),那么 F(x)应为( A.增函数且是奇函数 B.增函数且为偶函数 C.减函数且是奇函数 )

D.减函数且为偶函数 解析:因为 f(x)是定义在 R 上的任意一个增函数,可取 f(x)=x, 知 F(x)=x-(-x)=2x,故选 A. 答案:A 7.若 sinα+sinβ= 值为( ) 2π 3 B.- 2π D. 3 1 (cosβ-cosα)及 α、β 的范围,可直接推 3 π 3 1 (cosβ-cosα),α、β∈(0,π).则 α-β 的 3

A.- π C. 3

解析:由 sinα+sinβ=

π 1 α-β 的值, 但运算量较大. 令 β= 代入, 得 sinα=- cosα, 即 tanα 6 3 =- 3 5π 5π π 2π ,α∈(0,π),∴α= .∴α-β= - = ,故选 D. 3 6 6 6 3

答案:D 1 8.(全国高考题)若 a>b>1,P= lga· lgb,Q= (lga+lgb),R= 2
?a+b? ?,则( lg? ? 2 ?

) B.P<Q<R D.P<R<Q

A.R<P<Q C.Q<P<R

110 100 解析:取 a=100,b=10,则 P= 2,Q=1.5,R=lg >lg = 2 2 2-lg2>Q,故应选 B. 答案:B π 9.若 0<|α|< ,则( 4 )

A.sin2α>sinα C.tan2α>tanα

B.cos2α<cosα D.cot2α>cotα

π 解析:取 α=± ,可否定 A、C、D,因此选 B. 6 答案:B 10.命题甲:x≠2 或 y≠3;命题乙:x+y≠5,则( A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件 解析:“甲?乙”,即“x≠2 或 y≠3?x+y≠5”,其逆否命题 为:“x+y=5”?“x=2 且 y=3”显然不正确.同理,可判断命题 “乙?甲”为真命题.所以选 B. 答案:B 11.定义:离心率 e= 5-1 的椭圆为“黄金椭圆”.对于椭圆 2 ) )

x 2 y2 E: 2+ 2=1(a>b>0), 如果 a, b, c 不是等比数列, 那么椭圆 E( a b A.一定是“黄金椭圆” B.一定不是“黄金椭圆” C.可能是“黄金椭圆” D.可能不是“黄金椭圆” 解析:假设 E 为黄金椭圆,则有 5-1 5-1 c e=a= ,即 c= a. 2 2
? 5-1 ?2 5-1 2 所以 b =a -c =a -? a? = 2 a =ac, ? 2 ?
2 2 2 2

这说明 a,b,c 成等比数列,与已知矛盾,故椭圆 E 一定不是 “黄金椭圆”.故选 B. 答案:B x 2 y2 1 12. 若焦点在 x 轴上的椭圆 +m=1 的离心率为 , 则 m=( 2 2 A. 3 8 C. 3 2 D. 3 3 B. 2 )

3 3 1 2 c 1 解析:假设 m= ,则 c2=2- = ,c= ,e=a= .故选 B. 2 2 2 2 2 答案:B 13.若圆 x2+y2=r2 上恰有相异两点到直线 4x-3y+25=0 的距 离等于 1,则 r 的取值范围是( A.[4,6] C.(4,6] B.[4,6) D.(4,6) )

解析:因为圆心 O(0,0)到直线 4x-3y+25=0 的距离 d=5,若 r =4,则圆上只有一点到直线的距离等于 1,故 r≠4.又若 r=6,则圆 上有三点到直线的距离等于 1,故 r≠6.所以选 D. 答案:D 14.对任意的锐角 α、β,下列不等关系中正确的是( A.sin(α+β)>sinα+sinβ B.sin(α+β)>cosα+cosβ C.cos(α+β)<sinα+sinβ D.cos(α+β)<cosα+cosβ 解析:当 α=β=30° 时,可排除 A、B 选项,当 α=β=15° 时, 3 代入 C 选项中,即 0<cos30° <2sin15° ,两边平方, =0.75<4sin215° 4 )

1-cos30° =4× =2- 3≈0.268 矛盾.故选 D. 2 答案:D → → → → → → 15.在△ABC 中,有命题:①AB-AC=BC;②AB+BC+CA= → → → → 0 ;③若 ( AB + AC )· ( AB - AC ) = 0 ,则△ ABC 为等腰三角形;④若 → → AC· AB>0,则△ABC 为锐角三角形.上述命题正确的是( A.①② C.②③ B.①④ D.②③④ )

→ → → → → 解析:∵AB-AC=CB易知①错,②、③都正确.而AC· AB>0 → → ?|AC||AB|cosA>0?∠A 为锐角,不能断言△ABC 为锐角三角形,即 ④错. 答案:C 16.已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a<0)对于一切实数 x,f(1-x)=f(1+x)均成立,且 f(-1)<0,f(0)>0.则有( A.a+b+c<0 C.c<2b B.b<a+c )

D.abc>0

解析:(排除法)由题设可知抛物线的对称轴为 x=1,即 - b =1,b=-2a>0.f(-1)=a-b+c<0?a+c<b,排除 B.f(1) 2a

=a+b+c>0,排除 A.a<0,f(0)=c>0,b>0,排除 D. 另外选项 C 的正确性可如下证明: a+c<b?c<b-a<b-2a=2b. 答案:C

17. 对于函数①f(x)=|x+2|; ②f(x)=(x-2)2; ③f(x)=cos(x-2). 判断如下两个命题的真假: 命题甲:f(x+2)是偶函数; 命题乙:f(x)在(-∞,2)上是减函数,在(2,+∞)上是增函数; 能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是( A.①② C.② B.①③ D.③ )

解析:命题甲 f(x+2)是偶函数,可知②③满足条件,排除①; 作出②③函数的图象,可知③不满足命题乙的条件,所以选 C. 答案:C 18.已知四边形 ABCD 为菱形,点 P 在对角线 AC 上(不包括端 → 点 A、C),则AP等于( )

→ → A.λ(AB+AD),λ∈(0,1) → → ? 2? B.λ(AB+BC),λ∈?0, ? 2? ? → → C.λ(AB-AD),λ∈(0,1) → → ? 2? D.λ(AB-BC),λ∈?0, ? 2? ? → → → → 解析:λ(AB+AD)=λAC,当 λ∈(0,1)时,|λAC|= → → → → ? →? ? 2 λ|AC|∈(0,|AC|),而选项 B 中 λ(AB+BC)∈?0, |AC|? ?,不满 2 ? ? 足条件,选项 C、D 则显然不正确,故选 A. 答案:A

19. (2011· 陕西模拟)如图所示, O, A, → → B 是平面上三点,向量OA=a,OB=b.在 平面 AOB 上, P 是线段 AB 垂直平分线上 → 任意一点,向量OP=p,且|a|=3,|b|=2, 则 p· (a-b)的值是( A.5 C.3 5 B. 2 3 D. 2 )

解析:因为 P 是线段 AB 垂直平分线上任意一点,不妨设 P 为 → 1 AB 的中点,则有OP=p= (a+b). 2 1 ∴ p· (a-b)= (|a|2-|b|2). 2 ∵|a|=3,|b|=2, 5 ∴ p· (a-b)= . 2 答案:B → → → 20.在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若AD=2DB,CD= → 1→ CA+λCB,则 λ 等于( 3 2 A. 3 B. 1 3 1 3 2 D.- 3 )

C.-

解析:

→ → → → 取△ABC 为等腰三角形, 如图所示, 则有CD=CE+CF, 此时CE → 1→ → 1→ → 2→ 2 = CA,CF= CB,而CD= CA+λCB,故 λ= . 3 3 3 3 答案:A


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