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河北省石家庄市2015届高三高中毕业班第一次模拟考试数学(理)试题及答案


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2015 届石家庄高中毕业班第一次模拟 考试试卷 数学(理科)A 卷
(时间 120 分钟,满分 150 分) 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) 两部分,答卷前。考生务必将自己的姓名、准考证号 填写在答题卡上. 2.答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡 上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动, 用橡皮擦干 净

后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上. 写在本试卷上 无效. 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每 小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的. 1.已知 i 为虚数单位,则复数 A. 2 ? i B. 2 ? i S=1,i=1
输入 a1 , a2 , a3 , a4

i=i+1

S ? ?S ?

i ?1 i

? ? ai ?

1 i

i≤4?

输出 S

结束

1 ? 3i ? 1? i C. ?1 ? 2i D. ?1 ? 2i

x 2..已知集合 P ? ?0,1,2? , Q ? y | y ? 3 ,则 P

?

?

Q?

A.

?0,1?

B. ?1, 2?

C.

?0,1, 2?

D. ?

3.已知 cos ? ? k , k ? R, ? ? ? A. ? 1 ? k 2

?? ? , ? ? ,则 sin ?? ? ? ? ? ?2 ?
C. ? 1 ? k 2 D. ? k

B.

1? k 2

4.下列说法中,不 正确的是 .
2 2 A.已知 a, b, m ? R ,命题“若 am ? bm ,则 a ? b ”为真命题;

B.命题“ ?x0 ? R, x02 ? x0 ? 0 ”的 否定是“ ?x ? R, x ? x ? 0 ” ;
2

C.命题“p 或 q”为真命题,则命题 p 和命题 q 均为真命题; D.“x>3”是“x>2”的充分不必要条件.

) , f(x)=2sinx , 当 x ?[ 2 ,? ? ) 5. 已 知 偶 函 数 f(x) , 当 x ? [ 0 , 2 时 时, f

? x? ? l o g 2

x, 则

? ?? f ? ? ? ? f ? 4? ? ? 3?
A. ? 3 ? 2 B.1 C.3 D. 3 ? 2

6.执行下面的程序框图,如果输入的依次是 1,2,4,8,则输出的 S 为 A.2 B. 2 2 C.4 D.6

7.如图,在三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,侧棱垂直于底面,底面是边长为 2 的正三角形,侧棱长为 3, 则 BB1 与平面 AB1C1 所成的角的大小为

B1 A1

C1

B

? A. 6

? B. 4

? C. 3

? D. 2

A

C

8.已知 O、A、B 三地在同一水平面内,A 地在 O 地正东方向 2km 处,B 地在 O 地正北方向 2km 处, 某测绘队员在 A、B 之间的直线公路上任选一点 C 作为测绘点,用测绘仪进行测绘.O 地为一磁场, 距离其不超过 3km 的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰,使测量结果不准确.则该测绘队员能 够得到准确数据的概率是 A.

1 2

B.

2 2
2

C. 1 ?

3 2

D. 1 ?

2 2

9. 已知抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? 的焦点 F 恰好是双曲线 条曲线的交点的连线经过点 F,则双曲线的离心率为 A. 2 B.

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的一个焦点,两 a 2 b2
3

3

C. 1 ? 2

D. 1 ? 3

10.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 A.64 B.72 C.80 D.112 11. 已知平面图形 ABCD 为凸四边形(凸四边形即任取平面四边 形一边所在的直线,其余各边均在此直线的同侧),且 AB=2, BC=4,CD=5,DA=3,则四边形 ABCD 面积 S 的最大值为 A. 30 B. 2 30 C. 4 30 D. 6 30

4 4
正视图 侧视图

4 12. 已知函数 f ? x ? ? ?

ln x ,x ? 0 ,若关于 x 的方程 , x ? 0 x ? 4 x ? 1 ? ?
2

俯视图

f 2 ? x ? ? bf ? x ? ? c ? 0 ?b, c ? R? 有 8 个不同的实数根,则由点(b,c)确定的平面区域的面积为
A.

1 6

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题 ,每小题 5 分. 13.已知平面向量 a,b 的夹角为

2? ,|a|=2,|b|=1,则|a+b|= 3

.

14.将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不 能分到同一个班,则不同的分法的种数为 (用数字作答). 15. 设过曲线 f ? x? ? ?e ? x ( e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为 l1 ,总存在过曲线
x

g ? x? ? ax? 2 cos x上一点处的切线 l2 ,使得 l1 ? l2 ,则实数 a 的取值范围为

.

x2 y 2 16.已知椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的两个焦点分别为 F1 , F2 ,设 P 为椭圆上一点, ?F 1PF2 的外角 a b
平分线所在的直线为 l,过 F1 , F2 分别作 l 的垂线,垂足分别为 R、S,当 P 在椭圆上运动时,R、S 所形成的图形的面积为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , an?1 ? ?Sn ? 1? n ? N*, ? ? ?1? ,且 a1 、 2a2 、 a3 ? 3 为等 差数列 ?bn ? 的前三项. (1)求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; (2)求数列 ?anbn ? 的前 n 项和. 18. (本小题满分 12 分) 集成电路 E 由 3 个不同的电子元件组成,现由于元件老化,三个电子元件能正常工作的概率分别降 为

1 1 2 、 、 ,且每个电子元件能否正常工作相互独立.若三个电子元件中至少有 2 个正常工作, 2 2 3

则 E 能正常工作,否则就需要维修,且维修集成电路 E 所需费用为 100 元. (1)求集成电路 E 需要维修的概率; (2)若某电子设备共由 2 个集成电路 E 组成,设 X 为该电子设备需要维修集成电路所需的费用, 求 X 的分布列和期望. 19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为梯形,∠ABC=∠BAD=90°,AP=AD=AB= 2 ,BC=t, ∠PAB=∠PAD= ? . (1)当 t ? 3 2 时,试在棱 PA 上确定一个点 E,使得 PC∥平面 BDE,并求出此时 (2)当 ? ? 60 时,若平面 PAB⊥平面 PCD,求此时棱 BC 的长.

AE 的值; EP

P

D

A

C

B

20. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,一动圆经过点 ? 线 E. (1)求曲线 E 的方程;
2 (2)设 P 是曲线 E 上的动点,点 B、C 在 y 轴上,△PBC 的内切 圆的方程为 ? x ? 1? ? y ? 1 ,求 2

1 ?1 ? , 0 ? 且与直线 x ? ? 相切,设该动圆圆心的轨迹为曲 2 ?2 ?

△PBC 面积的最小值. 21. (本小题满分 12 分)
2 已知函数 f ? x ? ? x ?

2 ? a ln x . x

(1)若 f(x)在区间[2,3]上单调递增,求实数 a 的取值范围; (2)设 f(x)的导函数 f ' ? x ? 的图象为曲线 C,曲线 C 上的不同两点 A ? x1 , y1 ? 、 B ? x2 , y2 ? 所在 直线的斜率为 k,求证:当 a≤4 时,|k|>1. 请考生在第 22~24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知 O 和 M 相交于 A、B 两点,AD 为 M 的直径,延长 DB 交 O 于 C,点 G 为弧 BD 的中点,连结 AG 分别交 O 、BD 于点 E、F,连结 CE. (1)求证: AG ? EF ? CE ? GD ; (2)求证:

GF EF 2 ? . AG CE 2

A M E O B C G F D

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? ? x ? 2 cos ? ( ? 为参数) ,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴 y ? 3 sin ? ? ?

建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标 方程为 ? ? 2 . (1)分别写出 C1 的普通方程, C2 的直角坐标方程. (2)已知 M、N 分别为曲线 C1 的上、下顶点,点 P 为曲线 C2 上任意一点,求|PM|+|PN|的最大值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ?

x ? 1 ? x ? 3 ? m 的定义域为 R.
2 1 ? ? n 时,求 7a ? 4b 的最小值. 3a ? b a ? 2b

(1)求实数 m 的取值范围. (2)若 m 的最大值为 n,当正数 a、b 满足

2015 年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试 高三数学(理科答案) 一、 选择题(A 卷)1-5 CBACD 6-10 6-10 14 BADCB 11-12BA

一、选择题(B 卷)1-5 DBADC 二、 三、 填空题 13

BACDB

11-12BA 8 15

3

??1, 2?

16

?a 2

解答题(阅卷时发现的正确解答,请教师参阅此评分标准酌情给分)

17 解: (1)解法 1∵ an?1 ∴ an?1 ? an 又 a1 ∴ a3 ∴ an

? ?Sn ? 1(n ? N ? ),

∴ an

? ? Sn?1 ? 1 (n ? 2)

? ? an ,即 an?1 ? (? ? 1)an (n ? 2), ? ? 1 ? 0 ,

? 1, a2 ? ? S1 ? 1 ? ? ? 1, ∴数列 ?an ? 为以 1 为首项,公比为 ? ? 1 的等比数列,????????2 分

? (? ? 1)2 ,∴ 4(? ? 1) ? 1 ? (? ? 1)2 ? 3 ,整理得 ? 2 ? 2? ? 1 ? 0 ,得 ? ? 1 ??????4 分

? 2n?1 , bn ? 1 ? 3(n ?1) ? 3n ? 2 ??????????????????6 分
? 1, an?1 ? ? Sn ? 1(n ? N ? ),

解法 2:∵ a1 ∴ a2

? ? S1 ? 1 ? ? ? 1, a3 ? ?S2 ? 1 ? ?(1 ? ? ? 1) ? 1 ? ? 2 ? 2? ? 1,
2

∴ 4(? ? 1) ? 1 ? ? ∴ an?1

? 2? ? 1 ? 3 ,整理得 ? 2 ? 2? ? 1 ? 0 ,得 ? ? 1 ?????????2 分

? Sn ? 1(n ? N ? ), ∴ an ? Sn?1 ? 1 (n ? 2)
? an ,即 an?1 ? 2an (n ? 2) ,又 a1 ? 1, a2 ? 2

∴ an?1 ? an ∴数列 ∴ an

?an ? 为以 1 为首项,公比为 2 的等比数列,???????????????4 分

? 2n?1 , bn ? 1 ? 3(n ?1) ? 3n ? 2 ?????????????????6 分
? (3n ? 2) 2n?1

(2) anbn ∴ Tn

? 1?1 ? 4 ? 21 ? 7 ? 22 ? ? 1? 21 ? 4 ? 22 ? 7 ? 23 ?

? (3n ? 2) ? 2n?1 ?????????① ? (3n ? 5) ? 2n?1 ? (3n ? 2) ? 2n ???②????8 分 ? 3 ? 2n?1 ? (3n ? 2) ? 2n

∴ 2Tn ①

—②得 ?Tn

? 1?1 ? 3? 21 ? 3 ? 22 ?

? 1? 3?
整理得: Tn

2 ? (1 ? 2n ?1 ) ? (3n ? 2) ? 2n ?????????????10 分 1? 2

? (3n ? 5) ? 2n ? 5 ??????????????????????12 分

18 解: (Ⅰ)三个电子元件能正常工作分别记为事件

A, B, C ,则

1 1 2 p ( A) ? , p ( B ) ? , p (C ) ? . 2 2 3
依题意,集成电路 E 需要维修有两种情形: ①3 个元件都不能正常工作,概率为

z P D E A

1 1 1 1 p1 ? p ( ABC ) ? p( A) p( B) p(C ) ? ? ? ? 2 2 3 12
????2 分 ②3 个元件中的 2 个不能正常工作,概率为



F O C x G B y

p2 ? p( ABC ? ABC ? ABC) ? p( ABC) ? p( ABC) ? p( ABC)
1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ?5 分 2 2 3 2 2 3 2 2 3 12 3 1 1 5 ? ? . ?????6 分 所以,集成电路 E 需要维修的概率为 p1 ? p2 ? 12 3 12 5 B (2, ) ,而 X ? 100? , (Ⅱ)设 ? 为维修集成电路的个数,则 ? 12 k 5 k 7 2?k P( X ? 100k ) ? P(? ? k ) ? C2 ( ) ( ) , k ? 0,1, 2. 12 12 X 的分布列为:
X
p
0 100 200

? ? ? ? 9 分

49 144

35 72

25 144

??????10 分

? EX ? 0 ?

49 35 25 250 ? 100 ? ? 200 ? ? 144 72 144 3 5 250 ? 或 EX ? 100 E? ? 100 ? 2 ? . 12 3

????12 分

19 解:证明一 连接 AC,BD 交于点 F ,在平面 PCA 中做 EF ∥ PC 交 PA 于 E , 因为 PC ? 平面 BDE , EF ? 平面 BDE
PC ∥平面 BDE ,---------2

因为AD ∥ BC, 所以
证明二 在棱 PA 上取点 E ,使得

AF AD 1 ? ? , FC BC 3

因为

EF ∥ PC , 所以

AE AF 1 ? = . -------------4 EP FC 3

AE 1 ? ,------------2 EP 3

连接 AC,BD 交于点 F , 因为AD ∥ BC ,

AF AD 1 ? ? , FC BC 2 AE AF 所以 ? , EP FC 所以
所以,

EF ∥ PC 因为 PC ? 平面 BDE , EF ? 平面 BDE

所以 PC ∥平面 BDE -------------4

(2)取 BC 上一点 G 使得 BG ?

2, 连结 DG ,则 ABGD 为正方形.

过 P 作 PO ⊥平面 ABCD ,垂足为 O .连结 OA, OB, OD, OG .

AP ? AD ? AB, ?PAB ? ?PAD ? 600 ,
所以 ?PAB 和 ?PAD 都是等边三角形,因此 PA ? PB ? PD , 所以 OA ? OB ? OD , 即点 O 为正方形 ABGD 对角线的交点,---------------7 (或取 BC 的中点 G ,连结 DG ,则 ABGD 为正方形.连接 AG , BD 交于点 O ,连接 PO ,

AP ? AD ? AB, ?PAB ? ?PAD ? 600 ,

所以?PAB和?PAD都是等边三角形, 因此PA ? PB ? PD, 又因为OD ? OB, 所以?POB ? ?POD, 得到?POB ? ?POD ? 900, 同理得?POA ? ?POB, ?POA ? 900, 所以PO ? 平面ABCD.
-----------7)
因为OG , OB, OP两两垂直,

以 O 坐标原点,分别以 OG,OB, OP 的方向为 x 轴, y 轴 , z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系

O ? xyz .

则O ( 0, 0, 0),( P 0, 0, 1 ),( A ?1 , 0, 0),( B 0, 1 , 0),D ( 0, ?1 , 0)G (, 1 0, 0)
设棱 BC 的长为 t ,则 C ( 2 t ,1 ?

2

2 t , 0) , 2

PA ? (?1, 0, ?1), PB ? (0,1, ?1), PC ? (

2t 2t ,1 ? , ?1), PD ? (0, ?1, ?1) --------------9 2 2

设平面PAB的法向量m ? ( x1 , y1 , z1 ),
, 则?

? ?m PA ? 0

?? x ? z ? 0 ,即 ? ? ?m PB ? 0 ? y ? z ? 0
-----------10

不妨令x ? ?1, 可得m ? (?1,1,1)为平面PAB的一个法向量.
设平面PCD的法向量n ? ( x2 , y2 , z2 ), ? 2 2 ? tx ? (1 ? t) y ? z ? 0 ?n PC ? 0 ? 则? ,即 ? 2 2 ?n PD ? 0 ?? y ? z ? 0 ? ? 不妨令y ? 1, 可得n ? (1 ?

2 2 ,1, ?1)为平面PCD的一个法向量. t
-----------11

m n ? 0, 解得 t= 2 2 即棱BC的长为2 2. ----------------12
20 解: (1)由题意可知圆心到 (

1 1 , 0) 的距离等于到直线 x ? ? 的距离,由抛物线的定义可知,圆心的轨迹方程: 2 2

y 2 ? 2x .?????????4 分
(2)设 P( x0 , y0 ) , B(0, b), C (0, c) ,直线 PB 的方程为: ( y0

? b) x ? x0 y ? x0b ? 0 ,

又圆心(1,0)到 PB 的距离为 1,

y0 ? b ? x0b ( y0 ? b ) ? x
2 2 0

? 1 ,整理得: ( x0 ? 2)b2 ? 2 y0b ? x0 ? 0 ,????6

分 同理可得: ( x0 所以: b ? c 依题意 bc

? 2)c2 ? 2 y0c ? x0 ? 0 ,所以,可知 b, c 是方程 ( x0 ? 2) x2 ? 2 y0 x ? x0 ? 0 的两根,
?2 y0 ? x0 , bc ? , ???????? 8 分 x0 ? 2 x0 ? 2

?

?0
,即
2

x0 ? 2
, ,因为
2 y0 ? 2 x0 ,所以:

2 4 x0 2 ? 4 y0 ? 8x0 则 (b ? c) ? ( x0 ? 2)2

b?c ?

2 x0 x0 ? 2

,??????10 分

所以 S

?

1 b ? c x0 2

? ( x0 ? 2) ?

4 ? 4 ? 8, ( x0 ? 2)

当 x0

? 4 时上式取得等号,所以 ?PBC 面积最小值为 8.?????????12 分
y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 与圆 D 相切,则

解二: (2)设 P( x0 , y0 ) ,直线 PB:

k ? y0 ? kx0 k ?1
2

2 2 ? 1,整理得: ( x0 ? 2x0 )k 2 ? 2(1 ? x0 ) y0k ? y0 ?1 ? 0 ,?????6 分

k1 ? k2 ? ?
依题意 x0

2 2(1 ? x0 ) y0 y0 ?1 ,?????????8 分 , k k ? 1 2 2 2 x0 ? 2 x0 x0 ? 2 x

? 2 那么 yB ? yC ? ( y0 ? k1x0 ) ? ( y0 ? k2 x0 ) ? k1 ? k2 x0 ,
k1 ? k2 ? 2 x0 ? 2
x0
,则

由韦达定理得:

yB ? yC

?

2 x0 x0 ? 2

,???? ???10 分

所以 S

?

1 ( yB ? yC ) 2

? ( x0 ? 2) ?

4 ?4?8 ( x0 ? 2)

当 x0

? 4 时上式取得等号,所以 ?PBC 面积最小值为 8.???????12 分
f ? x ? ? x2 ? 2 ? a ln x x f ' ? x? ? 2 x? 2 a ? x2 x
f ( x) 在 区 间 ? 2, 3 ? 上单调递增,则

21. 解: (1)由 ,得 .因为

2 a ? ? 0 在 ? 2,3? 上恒成立,??????2 分 x2 x 2 2 2 2 2 即 a ? ? 2 x 在 ? 2,3? 上恒成立,设 g ( x) ? ? 2 x ,则 g ?(x ) ? ? 2 ? 4 x ? 0 x x x f ' ? x ? ? 2x ?
调递减,故 g ( x)max (2)解法一:

,所以 g ( x ) 在

? 2,3? 上单

? g (2) ? ?7 ,所以 a ? ?7 .?????4 分

k ?1?

f ?( x1 ) ? f ?( x2 ) ? 1 ? f ?( x1 ) ? f ?( x2 ) ? x1 ? x2 x1 ? x2

而 f ? ? x1 ? ? f ? ? x2 ? =

? 2 a? ? 2 a? ? 2 x1 ? 2 ? ? ? ? 2 x2 ? 2 ? ? x1 x1 ? ? x2 x2 ? ?
,只需证



x1 ? x2 ? 2 ?

2 ? x1 ? x2 ? a ? 2 2 x1 x2 x1 x2

故欲证

f ' ? x1 ? ? f ' ? x2 ? ? x1 ? x2

2?

2 ? x1 ? x2 ? a ? ? 1 ???????6 分 2 2 x1 x2 x1 x2

即证 a ?

x1 x2 ?

2 ? x1 ? x2 ? 成立 x1 x2
???????8 分

∵ x1 x2

?

2 ? x1 ? x2 ? 4 ? x1 x2 ? x1 x2 x1 x2
,u

设t

? x1x2

? t ? ? t 2 ? ? t ? 0 ? ,则 u? ? t ? ? 2t ?

4 t

4 t2

令 u?

?t ? ? 0 得 t ? 3 2 ,列表如下:
t
u' ?t ? u ?t ?

? 0, 2 ?
3

3

2

?
3

3

2, ??

?

_

0
极小值 3

?
4

u ?t ? ? 33 4 ? 3 108 ? 4 ? a
∴ x1 x2

?????????10 分

?

2 ? x1 ? x2 ? ? a ∴ f ' ? x1 ? ? f ' ? x2 ? ? x1 ? x2 x1 x2

, 即

f ?( x1 ) ? f ?( x2 ) ?1 x1 ? x2

∴当 a

? 4 时, k ? 1 ???????1 2 分

解法二:对于任意两个不相等的正数 x1 、 x2 有

x1 x2 ?

4 2 ? x1 ? x2 ? ? x1 x2 ? x1 x2 x1 x2
?8 分

= x1 x2

?

2 2 2 2 ? 3 ? 3 x1 x2 ? ? ? x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2



3 ? 3 4 ? 4.5 ? a


2?

2 ? x1 ? x2 ? a ? ?1 2 2 x1 x2 x1 x2



f ' ? x ? ? 2x ?

2 a ? x2 x




f ? ? x1 ? ? f ? ? x2 ?

? 2 a? ? 2 a? ? 2 x1 ? 2 ? ? ? ? 2 x2 ? 2 ? ? x1 x1 ? ? x2 x2 ? ?



x1 ? x2 ? 2 ?

2 ? x1 ? x2 ? a ? x1 ? x2 ?10 分 ? x12 x22 x1 x2
, 即

故:

f ' ? x1 ? ? f ' ? x2 ? ? x1 ? x2

f ?( x1 ) ? f ?( x2 ) ?1 x1 ? x2



当a

? 4 时, k ? 1 ?? ?12 分
AB , AC ,
A M
0

22. 证明:(1)连结 ∵

AD 为


M

的直径,∴

?ABD ? 90
∴ ?CEF


O

E F B G

D

AC 为 O 的直径 ,

? ?AGD=900 ,

? ?CFE ,∴ ?ECF ? ?GDF , ∵ G 为弧 BD 中点,∴ ?DAG ? ?GDF , C ∴ ?DAG ? ?ECF , ?ADG ? ?CFE ∴ ?CEF ∽ ?AGD ,????? 3 分 CE AG ? ∴ , ∴ AG ? EF ? CE ? GD 。?????5 分 EF GD (2)由(1)知 ?DAG ? ?GDF , ?G ? ?G , ∴ ?DFG ∽ ?AGD , ??? 7 分

∵ ?DFG

EF 2 GD 2 GF EF 2 ? ? ∴ DG ? AG ? GF , (1)知 ,∴ CE 2 AG 2 AG CE 2
2

. ??????10 分

23.解: (1)曲线 C1 的普通方程为
2

x2 y 2 ? ? 1 ,????????2 分 4 3

曲线 C2 的普通方程为 x (2) 法一: 由曲线 C2 :x
2

? y2 ? 4 .

????????4 分

? x ? 2cos ? 可得其参数方程为 ? , 所以 P 点坐标为 (2cos ? , 2sin ? ) , ? y2 ? 4 , ? y ? 2sin ?

由题意可知 M (0,

3), N (0, ? 3) .

因此

PM + PN ? (2cos ? )2 ? (2sin ? ? 3)2 ? (2cos ? ) 2 ? (2sin ? ? 3) 2
? 7 ? 4 3 sin ? ? 7 ? 4 3 sin ?
????????6 分

( PM + PN ) 2 ? 14 ? 2 49 ? 48sin 2 ?
所以当 sin ? 因此

.

? 0 时, ( PM + PN )2 有最大值 28,????????8 分
的最大值为 2

PM + PN

7.

????????10 分

法二:设 P 点坐标为 ( x, 因此

y ) ,则 x2 ? y 2 ? 4 ,由题意可知 M (0, 3), N (0, ? 3) .

PM + PN ? x 2 ? ( y ? 3)2 ? x 2 ? ( y ? 3)2
? 7 ? 2 3 y ? 7 ? 2 3 y ????????6 分

( PM + PN ) 2 ? 14 ? 2 49 ? 12 y 2 .
所以当

y ? 0 时, ( PM + PN )2 有最大值 28,????????8 分
的最大值为 2

因此 24.

PM + PN

7.

????????10 分

解: (1 ) :因为函数定义域为 R ,所以 设函数 g ( x) ? 又

x ?1 ? x ? 3 ? m ? 0 恒成立,???????2 分

x ?1 ? x ? 3 ,则 m 不大于函数 g ( x) 的最小值,

x ?1 ? x ? 3 ? ( x ?1) ? ( x ? 3) ? 4 ,即 g ( x) 的最小值为 4,所以 m ? 4 .????5 分
? 4,

(2) :由(1)知 n

2 1 ? ) 3a ? b a ? 2b ????????6 分 所以 7a ? 4b ? 4 2 1 (6a ? 2b ? a ? 2b) ? ( ? ) 3a ? b a ? 2b ? 4 2(3a ? b) 2(2 ? 2b) 5? ? a ? 2 b 3a ? b ? 5 ? 4 ? 9 . ????????8 分 ? 4 4 4 3 时,等号成立. 当且仅当 a ? 2b ? 3a ? b, 即b ? 2a ? 10 9 所以7a ? 4b的最小值为 . ????????10 分 4 (7a ? 4b) ? (


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