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3.1.2 指数函数的图象和性质


名师一号 · 数学 · 新课标B版 · 必修1

第三章 基本初等函数(Ⅰ)

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第三章

基本初等函数(Ⅰ)

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§3 .1 指数与指数函数 § 3.1.2 指数函数

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基本初等函数(Ⅰ)

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第二课时

指数函数的图像和性质

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第二课时

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预习导航
(学生用书 P67)

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自测自评
(学生用书 P67)

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1.把函数 y=f(x)的图像向左、向下分别平移 2 个单位, 得到函数 y=2x 的图像,则( A.f(x)=2x+2+2 C.f(x)=2x-2+2
解析

) B.f(x)=2x+2-2 D.f(x)=2x-2-2

y=f(x)可由 y=2x 的图像向右、 向上分别平移 2 个

单位得到,∴f(x)=2x-2+2.故选 C.

答案 C

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2.当 a>2 时,函数 y=ax 和 y=(a-1)x2 的图像只能是 ( )

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解析 ∵a>2,∴a-1>0, ∴y=ax 单调递增,y=(a-1)x2 开口向上,故选 A.
答案 A

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3.函数 f(x)=2

2-x2

在定义域 R 上是(

)

A.奇函数且在(0,+∞)上单调递增 B.偶函数且在(-∞,0)上单调递增 C.奇函数且在(0,+∞)上单调递减 D.偶函数且在(-∞,0)上单调递减

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解析 f(-x)=2

2-(-x)2

=2

2-x2

=f(x),

∴f(x)是偶函数. f(x)是由 y=2t,t=2-x2 复合而成. ∵y=2t 在定义域上单调递增,t=2-x2 在(-∞,0)上单 调递增,在(0,+∞)上单调递减, ∴f(x)在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增.

答案 B

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1 1 4.函数 f(x)= x - x 是( 2 -1 3 -1 A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数

)

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1 1 2x 3x 解析 f(-x)= -x - -x = - 2 -1 3 -1 1-2x 1-3x -?1-2x?+1 -?1-3x?+1 1 1 = - = - 1-2x 1-3x 1-2x 1-3x
? 1 1 ? ? =-? x - x ?=-f(x). ? ?2 -1 3 -1?

∴f(x)是奇函数.
答案 A

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名师讲解
(学生用书 P67)

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1.函数图像的平行移动 (1)水平平移:如得到 y=f(x+a)的图像,把函数 y=f(x) 的图像沿 x 轴方向向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位,就得 到 y=f(x+a)的图像. (2)竖直平移:如得到 y=f(x)+b 的图像,把函数 y=f(x) 的图像沿 y 轴方向向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位,就得 到 y=f(x)+b 的图像.

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2.函数图像的对称变换 (1)函数 y=f(-x)的图像与函数 y=f(x)的图像关于 y 轴对 称. (2)函数 y=-f(x)的图像与函数 y=f(x)的图像关于 x 轴对 称. (3)函数 y=-f(-x)的图像与函数 y=f(x)的图像关于原点 对称.

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3.函数图像的翻折变换 (1)由函数 y=f(x)的图像得到函数 y=f(|x|)的图像, 只需先 做 y=f(x)在 y 轴右边的图像,然后,将它的图像翻折到 y 轴 左边,保留 y 轴右边的图像,即可得到函数 y=f(|x|)的图像. (2)由函数 y=f(x)的图像得到函数 y=|f(x)|的图像, 只需先 做出 y=f(x)的图像,然后把 x 轴下方的图像翻折到 x 轴上方, 并去掉 x 轴下方的图像,即可得到函数 y=|f(x)|的图像.

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4. 与指数函数有关的复合函数的定义域、 值域、 单调性、 奇偶性 指数函数通常与二次函数、反比例函数结合构成指数型 复合函数,研究此类函数的性质时应注意各类函数的概念. (1)定义域:y=af(x)(a>0,a≠1)的定义域与 y=f(x)的定义 域完全相同,但另一类函数 y=f(ax)(a>0,a≠1)的定义域未必 与函数 y=f(x)的相同.

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(2)值域:求 y=af(x)(a>0,a≠1)的值域,先求 f(x)的取值 范围,再利用指数函数的单调性求得值域,注意底数 a 的取 值范围. 求函数 y=f(ax)(a>0, a≠1)的值域通常用换元法转化为其 他初等函数求解.

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(3)奇偶性:判断指数型函数奇偶性首先判断定义域是否 关于原点对称.其次,在定义域关于原点对称的基础上,判 断 f(-x)=± f(x)是否成立. (4)单调性:利用复合函数判断单调性的方法:先求出它 的定义域,然后在定义域内确定内层函数和外层函数的单调 性. 在某区间上, 根据内外单调性一致时复合函数在该区间为 增函数,反之复合函数在该区间为减函数——“同增异减”.

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典例剖析
(学生用书 P68)

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例 1 已知 f(x)=2x,作出下列函数图像. (1)y=f(x)-1; (2)y=-f(x).

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剖析 利用图像平移和图像的对称来画出它们的图像.

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解析 利用指数函数 f(x)=2x 图像及平移、 对称作出要求 的图像. (1)y=f(x)-1 图像是由 y=f(x)图像向下平移一个单位得 到的,图像如上图①所示. (2)y=-f(x)图像是由 y=f(x)图像作关于 x 轴的对称图像 得到的,图像如上图②所示.

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规律技巧 在作图像变换时,必须清楚是平移还是对称.

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变式训练 1 (2011· 成都市玉林中学高一月考)函数 f(x)= ax-b 的图像如图所示,其中 a,b 为常数,则下列结论正确的 是( )

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A.a>1,b<0 C.0<a<1,b>0

B.a>1,b>0 D.0<a<1,b<0

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解析 ∵f(x)的图像单调递减, ∴0<a<1. ∵f(0)<1, ∴f(x)的图像是由 y=ax 向左平移得到. ∴-b>0,即 b<0.
答案 D

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例 2 画出函数 y=2|x+1|的图像,并根据图像指出它的单 调区间. 剖析 先作出 y=2|x|的图像,y=2|x+1|的图像可由 y=2|x| 的图像向左移 1 个单位即可得到.

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解析 ∵y=2|x|是偶函数,做它的图像可先作 x≥0 的部 分即 y 轴右侧的图像,然后再把所做图像关于 y 轴做对称, 这样即可得到 y=2|x|的图像,再把 y=2|x|的图像向左平移 1 个 单位,即得到函数 y=2|x+1|的图像,如图所示.

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由图像可知,该函数在(-∞,-1)上单调递减,在(-1, +∞)上单调递增.

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规律技巧

作一些复合函数的图像时,首先要与我们熟

悉的函数图像建立联系,根据图像的性质(函数性质),利用图 像平移、对称、翻折变换,作出我们所需要的图像.

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变式训练 2 画函数 y=|3x-1|的图像, 并利用图像回答: k 为何值时,方程|3x-1|=k 无解?有一解?有两解?

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解析

将指数函数 y=3x 的图像先向下平移 1 个单位, 再将 x 轴 下方的部分关于 x 轴翻折到 x 轴上方,就得到函数 y=|3x-1| 的图像,如图所示.
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方程|3x-1|=k 的解,就是直线 y=k 与函数 y=|3x-1|的 图像的交点的横坐标,观察图像可得,当 k<0 时,直线 y=k 与函数 y=|3x-1|的图像无交点,所以方程无解;当 k=0,或 k≥1 时,直线 y=k 与函数 y=|3x-1|的图像有唯一交点,所 以方程有一解;当 0<k<1 时,直线 y=k 与函数 y=|3x-1|的 图像有两个不同的交点,所以方程有两解.

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例 3 求函数

?1? 2 y=?2?x -3x+2 的单调区间. ? ? ? ?

剖析 利用复合函数单调性的求法:同增异减.

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解析 该函数是由

?1? y=?2?t ? ? ? ?

和 t=x2-3x+2 复合而成,y

?1? ? 3? ? ?t ? 2 =?2? 在 R 上单调递减, t=x -3x+2 在?-∞,2?上单调递减, ? ? ? ? ? ?3 ? ? 在?2,+∞?上单调递增,故函数 ? ? ? ?1? y=?2? ? ? ? ?
x2-3x+2

? 3? ? 在?-∞,2?上 ? ? ?

?3 ? ? 单调递增,在?2,+∞?上单调递减. ? ? ?

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规律技巧

解决简单的指数形式的复合函数的单调性问

题,首先要弄清该函数由哪些函数复合而成,这些函数的单 调区间是什么,并找出它们的对应关系,然后根据复合函数 的单调性确定其单调区间.

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变式训练 3 求下列函数的单调区间. (1)f(x)=3
x2-2x



?1? 2 (2)g(x)=?3?-x -4x+1. ? ? ? ?

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解析 (1)y=3

x2-2x

由 y=3t 和 t=x2-2x 复合而成,y=3t

在 R 上单调递增,t=x2-2x 在(-∞,1)上单调递减,在(1, +∞)上单调递增, ∴y=3 1).
x2-2x

的递增区间为(1,+∞),递减区间为(-∞,

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?1? 2 ?1? ? ?-x -4x+1 (2)y=?3? 是由 y=?3?t 和 t=-x2-4x+1 复合而成, ? ? ? ? ? ? ?1? y=?3?t 在 ? ? ? ?

R 上单调递减,t=-x2-4x+1 在(-∞,-2)上单

调递增,在(-2,+∞)上单调递减,
?1? 2 ∴y=?3?-x -4x+1 的递减区间为(-∞, -2), 递增区间为(- ? ? ? ?

2,+∞).

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例 4 已知 f(x)=2x,x∈R,可以表示为一个偶函数 g(x) 与一个奇函数 h(x)之和, 若不等式 ag(x)+h(2x)≥0 对 x∈[1,2] 恒成立,求实数 a 的取值范围. 剖析 考察与指数函数有关的复合函数的奇偶性问题,

可以利用函数奇偶性的性质.

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解析 由题意可知 g(x)+h(x)=2x. 根据函数奇偶性的性质,g(-x)+h(-x)=2-x, ∴g(x)-h(x)=2-x,
?g?x?+h?x?=2x, ? ∴由? - ?g?x?-h?x?=2 x ?

可得

2x+2-x 2x-2-x g(x)= ,h(x)= . 2 2

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2x+2-x 22x-2-2x ∵ag(x)+h(2x)=a· + ≥0, 2 2 ∴a≥2-x-2x. ∵ag(x)+h(2x)≥0 在 x∈[1,2]上恒成立, ∴a≥2-x-2x 在 x∈[1,2]上恒成立. ∵函数 y=2-x-2x 在[1,2]上单调递减, 3 ∴a≥- . 2

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规律技巧

含参数恒成立问题可将参数与变量分离,整

理形如 a>f(x)或 a<f(x)的形式,然后转化成求 f(x)的最大值或 最小值问题.

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变式训练 4 (2011· 河南郑州高一月考)已知 1-ax f(x)= (a>1). 1+ax (1)判断 f(x)的奇偶性; (2)证明:f(x)在 R 上为减函数; (3)求函数 f(x)的值域.

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解析 (1)f(x)的定义域为 R. 1-a-x ax-1 1-ax f(-x)= = =- =-f(x), 1+a-x ax+1 1+ax ∴f(x)是奇函数.

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2 (2)f(x)= x -1(a>1), a +1 在 R 上任取 x1,x2,且 x1<x2, 2 2 f(x1)-f(x2)= - ax1+1 ax2+1 2?ax2-ax1? = . ?ax1+1??ax2+1? ∵a>1,且 x1<x2,∴ax2>ax1,∴ax2-ax1>0, ∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), ∴f(x)在 R 上为减函数.
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2 (3)f(x)= x -1 在 R 上单调递减, a +1 ∴f(x)∈(-1,1).

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技能演练
(学生用书 P69)

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