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第二届中国东南地区数学奥林匹克


第二届中国东南地区数学奥林匹克 第一天 (2005 年 7 月 10 日 8:00-12:00 福州) 一、 (1)设 a ? R ,求证抛物线 y ? x 2 ? ?a ? 2?x ? 2a ? 1 都经过一个定点,且顶点都落在一条抛物 线上. (2)若关于 x 的方程 x 2 ? ?a ? 2?x ? 2a ? 1 ? 0 有两个不等的实根,求其较大根的取值范围. (吴伟朝 供题) 二、如图,圆 O (圆心为 O )与直线 l 相离,作 OP ? l , P 为垂足.设点 Q 是 l 上任意一点(不与点 P 重合) ,过点 Q 作圆 O 的两条不同的切线 QA 和 QB , A 和 B 为切点, AB 与 OP 相 交 于 点 K . 过 点 P 作 PM ? QB , PN ? QA , M 和 N 为垂足. 求证:直线 MN 平分线段 KP .(裘宗沪 供题) 三、设 n 是正整数,集合 M ? ? 1,2,? ? ?,2n?. 求最小的正整数 k ,使得对于 M 的任何一个 k 元子集, 其中必有 4 个互不相同的元素之和等于 4n ? 1 .(张鹏程 ,李迅 供题) 2 2 2 四、试求满足 a ? b ? c ? 2005,且 a ? b ? c 的所有三元正整数组 ?a, b, c ? .(陶平生 供题) 第二天 (2005 年 7 月 11 日, 8:00-12:00,福州) 五、已知直线 l 与单位圆 S 相切于点 P , 点 A 与圆 S 在 l 的同侧,且 A 到 l 的 距离为 h(h ? 2) , 从点 A 作 S 的两条 切线,分别与 l 交于 B, C 两点. 求线 段 PB 与线段 PC 的长度之乘积. (冷岗松 ,司林 供题) 六、将数集 A ? {a1 , a2 ,...,an } 中所有元素的算术平均值记为 P ( A) , ( P( A) ? a1 ? a 2 ? ... ? a n ). n 若 B 是 A 的非空子集,且 P( B) ? P( A) ,则称 B 是 A 的一个“均衡子集”. 试求数集 M ? {1,2,3,4,5,6,7,8,9} 的所有“均衡子集”的个数.(陶平生 供题) 七、 (1)讨论关于 x 的方程 | x ? 1 | ? | x ? 2 | ? | x ? 3 |? a 的根的个数. (2)设 a1 , a2 ,...,an 为等差数列,且 a1 ? a2 ? ? ? ? ? an ? a1 ? 1 ? a2 ? 1 ? ? ? ? ? an ? 1 ? a1 ? 2 ? a2 ? 2 ? ? ? ? ? an ? 2 ? 507 求 项 数 n 的最大值.(林常 供题) 八、设 0 ? ? , ? , ? ? ? 2 ,且 sin 3 ? ? sin 3 ? ? sin 3 ? ? 1, 3 3 . (李胜宏 供题) 2 求证: tan 2 ? ? tan2 ? ? tan2 ? ? 第二届中国东南地区数学奥林匹克(答案) 一、 (1)令 f a ( x) ? x 2 ? (a ? 2) x ? 2a ? 1 ? x 2 ? 2x ? 1 ? a( x ? 2) ,因此,抛物线过定点 ( 2,9) , 且该抛物线的顶点坐标为 x ? ? (2) f a ( x) ? 0 较大的根为 a?2 ? a 2 ? 12a ,y? ,消去 a 得 y ? ? x 2 ? 4 x ? 5 2 4 x? ? (a ? 2) ? (a

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