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2015届高考数学 新课标版,理 二轮复习专题 课件 第一讲 函数与方程思想


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第一讲 函数与方程思想

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1.函数与方程思想的含义 (1)函数的思想

函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量
关系,是对函数概念的本质认识,建立函数关系或构造函数,运 用函数的图像和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解 决.经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小 值、图像变换等.

(2)方程的思想
方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程
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组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质 去分析、转化问题,使问题得以解决.方程的教学是对方程概念

的本质认识,用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观
察处理问题.方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系. 2.函数思想与方程思想的联系 函数思想与方程思想是密切相关的,如函数问题可以转化为方程 问题来解决,方程问题也可以转化为函数问题加以解决,如解方

程f(x)=0,就是求函数y=f(x)的零点,解不等式f(x)>0(或f(x)<0),
就是求函数y=f(x)的正(或负)区间,再如方程f(x)=g(x)
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的解的问题可以转化为函数y=f(x)与y=g(x)的交点问题,也可以

转化为函数y=f(x)-g(x)与x轴的交点问题,方程f(x)=a有解,当
且仅当a属于函数f(x)的值域,函数与方程的这种相互转化关系十 分重要.

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角度一 利用函数与方程思想求最值或参数的范围 [例 1] 长度都为 2 的向量 的夹角为 60° ,点 C 在
以 O 为圆心的圆弧 AB (劣弧)上, 的最大值是________.
[思维流程]

,则 m+n

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[解析] 量 由 建立平面直角坐标系,设向量 ,向

π .设向量 OC―→=(2cos α,2sin α),0≤α≤3. ,得(2cos α,2sin α)=(2m+n, 3n),

即 2cos α=2m+n,2sin α= 3n, 1 2 解得 m=cos α- sin α,n= sin α. 3 3
? π? 1 2 3 ? 2 3? ? ? ? ? 故 m+n=cos α+ sin α= 3 sin?α+3?∈?1, . 3 ? 3 ? ? ? ?

[答案]

2 3 3
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四类参数范围(或最值)的求解方法
(1)求字母(式子)的值的问题往往要根据题设条件构建以待求 字母(式子)为元的方程(组),然后由方程(组)求得. (2)求参数的取值范围是函数、方程、不等式、数列、解析几 何等问题中的重要问题,解决这类问题一般有两种途径:其 一,充分挖掘题设条件中的不等关系,构建以待求字母为元 的不等式(组)求解;其二,充分应用题设中的等量关系,将

待求参数表示成其他变量的函数,然后,应用函数知识求值
域.
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(3)当问题中出现两数积与这两数和时,是构建一元二次方程

的明显信息,构造方程后再利用方程知识可使问题巧妙解
决. (4)当问题中出现多个变量时,往往要利用等量关系去减少变 量的个数,如最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量 的表达式,那么就可用研究函数的方法将问题解决.

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1.(1)若a,b是正数,且满足ab=a+b+3,则ab的取值范围为

________.
(2)如果方程cos2x-sin x+a=0在上有解,则a的取值范围为 ________.

解析:(1)法一:(看成函数的值域) a+3 ∵ab=a+b+3,a≠1,∴b= . a-1 a+3 而 b>0,∴ >0. a-1 即 a>1 或 a<-3,又 a>0, ∴a>1,故 a-1>0.
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a+3 ?a-1?2+5?a-1?+4 4 ∴ ab = a· = = (a - 1) + + a-1 a- 1 a-1 5≥9. 4 当且仅当 a-1= ,即 a=3 时取等号. a-1 ∴ab 的取值范围是[9,+∞). 法二:(看成不等式的解集) ∵a,b 为正数, ∴a+b≥2 ab,又 ab=a+b+3, ∴ab≥2 ab+3. 即( ab)2-2 ab-3≥0, 解得 ab ≥3 或 ab≤-1(舍去), ∴ab≥9.即 ab 的取值范围是[9,+∞).
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(2)把方程变形为 a=-cos2x+sin x. ? π? ? 2 设 f(x)=-cos x+sin x,x∈?0,2 ? ?. ? ? 显然当且仅当 a 属于 f(x)的值域时,a=f(x)有解. ? 1? 5 ? ?2 2 f(x)=-(1-sin x)+sin x=?sin x+2? -4, ? ? ? π? ? 且由 x∈?0,2 ? ?知 sin x∈(0,1]. ? ? 易求得 f(x)的值域为(-1,1], 故 a 的取值范围是(-1,1]. 答案:(1)[9,+∞) (2)(-1,1]

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利用函数与方程思想解决图象交点 角度二 或方 程根等问题 1 [例 2] 设函数 f(x)=x,g(x)=-x2+bx,若 y=f(x)的
图像与 y=g(x)的图像有且仅有两个不同的公共点 A(x1, y1), B(x2,y2),则下列判断正确的是( A.x1+x2>0,y1+y2>0 C.x1+x2<0,y1+y2>0 )

B.x1+x2>0,y1+y2<0 D.x1+x2<0,y1+y2<0

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[思维流程]

[解析] 由于函数 y=f(x)的图像在一、三象限且关于坐 标原点对称,函数 y=g(x)的图像过坐标原点,结合函数图 像可知点 A,B 一定只能一个在第一象限、另一个在第三象 1 1 x1+x2 限,即 x1x2<0,由于 y1+y2=x +x = x x ,故 x1+x2,y1 1 2 1 2 +y2 一定异号.
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1 问题即为方程-x +bx=x仅有两个不同的实根,即方 程 x3-bx2+1=0 有一个二重根、一个单根.根据方程根的 理论,如果 x1 是方程 x3-bx2+1=0 的二重根,x2 为一个单 根,则 x3-bx2+1=(x-x1)2(x-x2)=x3-(2x1+x2)x2+(x2 1+ 2x1x2)x-x2 1x2,这个等式对任意 x 恒成立,比较等式两端 x 2 的系数可得-x2 x = 1 , 则 x <0 , 且 x 即 x1+2x2 1 2 2 1+2x1x2=0, =0,即 x1+x2=-x2>0,所以 x1+x2>0,y1+y2<0. [答案] B
2

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解决图像交点及方程根等问题的方法

函数图像的交点问题转化为方程根的问题是重要的方程
思想,同时方程根的判断问题常转化为函数的零点问题又是 重要的函数思想,在解决此类问题时要注意灵活应用.

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2.关于x的方程(x2-1)2-|x2-1|+k=0,给出下列四个命题: ①存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根; ②存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根; ③存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根; ④存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根. 其中假命题的个数是( A.0 B.1 C.2 ) D.4

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解析:选 A 根据题意,可令|x2-1|=t(t≥0),则方程 化为 t2-t+k=0.(*) 作出函数 t=|x2-1|的图象,

结合函数的图象可知,①当 t=0 或 t>1 时,方程|x2-1| -t=0 有 2 个不等的根;②当 0<t<1 时,方程|x2-1|-t=0 有 4 个根; ③当 t=1 时, 方程|x2-1|-t=0 有 3 个根. 于是: (1)当 k=-2 时,方程(*)有一个正根 t=2,相应的原方 程有 2 个根; 1 1 (2)当 k=4时,方程(*)有两个相等正根 t=2,相应的原 方程有 4 个根; 高考专题辅导与测试·数学

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(3)当 k=0 时, 此时方程(*)有两个不等根 t=0 或 t=1, 故此时原方程有 5 个根; 1 (4)当 0<k<4时, 方程(*)有两个不等正根, 且此时方程(*) 有两个正根且均小于 1, 故相应的满足方程|x2-1|=t 的解有 8 个,此时原方程有 8 个根,故选 A.

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角度三
[例 3]

函数与方程思想在不等式中的应用

1 3 已知函数 f(x)=ln x-4x+4x-1,g(x)=-x2+

2bx-4,若对任意 x1∈(0,2),x2∈[1,2],不等式 f(x1)≥g(x2) 恒成立,则实数 b 的取值范围为________.

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解析:问题等价于 f(x)min≥g(x)max. 1 3 1 1 3 f(x) = ln x - 4 x + 4x - 1 ,所以 f′(x) = x - 4 - 4x2 = 4x-x2-3 , 4x2 令 f′(x)>0 得 x2-4x+3<0,解得 1<x<3, 故函数 f(x)的单调递增区间是(1,3), 单调递减区间是(0,1) 和(3,+∞), 故在区间(0,2)上,x=1 是函数的极小值点,这个极小值 1 点是唯一的,故也是最小值点,所以 f(x)min=f(1)=-2. 由于函数 g(x)=-x2+2bx-4,x∈[1,2]. 当 b<1 时,g(x)max=g(1)=2b-5; 当 1≤b≤2 时,g(x)max=g(b)=b2-4; 当 b>2 时,g(x)max=g(2)=4b-8. 高考专题辅导与测试·数学

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? ?b<1, ? 故问题等价于? 1 ?- ≥2b-5 ? 2 ? ? ?b>2, ? ? 1 ?- ≥4b-8. ? 2 ? ? ?1≤b≤2, ? 或? 1 ?- ≥b2-4 ? 2 ?



解 第 一 个 不 等 式 组 得 b<1 , 解 第 二 个 不 等 式 组 得 14 1≤b≤ 2 ,第三个不等式组无解. ? 14? ? ? 综上所述,b 的取值范围是?-∞, ?. 2 ? ? ? 14? ? ? 答案:?-∞, 2 ? ? ?
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不等式恒成立问题的处理方法 在解决不等式恒成立问题时,一种最重要的思想方法就是构 造适当的函数,利用函数的图象和性质解决问题.同时要注 意在一个含多个变量的数学问题中,需要确定合适的变量和 参数,从而揭示函数关系,使问题更明朗化.一般地,已知 存在范围的量为变量,而待求范围的量为参数.

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3.f(x)=ax3-3x+1 对于 x∈[-1,1]总有 f(x)≥0 成立, 则 a=________.
解析:若 x=0,则不论 a 取何值,f(x)≥0 显然成立; 3 当 x>0 即 x∈(0,1]时, f(x)=ax3-3x+1≥0 可化为 a≥x2 1 -x3. 3?1-2x? 3 1 设 g(x)=x2-x3,则 g′(x)= , x4 所以 递减,
? ?1 ? 1? ? ? ? g(x)在区间?0,2?上单调递增,在区间?2,1? ?上单调 ? ? ? ?

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因此
?1? ? g(x)max=g? ?2?=4,从而 ? ?

a≥4;

当 x<0 即 x∈[-1,0)时,f(x)=ax3-3x+1≥0 可化为 3 1 3 1 a≤x2-x3,g(x)=x2-x3在区间[-1,0)上单调递增, 因此 g(x)min=g(-1)=4,从而 a≤4,综上 a=4. 答案:4

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角度四
[例 4]

函数与方程思想在数列中的应用

已知数列{an}是首项为 2,各项均为正数的等差 1 1 1 数列, a2, a3, a4+1 成等比数列, 设 bn= + +?+S S n+ 1 S n+ 2 2n (其中 Sn 是数列{an}的前 n 项和),若对任意 n∈N*,不等式 bn≤k 恒成立,求实数 k 的最小值.
思维流程: 求an ―→ 求Sn ―→ 求bn ―→ 构造函数f?x? ―→ 利用导数研究f?x?的最值 ―→ 求k的范围
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解:因为 a1=2,a2 (a4+1), 3=a2· 又因为{an}是正项等差数列,故 d≥0, 所以(2+2d)2=(2+d)(3+3d), 得 d=2 或 d=-1(舍去), 所以数列{an}的通项公式 an=2n. 因为 Sn=n(n+1), 1 1 1 bn = + +?+ S S n+ 1 S n+ 2 2n 1 1 1 = + + ?+ ?n+1??n+2? ?n+2??n+3? 2n?2n+1? 1 1 1 1 1 1 = - + - +?+2n- n+ 1 n+ 2 n+ 2 n+ 3 2n+1
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1 1 n = - = n+1 2n+1 2n2+3n+1 1 = , 1 2n+n+3 1 令 f(x)=2x+x(x≥1), 1 则 f′(x)=2-x2,当 x≥1 时,f′(x)>0 恒成立, 所以 f(x)在[1,+∞)上是增函数, 故当 x=1 时,[f(x)]min=f(1)=3, 1 即当 n=1 时,(bn)max=6,
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要使对任意的正整数 n,不等式 bn≤k 恒成立, 1 则须使 k≥(bn)max=6, 1 所以实数 k 的最小值为6.

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数列问题函数(方程)化法 数列问题函数(方程)化法与形式结构函数(方程)化法类 似,但要注意数列问题中n的取值范围为正整数,涉及的函 数具有离散性特点,其一般解题步骤是: 第一步:分析数列式子的结构特征. 第二步:根据结构特征构造“特征”函数(方程),转化 问题形式. 第三步:研究函数性质.结合解决问题的需要研究函 数(方程)的相关性质,主要涉及函数单调性与最值、值域问 题的研究. 第四步:回归问题.结合对函数(方程)相关性质的研究, 回归问题.
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4.(2014· 重庆模拟)在数列{an}中,a1=1,an+1=an+c(c 为常数,n∈N*),且 a1,a2,a5 成公比不等于 1 的等比数列. (1)求 c 的值; 1 (2)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. anan+1
解:(1)∵an+1=an+c,a1=1,c 为常数, ∴an=1+(n-1)c, ∴a2=1+c,a5=1+4c. 又 a1,a2,a5 成等比数列, ∴(1+c)2=1+4c,解得 c=0 或 c=2, 当 c=0 时,an+1=an 不合题意,舍去, ∴c=2.
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(2)由(1)知,an=2n-1, 1 1 ? 1 1 1? ? ∴bn= = =2?2n-1-2n+1? ?, anan+1 ?2n-1??2n+1? ? ? ∴Sn=b1+b2+?+bn
? ? ? ?1 1 1 ? 1? 1? 1? ? ? ? ?? ? ?? =2??1-3?+?3-5?+?+?2n-1-2n+1?? ? ? ? ? ?? ??

1 ? 1? n ? ? 1 - =2? = . 2n+1? 2n+1 ? ?

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角度五
[例 4]

函数与方程思想在解析几何中的应用

椭圆 C 的中心为坐标原点 O,焦点在 y 轴上,

2 短轴长为 2,离心率为 2 ,直线 l 与 y 轴交于点 P(0,m), 与椭圆 C 交于相异两点 A,B,且 (1)求椭圆 C 的方程; (2)求 m 的取值范围.
[思维流程]

.

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y2 x2 [解] (1)设椭圆 C 的方程为a2+b2=1(a>b>0),设 c>0, c2=a2-b2, c 2 2 由题意,知 2b= 2,a= 2 ,所以 a=1,b=c= 2 . 2 x 故椭圆 C 的方程为 y2+ 1 =1,即 y2+2x2=1. 2 (2)设直线 l 的方程 y=kx+m(k≠0),l 与椭圆 C 的交点 坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2), ?y=kx+m, ? 2 2 2 由? 得 ( k + 2) x + 2 kmx + ( m -1)=0, 2 2 ? ?2x +y =1, Δ=(2km)2-4(k2+2)(m2-1)=4(k2-2m2+2)>0,(*) -2km m2-1 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 . k +2 k +2
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所以-x1=3x2, ?x +x =-2x , ? 1 2 2 ? 所以? 2 x x =- 3 x 2. ? 1 2 则 3(x1+x2)2+4x1x2=0, 2 ?-2km? m -1 ? ?2 即 3· =0, ? 2 ? +4· 2 k + 2 k + 2 ? ? 整理得 4k2m2+2m2-k2-2=0,即 k2(4m2-1)+(2m2- 2)=0, 1 2 当 m =4时,上式不成立; 2 2 - 2 m 1 当 m2≠4时,k2= 2 , 4m -1 由(*)式,得 k2>2m2-2,又 k≠0,
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因为

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2 2 - 2 m 所以 k2= 2 >0, 4m -1 1 1 解得-1<m<-2或2<m<1,

即所求 m

? ?1 ? 1? ? ? ? 的取值范围为?-1,-2?∪?2,1? ?. ? ? ? ?

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利用判别式法研究圆锥曲线中的范围问题的步骤 第一步:联立方程. 第二步:求解判别式Δ. 第三步:代换.利用题设条件和圆锥曲线的几何性质,得到所 求目标参数和判别式不等式中的参数的一个等量关系,将其代 换. 第四步:下结论.将上述等量代换式代入Δ>0或Δ≥0中,即可求 出目标参数的取值范围. 第五步:回顾反思.在研究直线与圆锥曲线的位置关系问题时, 无论题目中有没有涉及求参数的取值范围,都不能忽视了判别 式对某些量的制约,这是求解这类问题的关键环节.
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5.已知抛物线 x2=4y 的焦点为 F,A、B 是抛物线上的 两动点,且 线,设其交点为 M. (1)证明 为定值; (λ>0).过 A、B 两点分别作抛物线的切

(2)设△ABM 的面积为 S,写出 S=f(λ)的表达式,并求 S 的最小值.

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解:(1)证明:由已知条件,得 F(0,1),λ>0.设 A(x1,y1), B(x2,y2).由 ,得(-x1,1-y1)=λ(x2,y2-1),即 ?-x =λx , ① ? 1 2 ? ? ② ?1-y1=λ?y2-1?, 1 2 1 2 将①式两边平方,并把 y1=4x1,y2=4x2代入得 y1=λ2y2.③ 1 解②、③式,得 y1=λ,y2= λ,且有 x1x2=-λx2 2=-4λy2 1 2 1 =-4,抛物线方程为 y=4x ,求导得 y′=2x.所以过抛物 1 1 线上 A、B 两点的切线方程分别是 y=2x1(x-x1)+y1,y=2 1 1 2 1 1 2 x2(x-x2)+y2,即 y=2x1x-4x1,y=2x2x-4x2.
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则两条切线的交点
?x +x ? 2 ? 1 ? 所以 ,- 1 ? ?, 2 ? ? ?1 1 2? 1 2 ? 2 2 =2(x2-x1)-2?4x2-4x1? ?=0. ? ? ?x +x x1x2? 2 ? 1 ? M 的坐标为? , ?= 2 4 ? ? ?x +x ? 2 ? 1 ? =? (x2-x1, y2-y1) ,- 2 ?· 2 ? ?

所以

为定值,其值为 0.

1 (2)由(1)知在△ABM 中, FM⊥AB, 因而 S=2|AB|· |FM|. ?x +x ? 2 ?2 ? 1 2 |FM|= + ? - 2 ? ? 2 ? ? ? 1 2 1 2 1 = 4x1+4x2+2x1x2+4 1 = y1+y2+2×?-4?+4
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1 = λ+ λ+2 1 = λ+ . λ 因为|AF|、|BF|分别等于 A、B 到抛物线准线 y=-1 的 距离, ? 1? 1 ? 所以|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=λ+ λ +2=? λ+ ? λ? ? ? 2 , 1? 1 1? 1 ? ?3 于 是 S = 2 |AB|· |FM| = 2 ? λ+ ? . 由 λ + ≥2 , 知 λ? λ ? S≥4,且当 λ=1 时,S 取得最小值 4.

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应用函数与方程思想解决问题时应注意以下五个方面的思考 和切入 (1)函数与不等式的相互转化.对函数y=f(x),当y>0时,就 化为不等式f(x)>0,借助于函数的图像和性质可解决有关问 题,而研究函数的性质也离不开不等式. (2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数,用函数 的观点去处理数列问题十分重要. (3)在三角函数求值中,把所求的量看作未知量,其余的量通 过三角函数关系化为未知量的表达式,那么问题就能化为未 知量的方程来解.
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(4)解析几何中的许多问题,如直线与二次曲线的位置关系问 题,需要通过解二元方程组才能解决.这都涉及二次方程与 二次函数的有关理论. (5)立体几何中有关线段的长、面积、体积的计算,经常需要 运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.

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