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2004-2005上期高二数学同步单元测试(一)--不等式单元测试(1)


2004-2005 上期高二数学同步单元测试(一) —不等式单元测试(1)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.已知 c<d, a> b >0, 下列不等式中必成立的一个是 A.a +c> b +d B.a -c> b -d C.a d< b c D. ( )

a b ? c d
( )

2.设 a、b∈R,且 a b<0,则 A.| a +b|>| a -b| B.| a +b|<| a -b| C.| a -b|<| a |-|b|

D.| a -b|<| a |+|b| ( )

3.已知命题 p:“x> a” ,q:“x≥a” ,则 p 是 q 的 A.充分不必要条件 C.充要条件 4.不等式| x -4|≤3 的整数解的个数是 A.7 B.6 C.5 D.4 B.必要不充分条件 D.非充分非必要条件





5.设集合 p={ x |-2< x <3},Q={ x | | x +1|>2,x∈R},则集合 P∪Q= A.{ x |-2< x <1} C.{ x |-3< x <3| 6.若 log3M+log3N≥4,则 M+N 的最小值是 A.4 7.不等式 B.18 C. 4 3 D.9 B.{ x |1< x <3} D.{ x | x <-3 或 x >-2}









2 ? x ? 1的解集是 x?2
B.(-∞, -3)∪(-2, 0) D.(-∞, -3)∪(0, +∞)





A.(-3, -2)∪(0, +∞) C.(-3, 0) 8.若 a < b <0,则下列结论中正确的是 A. 不等式





1 1 1 1 ? 和 ? 均不成立 a b |a| |b|
1

B. 不等式

1 1 1 1 均不成立 ? 和 ? a ?b a | a | |b|
1 1 1 1 ? 和(a ? ) 2 ? (b ? ) 2 均不成立 a ?b a b a

C. 不等式

D. 不等式

1 1 1 1 ? 和(a ? ) 2 ? (b ? ) 2 均不成立 |a| |b| b a
1 1 ? x ? } ,则 a +b= 2 3
( )

9.关于 x 的不等式 a x 2+b x +2>0 的解集是 {x | ?

A.10 B.-10 C.14 D.-14 10.已知集合 A={ x | | x -1|≤a, a >0}, B={ x | | x -3|>4},且 A∩B=φ ,则 a 的取值范围是 ( ) A.(0, 2] B.(-∞, 2] C.(7, +∞) D.(- ∞, -1)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 11. 已知 sin2α +sin2β +sin2r=1(α 、 、 均为锐角), cosα cosβ cosr 的最大值等于 β r 则 12.若扇形的面积为 S,则半径是 13.不等式 4x ? x 2 ? x 的解集是 时扇形的周长最小. . .

14. 某工厂建造一间地面面积为 12m2 的背面靠墙的矩形小房, 房屋正面的造价为 1200 元/ m2, 房屋侧面的造价为 800 元/ m2,屋顶的造价为 5800 元,如果墙高为 3 m,且不计房屋背面 的费用,则建造此小房的最低总造价是 三、解答题(本大题共 6 题,共 76 分) 15.已知 0 < x < 1, 0 < a < 1,试比较 | loga (1 ? x) | 和| loga (1 ? x) | 的大小. (12 分) 元.

16.解不等式 3

x ?1

? 18 ? 3? x ? 29 . (12 分)

17.锐角三角形△ABC 中,已知边 a =1,b=2,求边 c 的取值范围. (12 分)

2

18.求证:

a?b 1? a ? b

?

a 1? a

?

b 1? b

(12 分)

19.已知 f ( x) ? 1 ? x 2

当 a?b 时 求证: | f (a) ? f (b) |?| a ? b | . 分) (14

20.从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业, 根据规划,本年度投入 800 万元,以后每年投入比上年减少

1 .本年度当地旅游业收入 5

估计为 400 万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比 上年增加 . (Ⅰ)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 a n 万元,旅游业总收入为 b n 万元.写 出 a n,b n 的表达式; (Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入? (14 分)

1 4

3

参考答案
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 B 2 B 3 A 4 A 5 D 6 B 7 A 8 B 9 D 10 A

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 11.

2 6 9

12.

S

13. ( 2,4]

14.34600

三、解答题(本大题共 6 题,共 76 分) 15. (12 分) [解法一]:

| loga (1 ? x) |2 ? | loga (1 ? x) |2 ? ?loga (1 ? x) ? loga (1 ? x)??loga (1 ? x) ? loga (1 ? x)?
? log a (1 ? x 2 ) log a
∵0 < 1 ? x2 < 1,

1? x 1? x

0?

1? x ?1 1? x

∴ log a (1 ? x 2 ) log a

1? x ?0 1? x

∴ | loga (1 ? x) |? | loga (1 ? x) | [解法二]:

loga (1 ? x) 1 1? x ? log1? x (1 ? x) ? ? log1? x (1 ? x) ? log1? x ? log1? x loga (1 ? x) 1? x 1? x2

? 1 ? log1? x (1 ? x 2 )
∵0 < 1 ? x2 < 1, 1 + x > 1, ∴ 1 ? log1? x (1 ? x [解法三]:∵0 < x < 1, ∴ loga (1 ? x) ∴左 ? 右 =
2

∴ ? log1? x (1 ? x

2

)?0

) ?1

∴ | loga (1 ? x) |? | loga (1 ? x) | 1 < 1 + x < 2,

∴0 < 1 ? x < 1,

? 0, loga (1 ? x) ? 0

loga (1 ? x) ? loga (1 ? x) ? loga (1 ? x 2 )
∴ loga (1 ? x
2

∵0 < 1 ? x2 < 1, 且 0 < a < 1

)?0

∴ | loga (1 ? x) |? | loga (1 ? x) | 16. (12 分) 4

[解析]:原不等式可化为: 3 ? 3 即: (3
x

2x

? 29 ? 3 x ? 18 ? 0
解之得: 3
x

? 9)(3 ? 3x ? 2) ? 0
? log 3 2 3 ? log 3

?9

或3

x

?

2 3

∴x>2 或 x

∴不等式的解集为{x|x>2 或 x

2 } 3

17. (12 分) ? [解析]:因为△ABC 是锐角三角形,且 a=1,b=2,c>0, 所以 ?cos B

?b 2 ? c 2 ? a 2 4 ? c 2 ? 1 ? ? 0 ? c2 ? 3 ? 0 ? 2bc 4c ? 即, ? b 2 ? a 2 ? c 2 4 ?1? c2 ? ? 0 ? c2 ? 5 ? 0 ? c ? 5 ? 2ba 4 ? ?a2 ? c2 ? b2 1? c2 ? 4 ? ? 0 ? c2 ? 3 ? c ? 3 ? 2ac 2c ?
因此,所求 c 的取值范围是( 18. (12 分) [证法一]: 当

?cos A ? 0 ? 0, ?cosC ? 0 ?

3, 5 )

a ? b ? 0 时,不等式显然成立,
1 1 ? a?b a ? b



a ? b ? 0 时,由 0 ? a ? b ? a ? b ?
a?b 1? a ? b 1 1 ?1 a?b 1 1? 1 a?b

所以,

?

?

?

a?b 1? a ? b

?

a 1? a

?

b 1? b

[证法二]:要证明原不等式成立,则只需证明: |a+b|(1+|a|)(1+|b|)≤|a|(1+|a+b|)(1+|b|)+|b|(1+|a+b|)(1+|a|), 展开,合并同类项,得:|a+b|≤|a|+2|ab|+|a2b+ab2|+|b|, ∵|a+b|≤|a|+|b|, ∴|a+b|≤|a|+2|ab|+|a2b+ab2|+|b|成立, 故原不等式成立. 19. (14 分) [证法一]: | f (a ) ? f (b) |?|

a 2 ? 1 ? b 2 ? 1 |?
| (a ? b)(a ? b) | a ? b
2 2

a2 ?1 ? b2 ?1 a2 ?1 ? b2 ?1
? | a ? b || (a ? b) | |a|?|b|

?

| a2 ? b2 | a ?1 ? b ?1
2 2

?

5

?

(| a | ? | b |) | a ? b | ?| a ? b | |a|?|b|

[证法二]: (构造法) 如图: OA ? f (a) ? 1 ? a 2

1

A

B

OB ? f (b) ? 1 ? b 2
| AB |?| a ? b |
由三角形两边之差小于第三边得: | 20. (14 分) [解析]: (Ⅰ)第 1 年投入为 800 万元,第 2 年投入为 800×(1- 1 )万元,... ...,第 n 年投入为 800 5 × (1 ? ) n ?1 万元. 所以,n 年内的总投入为 an ? 800 ? 800 ? (1 ? ) ? ? ? ? ? 800 ? (1 ? ) n ?1 ? 4000 ? [1 ? ( 4 ) n ]

O

a

b

f (a) ? f (b) |?| a ? b |

1 5

1 5

1 5

5

第 1 年旅游业收入为 400 万元,第 2 年旅游业收入为 400× (1 ? 1 ) 万元.... ...,第 n 年旅游业收

4

入为 400× (1 ? 1 ) n ?1 万元.

4

所以, 年内的旅游业总收入为 bn ? 400 ? 400 ? (1 ? n

1 1 ) ? ? ? ? ? 400 ? (1 ? ) n ?1 ? 1600 ? [( 5 ) n ? 1] 4 4 4

(Ⅱ)设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入,由此 bn 即 1600 ? [(

? an ? 0

5 n 4 ) ? 1] - 4000 ? [1 ? ( ) n ] >0 4 5 4 n 5 n 化简得 5 ? ( ) + 2 ? ( ) -7>0 5 4 4 n 2 设 x ? ( ) ,得 5 x 2-7 x +2>0,解之得 x ? 或x ? 1 (不合题意,舍去) 5 5 4 n 2 即 ( ) ? 5 5 n?5 由此得
答:至少经过 5 年旅游业的总收入才能超过总投入.

6


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