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人教A版选修【2-2】1.3.3《函数的最大(小)值与导数》ppt课件


第一章

导数及其应用

1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.3 函数的最大(小)值与导数

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会用导数求闭区间上函数的最大值,最小值,对多 项式函数一般不超过三次.
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基 础 梳 理

/>1.函数 f(x)在闭区间[a,b]上的最值. 函数 f(x)在闭区间 [a,b]上的图象是一条连续不间断的曲

最大值 与________ 最小值 , 线, 则该函数在[a, b]上一定能够取得____________

极值点 处或___________ 区间端点 处取得. 函数的最值必在________
2.求函数 f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤:

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极值 (1)求函数 y=f(x)在(a,b)内的____________ ; 各极值 与 __________ 端点 处的函数值 (2) 将函数 y = f(x)的 __________ 最大值 ,最小的一个 f(a),f(b)比较,其中最大的一个就是__________

最小值 . 就是____________

基 础 梳 理

例:函数 y=2x3-3x2-12x+5 在[0,3]上的最大 值、最小值分别是( A.5,-15 C.-4,-15 ) B.5,-4 D.5,-16
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答案:A

自 测 自 评

1.连续不断的函数 y=f(x)在区间[a,b]上的最大值是 M,最小值是 m,若 M=m,则 f′(x)( A.等于 0 C.小于 0 B.大于 0 D.以上都有可能 )
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解析:因为最大值等于最小值,所以该函数是常 数函数,所以 f′(x)=0,故选 A. 答案:A

自 测 自 评

2.若 f′(x0)=0,则 x0( A.是极大值点 B.是极小值点 C.是最值点 D.可能是极值点

)

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答案:D

自 测 自 评
3.设函数 f(x)=x(x2-3),则 f(x)在区间[0,1]上的最小值 为( ) A.-1 B. 0 C.-2 D.2
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解析:f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),当 x∈[0,1]时 f′(x)≤0,即 f(x)在区间[0,1]上是减函数,所以最小值为 f(1)=-2. 答案:C

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题型1

求函数在闭区间上的最值

1 例1 求函数 f(x)= x3-4x+4 在[-3 , 3]上的最大值与最小值. 3
解析:f′(x)=x2-4,令 f′(x)=0,解得 x=-2 或 x=2. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况见下表: x f′(x) f(x ) -3 (-3,-2) -2 0 + 28 7 ↗ 3 (-2,2) - ↘ 2 0 - 4 3
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(2,3)
+ ↗

3 1

∴ 由上表看出,函数在区间[-3 , 3]上的最大值为

28 4 ,最小值为- . 3 3

点评:(1)求 f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步 骤如下: ①求函数 y=f(x)在区间(a,b)内的极值; ②计算出 f(a),f(b)的值; ③比较 f(a),f(b)与各极值的大小,其中最大的一个是最 大值,最小的一个是最小值. (2)用导数方法求函数最值(包括值域)的方法: ①对比极值点及端点值; ②利用单调性.
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跟 踪 训 练

? π π? 1.求函数 f(x)=sin 2x-x,x∈?-2,2?的最值. ? ?

解析:f′(x)=2cos 2x-1,令 f′(x)=0,
? π π? π ? ? - , 又 x∈ 2 2 ,得 x=± , 6 ? ? ?π? 3 π ? π? 3 π ? ? ? ? 由 f 6 = - ,f -6 =- + , 2 6 ? 2 6 ? ? ? ?π? π ? π? π ? ? 且 f 2 =- ,f?-2?= , 2 ? ? ? ? 2
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π π 可知[f(x)]max= ,[f(x)]min=- . 2 2

题型2

由函数的最值确定参数

例2 若f(x)=ax3-6ax2+b,x∈[-1,2]的最大值为3, 最小值是-29,求a,b的值.
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解析:f′(x)=3ax2-12ax=3a(x2-4x). 令 f′(x)=0,得 x=0 或 x=4. ∵x∈[-1,2],∴x=0. 由题意知 a≠0.

(1)若 a>0,则 f(x),f′(x)随 x 的变化情况见下表: 0 (0,2) x (-1,0) 0 f′(x) + - f(x ) ↗ 最大值 3 ↘ ∴当 x=0 时,f(x)取得最大值,∴b=3. 又 f(2) = 8a - 24a + 3 =- 16a + 3 , f( - 1) =- 7a + 3>f(2),∴当 x=2 时,f(x)取得最小值,-16a+3=-29, ∴a=2.
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(2)若 a<0,f′(x),f(x)随 x 的变化情况见下表:

x f′(x) f (x )

(-1,0) - ↘

0 0 最小值-29

(0,2) + ↗

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∴当 x=0 时,f(x)取得最小值 f(0)=b=-29.

又 f(2)=-16a-29, f(-1)=-7a-29<f(2), ∴当 x=2 时, f(x)取得最大值, 即-16a-29=3,∴a=-2.
? ? ?a=2, ?a=-2, 综上所述,? 或? ? ? ?b=3 ?b=-29.
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点评:解决此类问题的关键在于确定函数最大值、最小值 对应的自变量的值(即最值点),然后列方程或不等式解得参数 的值或范围,若所含参数对单调性有影响时常需分类讨论.

跟 踪 训 练

3 2 2. 如果函数 f(x)=x - x +a 在[-1,1]上的最大值是 2, 2
3

那么 f(x)在[-1,1]上的最小值是______________.
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解析:f′(x)=3x2-3x=3x(x-1), 令 f′(x)=0,得 x=0 或 x=1. 当-1<x<0 时,f′(x)>0,则 f(x)为增函数; 当 0<x<1 时,f′(x)<0,则 f(x)为减函数.

跟 踪 训 练

所以当 x=0 时,f(x)取得最大值为 a, 3 1 所以 a=2,所以 f(-1)=-1- +2=- , 2 2 3 3 f(1)=1- +2= . 2 2 1 所以在 x∈[-1,1]上,f(x)的最小值为- . 2 1 答案:- 2
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题型3

与函数最值相关的恒成立问题

例3 已知 f(x)=x3-1x2-2x+5,当 x∈[-1,2]时,f(x)<m 恒 2
成立,求实数 m 的取值范围.
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1 2 解析:∵f(x)=x - x -2x+5, 2
3

∴f′(x)=3x2-x-2. 2 令 f′(x)=0,即 3x -x-2=0,得 x=1 或 x=- . 3
2

? 2? 当 x∈?-1,-3?时,f′(x)>0,f(x)为增函数; ? ?

? 2 ? ? 当 x∈ -3,1?时,f′(x)<0,f(x)为减函数; ? ?

当 x∈(1,2)时,f′(x)>0,f(x)为增函数.
? 2? 2 22 ? ? ∴当 x=- 时,f(x)取得极大值 f -3 =5+ ; 3 27 ? ?
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7 当 x=1 时,f(x)取得极小值 f(1)= . 2 11 又 f(-1)= ,f(2)=7,∴f(x)在 x∈[-1,2]上的最大值为 f(2)=7. 2

∴要使 f(x)<m 恒成立,需 f(x)max<m, 即 m>7. ∴所求实数 m 的取值范围是(7,+∞). 点评:不等式恒成立常转化归结为函数的最值问题 解决,但一定注意转化务必为等价转化,否则一定会出 现错误.
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跟 踪 训 练

3.已知函数 f(x)=(x+1)ln x-x+1.若 xf′(x)≤x2+ax +1 恒成立,求 a 的取值范围. x+1 1 解析:f′(x)= x +ln x-1=ln x+x,xf′(x)=xln x
+1,而 xf′(x)≤x2+ax+1(x>0)等价于 ln x-x≤a. 1 令 g(x)=ln x-x,则 g′(x)=x-1. 当 0<x<1 时,g′(x)>0;当 x>1 时,g′(x)<0,x=1 是 g(x)的最大值点,所以 g(x)≤g(1)=-1. 综上可知,a 的取值范围是[-1,+∞).

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