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2004-2005上期高二数学同步练习(1)不等式的性质


2004-2005 上期高二数学同步练习(1) —不等式的性质
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.如果 a<b<0,则下列不等式中成立的只有 ( B. ab ? 1 D. )

a ?1 b a C. ? 1 b
A.

1 1 ? a b

2.对于任意实数 a、b、c、d,命题① 若a ? b, c ? 0, 则ac ? bc ;② 若a ? b, 则ac2 ? bc2 ③ 若ac ? bc , 则a ? b ;④ 若a ? b, 则
2 2

1 1 ? ;⑤ 若a ? b ? 0, c ? d , 则ac ? bd .其 a b
( ) D.4 ( )

中真命题的个数是 A.1 B.2 C.3

3.不等式“a+b>2c”成立的一个充分条件是 A. a ? c或b ? c C. a ? c且b ? c 4. 若 a、b 为实数,则 a >b>0 是 a 2>b2 的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 B. a ? c且b ? c D. a ? c或b ? c





D.既非充分条件也非必要条件 ( D. )

5.若扇形的周长为 C,则使扇形的面积最大时的半径是 A.

C 2

B.

C 3

C.

C 4

C 5
( )

6.下列函数中,最小值为 2 2 的是 A. y ? x ?
x

2 x
?x

B. y ? sin x ?

2 (0 ? x ? ? ) sin x

C. y ? e ? 2e

D. y ? log2 x ? 2 logx 2 ( )

7.设 a ? b ? 0 ,则下列不等式成立的是

a?b 2 ab ? ? ab A. a?b 2

a?b 2 ab ? ab ? B. a?b 2
1

a?b 2 ab ? ? ab a?b 2 1 8.若 0 ? a ? , 则下列不等式中正确的是 2 1 A. log a (1 ? ) ? 1 a
C. C. cos( ? a) ? cos( ? a) 1 1

D.

a?b 2 ab ? ab ? a?b 2
( )

B. a ? ( )
x

1 2

x

D. (1 ? a) n ? a n ( )

9.若实数 a、b 满足 a ? b ? 2, 则2 a ? 2b 的最小值是 A.8 C. 2 2 B.4 D. 24 2

10.甲、乙两工厂 2002 年元月份产值相同,甲厂的产值逐月增加,且每月增加的产值相等, 乙厂的产值也逐月增加,且每月增长的百分率相等,已知 2003 年元月份两厂的产值相 等,则 2002 年 7 月份产值高的工厂是 A.甲厂 B.乙厂 C.产值一样 ( D.无法确定 )

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 11.若 ? 1 ? a ? 2 , ? 2 ? b ? 1,则 a-b 的取值范围是 12.函数 y ? x ?
2

. . .

1 ? 1 的值域为 x ?1
2

13.已知 x>0,y>0 且 x+y=5,则 lgx+lgy 的最大值是 14.已知 m ? 1, 设A ?

m ? 1 ? m, B ? m ? m ? 1, 则A, B 之间的大小关系是

三.解答题(本大题共 6 题,共 76 分)
2 15.设 f ( x) ? ax ? bx, 且1 ? f (?1) ? 2,2 ? f (1) ? 4 ,求 f (?2) 的取值范围. (12 分)

16.已知 x>0,y>0 且 x+2y=1,求 xy 的最大值,及 xy 取最大值时的 x、y 的值. (12 分)

17.已知 f ( x) ? log a x(a ? 0且a ? 1, x ? 0), 若x1 ? 0, x2 ? 0, 判断 [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] 与 f(

1 2

x1 ? x 2 ) 的大小,并加以证明. (12 分) 2
2

18.已知△ABC 内接于单位圆,且 (1 ? tan A)(1 ? tan B) ? 2 , (1)求证内角 C 为定值; (2)求△ABC 面积的最大值. (12 分)

19.一批救灾物资随 26 辆汽车从某市以 x km/h 的速度匀速开往 400km 处的灾区,为安全起 见,每两辆汽车的前后间距不得小于 ( 小时? (14 分)

x 2 ) km,问这批物资全部到达灾区,最少要多少 20

20.已知 a,b,c 是实数, f ( x) ? ax2 ? bx ? c, g ( x) ? ax ? b,当 ? 1 ? x ? 1 | f ( x) |? 1. 时 (1)求证: | c |? 1 , (2)求证:当 ? 1 ? x ? 1 , | g ( x) |? 2 . (14 分) 时

3

参考答案
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 C 2 A 3 C 4 A 5 C 6 C 7 B 8 C 9 B 10 A

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 11. ? 2 ? a ? b ? 4 15. (12 分) [解析]:因为 1 ? f (?1) ? a ? b ? 2 , 2 ? f (1) ? a ? b ? 4 , 3 ? f (?1) + f (1) ? 2a ? 6 又 f (?2) ? 4a ? 2b ? 2a ? 2b ? 2a 所以 5 ? f (?2) ? 10 16. (12 分) [解析]:因为 x >0,y>0,且 x +2y=1 所以 x y= 1 ( x ? 2 y) ? 1 ? x ? 2 y ? = 1 ? 1 ? 1 ? ?
2

12. [2,??)

13. lg 5

14. A ? B

2

2

2?

2

?

2 4

8

1 ? ?x ? 2 ?x ? 2 y ? 当且仅当 x =2y 时上述不等式取“=”号,由 ?? ? x ? 2y ?1 ? 1 ? y? ? 4 ?

因此,当 x ? 1 , y ? 1 时,x y 取得最大值
2
4

1 . 8

17. (12 分) [解析]: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? loga x1 ? loga x2 ? loga ( x1 x2 ) , 因为 x1 ? 0, x2 ? 0 ,所以 x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 (当且仅当 x1 ? x 2 时取“=”号) .
2

①当 a>1 时, loga ( x1 x2 ) ? loga ( x1 ? x2 ) 2 ,
2

x ? x2 1 1 ? (loga x1 ? loga x2 ) ? loga ( x1 x 2 ) ? loga ( 1 ), 2 2 2

即 1 [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] ? f ( x1 ? x 2 ) (当且仅当 x1 ? x 2 时取“=”号) .
2 2

②当 0<a<1 时, loga ( x1 x 2 ) ? loga (

x1 ? x 2 2 ) , 2

1 1 x ?x ? (log a x1 ? log a x2 ) ? log a ( x1 x2 ) ? log a ( 1 2 ) 2 2 2
4

即 1 [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] ? f ( x1 ? x 2 ) (当且仅当 x1 ? x2 时取“=”号) .
2 2

18. (12 分) (1)[证明]:由 (1 ? tan A)(1 ? tan B) ? 2 ? 1 ? tan A tan B ? tan A ? tan B ? 2
? (1 ? 1 )(tanA ? tan B) ? 0 tan(A ? B)
?1 ? 1 ?0 t a nA ? B) (

? (tan A ? tan B) ? 0

o

即 tan(A ? B) ? 1 ,所以∠ C ? 135? ( 2 ) [ 解 析 ] : 由 题 意 可 得 S ?ABC ? 1 AC ? BC sin C ? 2 AC ? BC 2 4
? 2 AC ? BC 2 ( ) 4 2

D C

B

A

当 AC=BC 时, S ?ABC 有最大值,最大值为 S ?ABC ? 再作辅助线如图,连结 OD,OA,得 AB⊥OC, 所以 AD=BD=
2 ,CD=1- 2 , 2 2

2 ( AC) 2 4

AC2=AD2+CD2= 2 ? 2 19. (14 分)

所以 S ?ABC 最大值= 2 ( AC) 2 =
4

2 ?1 2

[解析]:设全部物资到达灾区所需时间为 t 小时,由题意可知, t 相当于:最后一辆车行驶了 25 个 (
25 ? (

x 2 ) km+400(km)所用的时间, 20

因此,t=

x 2 ) 20 ? 400 ? 2 25x ? 400 ? 10 400 x x x

当且仅当 25 x ? 400 即 x =80 时取“=”号.
400 x

答:这些汽车以 80 km/h 的速度匀速行驶时,所需时间最少,最少时间是 10 小时. 20. (14 分) [证明](1)?当 ? 1 ? x ? 1时, | f ( x) |? 1 (2)?当 ? 1 ? x ? 1时, | f ( x) |? 1
? c |?| f (0) |? 1 |
? f (1) |? 1 | | f (?1) |? 1

? a ? b |?| f (1) ? c |?| f (1) | ? | c |? 2, | | ?a ? b |?| a ? b |?| f (?1) ? c |?| f (?1) | ? | c |? 2 即 | g (?1) |? 2 函数g ( x) ? ax ? b 的图象是一条直线. ? g ( x) | 在[?1,1] 上的最大值只能在 x ? ?1或x ? 1 处取得 |
?当 ? 1 ? x ? 1时, | g ( x) |? 2 .

5


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