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竞赛班辅导资料 机械能守恒定律 专题


--广州市育才中学2008届 高一级物理培优班 谢穗琼

一、机械能守恒定律的守恒条件 问题
1、对机械能守恒条件的理解
① 只受重力或系统内弹力。(如忽略空 气阻力的抛体运动) ② 还受其他力,但其他力不做功。(如 物体沿光滑的曲面下滑,尽管受到支持力, 但支持力不做功)
③ 有其他力做功,但做功的代数和为零。

r /> 2、判断机械能是否守恒的常用方法 ①用做功来判断 a.直接看对象总机械能是否 ②用能量角 变化 度来判断 b.看对象是否存在机械能与 其他形式能量转化或与其他 对象机械能转移 ③对一些绳子突然绷紧,物体间非弹性碰 撞,除题目特殊说明,机械能必定不守恒 (子弹打击问题)

例1、木块A和B用一只轻弹簧连接起来,放 在光滑水平面上,A紧靠墙壁,弹簧质量不 计。在B上施加向左的水平力使弹簧压缩, 如图所示,当撤去外力后,下列说法中正 确的是( )
A B

F

A.A离开墙壁前,A的机械能守恒 B.A离开墙壁前,A、B及弹簧这一系统的机 械能守恒 C.A离开墙后,A的机械能守恒 D.A离开墙后,A、B及弹簧这一系统的机械 能守恒

二、应用机械能守恒定律解题的方法和步 骤 ①明确研究对象(物体或者系统) ②明确研究对象的运动过程,分析研究对象 的受力情况以及各力做功的情况,判断机 械能是否守恒 ③恰当地选取参考平面(零势能面),并确定 研究对象在过程中的始末机械能 ④根据机械能守恒定律列出方程进行求解, 有时不够时再辅之以其它方程

三、机械能守恒定律的综合应用问题 (一)一个物体的运动问题 例2、如图所示,在长1m的线下吊一个质量 为1㎏的小球。当线受到19N的拉力时就被 拉断,现将小球拉起一定高度后放开,小 球到悬点正下方时线刚好被拉断, (g=10m/s2)求: (1)球被拉起的高度 (2)线被拉断后,球 5m 落于悬点正下方5m的 s 水平面上的位置。

解:刚好被拉断瞬间,向心力为
v2 Fn ? Tmax ? mg ? m r
( Fmax ? mg )r ? 3m / s 所以 v ? m

从释放至刚好被拉断瞬间,机械能守恒:
1 2 mgh ? mv 2

所以
1 2 H ? gt 2

mv h? ? 0.45m 2mg

2

断开后,小球做平抛运动,

S ? vt
所以

2H S ?v ? 3m g

例3、在高为h=1.2m的光滑平台上有一个质 量m为0.5kg的小球被一细绳拴在墙上,球 与墙之间有一被压缩的轻弹簧,弹簧的弹 性势能Ep1=2J,当细线被烧断后,小球被 弹出,求: (1)小球被弹出后的速度v1多大? (2)小球的落地速度v2多大?(g=10m/s2) 解:小球被弹出的过 程机械能守恒

1 2 E p1 ? mv1 2

h

小球被弹出后的速度为:

v1 ? 2 2m / s ? 2.828m / s
之后,小球做平抛运动,机械能守恒 1 1 2 2 mv1 ? mgh ? mv2 2 2

v2 ? 4 2m / s ? 5.656m / s

例4、如图所示,用长为L的细绳悬挂一质 量为m的小球,再把小球拉到A点,使悬线与 水平方向成30°夹角,然后松手。问:小球 运动到悬点正下方B点时悬线对球的拉力 A 多大?
解:小球释放后,首先在重力作 用下自由下落至C点细绳再次 伸直,由几何关系可知,此时细 绳与水平方向夹角为30°,小 球下落高度h=L。
300

B

根据机械能守恒定律得:
1 mgL ? mvc 2 2

A

Vc ? 2 gL

300 F0

C F 在C点细绳突然张紧对小球施 V 以沿细绳的冲量,使小球沿细绳 B 方向的分运动立即消失,其速度 V 0 由Vc变为Vc1 Vc1 ? Vc cos 30 mg V 之后,小球沿圆弧运动至B点,在此过程中,只 有重力做功,机械能守恒 mgL(1 ? cos 30 ) ? 1 mV ? 1 mV
c1 c

c2

0

2

2 B

2

2 C

小球运动至B点时,细绳的拉力与重力提供向 2 心力 VB 所以F=3.5mg
F ? mg ? m L

例5、质量为m的小球由长为L的细线系住, 细线的另一端固定在A点,AB是过A的竖直 线,E为AB上的一点,且AE=L/2,过E做水平 线EF,在EF上钉铁钉D,如图所示.若线所能 承受的最大拉力是9mg,现将小球和悬线拉 至水平,然后由静止释放,若小球能绕铁钉在 竖直面内做圆周运动,求铁钉位置在水平线 上的取值范围.不计线与铁钉 A 碰撞时的能量损失. D
E F

B

分析:首先需注意到题目中有两个约束条件, 一个是细线承受的拉力最大不能超过9mg, 再就是必须通过最高点做竖直面上的完整 的圆周运动.这样铁钉在水平线上的取值范 围就由相应的两个临界状态决定.
解:设铁钉在位置D时,球至最低点细线所 承受的拉力刚好为9mg,并设DE=X1,由几 何关系可求得碰钉子后球圆周运动的半径
r ? L ? AD ? L ?
2 x1

L 2 ?( ) 2

球由C点至D点正下方的过程中,遵守机械 能守恒定律,有 mg( L ? r ) ? 1 mV12
2 2

球至D点正下方时,由细线拉力和球的重力 的合力提供向心力.根据向心力公式得:
9mg ? mg ? 8mg ? m
2 V1

r

解以上各式得:

2 x1 ? L 3

再设铁钉在D`点时,小球刚好能够绕铁钉通 过最高点做完整的圆周运动,并设D`E=X2, 由几何关系可求得球的运动半径为

r `? L ?

2 x2

L 2 ?( ) 2

球由C至圆周最高点过程中,遵守机械能守恒 L 1 定律,有: mg( ? r `) ? mV22
2 2

球至圆周最高时,其向心力由球的重力提供, V22 根据向心力公式得: mg ? m
r`

解以上各式得:

7 x2 ? L 6

铁钉在水平线EF上的位置范围是:
7 2 L?x? L 6 3

(二)“落链”问题 例6、长为L质量分布均匀的绳子,对称地悬 挂在轻小的定滑轮上,如图所示.轻轻地推动 一下,让绳子滑下,那么当绳子离开滑轮的瞬 间,绳子的速度为 . 解:由机械能守恒定律,取 小滑轮处为零势能面.
1 L L 1 2 ? 2 ? mg ? ? ?mg ? mv 2 4 2 2
1 ?v ? gL 2

(三) “流体”问题 例7、如图所示,一粗细均匀的U形管内装有 同种液体竖直放置,右管口用盖板A密闭一 部分气体,左管口开口,两液面高度差为h,U 形管中液柱总长为4h,现拿去盖板,液柱开始 流动.当两侧液面恰好相齐时右侧液面下降 A 的速度大小为 . h 解:应用“割补”法: 液面相齐时等效于把右侧中h/2 的液柱移到左侧管中,其减少的 重力势能转变为整个液柱的动能.

根据机械能守恒定律得:
h 1 mg ? MV 2 2 2

设液体密度为ρ有:

h m?? S 2

M ? ? 4hS

所以:

V?

gh 8

(四)系统机械能守恒的问题 处理这类问题时,一是要注意应用系统机械 能是否守恒的判断方法;再是要灵活选取机 械能守恒的表达式.常用的是:

?E A ? ??EB或?EP ? ??EK 例8、如图所示,两小球mA 、 mB 通过绳绕过固定的半径 为R的光滑圆柱,现将A球由 静止释放,若A球能到达圆柱 体的最高点,求此时的速度 大小(mB=2mA).

2? R 解:B球下落得高度为 R ? 4

A球上升得高度为2R 由A→B根据能量转化守恒定律 ΔEK = -ΔEP
2? R 1 2 ) ? mA g ? 2R ? (mA ? mB )v 得 mB g ( R ? 4 2

所以

2? gR V? 3

2? R 1 2 m2 g ( R ? ) ? m1 g ? 2R ? (m2 ? m1 )v 4 2

例9、如图光滑圆柱被固定在水平平台上, 质量为m1的小球甲用轻绳跨过圆柱与质量 为m2的小球乙相连,开始时让小球甲放在 平台上,两边绳竖直,两球均从静止开始 运动,当甲上升到圆柱最高点时绳子突然 断了,发现甲球恰能做平抛运动,求甲、 乙两球的质量关系。 分析:与上题相似,只是甲乙 m1 的末速度为 v ? gR ,所以 m2
m1 : m2 ? (? ? 1) : 5

例10、如图所示,质量分别为4m和m的A和B 物体用细绳连接,并跨过装在斜面顶端的 无摩擦滑轮上,A放在倾角为30°的光滑斜 面上,开始时将B按在地面上不动,然后放 开手,让A沿斜面下滑而B上升, 设当A沿斜 面下滑s距离后,细线突然断了,求物块B上 升的最大距离H。 解:取A、B及地球为系统:
?EK ? ??EP

对B: ? v2 ? 2(? g )h 0

1 2 0 (4m ? m)v ? 4mg ? s ? sin 30 ? mgs 2

且 H ? S ? h 所以 H ? 1.2s

例11、如图所示,长为2L的轻杆OB,O端 装有转轴,B端固定一个质量为m的小球B, OB中点A固定一个质量为m的小球A,若 OB杆从水平位置静止开始释放转到竖直位 置的过程中,求A、B球摆到最低点的速度 大小各是多少。 解:选A、B及地球为一系统, 此系统中只有动能和重力势能 发生转化,系统机械能守恒, 1 1 2 有: mvA ? mvB 2 ? mgl ? mg 2l
2 2

又 v B ? 2v A

所以

vA ? 1.2 gl , vB ? 4.8 gl

例12、如图所示,半径为r,质量不计的圆盘 与地面垂直,圆心处有一个垂直盘面的光滑 水平固定轴O,在盘的最右边缘固定一个质 量为m的小球A,在O点的正下方离O点r/2处 固定一个质量也为m的小球B.放开盘让其 自由转动,求: (1)A球转到最低点时的线速度是多少?

(2)在转动过程中半径OA 向左偏离竖直方向的最大角 度是多少?

A B

解:(1)该系统在自由转动过程中,只有重力 做功,机械能守恒.设A球转到最低点时的线 速度为VA,B球的速度为VB,则据 机械能守恒定律可得: A

mgr 1 1 2 2 mgr ? ? mvA ? mvB 2 2 2
据圆周运动的知识可知:VA=2VB 所以
gr vA ? 2 5

B

B A

(2)设在转动过程中半径OA向左 偏离竖直方向的最大角度是 θ(如所示),则据机械能守恒定律 可得:
r (1 ? sin ? ) mgr cos ? ? mg ?0 2

θ

所以

3 ? ? arcsin 5

例13、如图所示,将楔木块放在光滑水平面 上靠墙边处并用手固定,然后在木块和墙面 之间放入一个小球,球的下缘离地面高度为 H,木块的倾角为θ,球和木块质量相等,一切 接触面均光滑,放手让小球和木块同时由静 止开始运动,求球着地时球和木块的速度. 解:因为球下落的垂直于斜面 的分速度与斜面该方向的分速 V 度相等,即 V v ? v1 cos ? v ? v2 sin ? v1 ? ? tan ? v2
2

1

由机械能守恒定律可得
1 1 2 2 mgH ? mv1 ? mv2 2 2

联立方程可得
v1 ? 2 gH sin ? v2 ? 2 gH cos ?

例14、如图所示,光滑的半圆曲面AB,其半 径为R,在B端有一光滑小滑轮,通过滑轮用 细绳连着两个物体P、Q,其质量分别为M和 m,开始时,P在B处附近,Q悬在空中,现无初 速地释放P,P沿半圆曲面滑下,试求P滑至最 低点时,P、Q的速度各多大?设绳足够长. 解:因系统内各物体间均 A M P B 无滑动摩擦力,所以系统 R 遵守机械能守恒定律.
1 1 2 2 MgR ? mg 2 R ? MVP ? mVQ 2 2
m

Q

将速度VP分解,如图所示,得:
V2 ? VQ ? V P cos 45
0
A V1 M P m V2 B

联立两式得
gR( M ? 2m) VP ? 2 2M ? m
2 gR( M ? 2 m) VQ ? 2 2M ? m

VP

Q

例15、如图所示,质量均为m的小球A、B、 C,用两条长均为L的细线相连,置于高为h 的光滑水平桌面上。L>h,A球刚跨过桌面。 若A球、B球下落着地后均不再反弹,则C 球离开桌边缘时的速度大小是多少? 解:A球下落带动B、C球运 动。A球着地前瞬间,A、B、 C三球速率相等,且B、C球 均在桌面上。因A球着地后 不反弹,故A、B两球间线松弛,B球继续运 动并下落,带动小球C,在B球着地前瞬间 ,B、C两球速率相等。

故本题的物理过程应划分为两个阶段:从A 球开始下落到A球着地瞬间;第二个阶段, 从A求着地后到B球着地瞬间。 在第一个阶段,选三个球及地球为系统, 机械能守恒,则有: 1 2
mgh ? (3m)v1 2

第二个阶段,选B、C两球及地球为系统, 机械能守恒,则有:
1 1 2 mgh ? (2m)v2 ? (2m)v12 2 2

解得:

5 v2 ? gh 3


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