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学案2 命题及其关系、充分条件与必要条件


学案 2

命题及其关系、充分条件与必要条件

导学目标: 1.能写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题,会分析四种命题的相互关系. 2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.

自主梳理 1.命题 用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,其中判断为真的语句叫 做真命题,判断为假的语句叫做假命题. 2.

四种命题及其关系 (1)四种命题 一般地, 用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论, 用非 p 和非 q 分别表示 p 和 q 的否定, 于是四种命题的形式就是 原命题:若 p 则 q(p?q); 逆命题:若 q 则 p(q?p); 否命题:若非 p 则非 q(非 p?非 q); 逆否命题:若非 q 则非 p(非 q?非 p). (2)四种命题间的关系

(3)四种命题的真假性 ①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性. ②两个命题为逆命题或否命题,它们的真假性没有关系. 3.充分条件与必要条件 若 p?q,则 p 叫做 q 的充分条件;若 q?p,则 p 叫做 q 的必要条件;如果 p?q,则 p 叫做 q 的充要条件. 自我检测 1.(2010· 湖南)下列命题中的假命题是( ) A.?x∈R,lg x=0 B.?x∈R,tan x=1 C.?x∈R,x3>0 D.?x∈R,2x>0 答案 C 解析 对于 C 选项,当 x=0 时,03=0,因此?x∈R,x3>0 是假命题. 2.(2010· 陕西)“a>0”是“|a|>0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 a>0?|a|>0,|a|>0 ? a>0,∴“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件. 3.(2009· 浙江)“x>0”是“x≠0”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

答案 A 解析 对于“x>0”?“x≠0”,反之不一定成立,因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要 条件. 4.若命题 p 的否命题为 r,命题 r 的逆命题为 s,则 s 是 p 的逆命题 t 的( ) A.逆否命题 B.逆命题 C.否命题 D.原命题 答案 C 解析 由四种命题逆否关系知,s 是 p 的逆命题 t 的否命题. 5.(2011· 宜昌模拟)与命题“若 a∈M,则 b ? M”等价的命题是( ) A.若 a ? M,则 b ? M B.若 b ? M,则 a∈M C.若 a ? M,则 b∈M D.若 b∈M,则 a ? M 答案 D 解析 因为原命题只与逆否命题是等价命题,所以只需写出原命题的逆否命题即可.

探究点一

四种命题及其相互关系

例 1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断其真假. (1)实数的平方是非负数; (2)等底等高的两个三角形是全等三角形; (3)弦的垂直平分线经过圆心,并平分弦所对的弧. 解题导引 给出一个命题,判断其逆命题、否命题、逆否命题等的真假时,如果直接判 断命题本身的真假比较困难,则可以通过判断它的等价命题的真假来确定. 解 (1)逆命题:若一个数的平方是非负数,则这个数是实数.真命题. 否命题:若一个数不是实数,则它的平方不是非负数.真命题. 逆否命题:若一个数的平方不是非负数,则这个数不是实数.真命题. (2)逆命题:若两个三角形全等,则这两个三角形等底等高.真命题. 否命题:若两个三角形不等底或不等高,则这两个三角形不全等.真命题. 逆否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形不等底或不等高.假命题. (3)逆命题: 若一条直线经过圆心, 且平分弦所对的弧, 则这条直线是弦的垂直平分线. 真 命题. 否命题: 若一条直线不是弦的垂直平分线, 则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧. 真 命题. 逆否命题: 若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧, 则这条直线不是弦的垂直平分 线.真命题. 变式迁移 1 有下列四个命题: ①“若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题; ③“若 q≤1,则 x2+2x+q=0 有实根”的逆否命题; ④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题. 其中真命题的序号为________. 答案 ①③ 解析 ①的逆命题是“若 x,y 互为相反数,则 x+y=0”,真;②的否命题是“不全等 的三角形的面积不相等”,假;③若 q≤1,则 Δ=4-4q≥0,所以 x2+2x+q=0 有实根, 其逆否命题与原命题是等价命题,真; ④的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三角形”,假.

探究点二

充要条件的判断

例 2 给出下列命题,试分别指出 p 是 q 的什么条件. (1)p:x-2=0;q:(x-2)(x-3)=0. (2)p:两个三角形相似;q:两个三角形全等. (3)p:m<-2;q:方程 x2-x-m=0 无实根. (4)p:一个四边形是矩形;q:四边形的对角线相等. 解 (1)∵x-2=0?(x-2)(x-3)=0; 而(x-2)(x-3)=0 x-2=0. ∴p 是 q 的充分不必要条件. (2)∵两个三角形相似 两个三角形全等; 但两个三角形全等?两个三角形相似. ∴p 是 q 的必要不充分条件. (3)∵m<-2?方程 x2-x-m=0 无实根; 方程 x2-x-m=0 无实根 m<-2. ∴p 是 q 的充分不必要条件. (4)∵矩形的对角线相等,∴p?q; 而对角线相等的四边形不一定是矩形,∴q p.

∴p 是 q 的充分不必要条件. 变式迁移 2 (2011· 邯郸月考)下列各小题中,p 是 q 的充要条件的是( ) ①p:m<-2 或 m>6;q:y=x2+mx+m+3 有两个不同的零点; f?-x? ②p: =1;q:y=f(x)是偶函数; f?x? ③p:cos α=cos β;q:tan α=tan β; ④p:A∩B=A;q:?UB??UA. A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 答案 D 解析 ①q:y=x2+mx+m+3 有两个不同的零点?q:Δ=m2-4(m+3)>0?q:m<-2 π 或 m>6?p;②当 f(x)=0 时,由 q p;③若 α,β=kπ+ ,k∈Z 时,显然 cos α=cos β,但 2 tan α≠tan β;④p:A∩B=A?p:A?B?q:?UA??UB.故①④符合题意.

探究点三

充要条件的证明

例 3 设 a,b,c 为△ABC 的三边,求证:方程 x2+2ax+b2=0 与 x2+2cx-b2=0 有 公共根的充要条件是∠A=90° . 解题导引 有关充要条件的证明问题,要分清哪个是条件,哪个是结论,由“条件”? “结论”是证明命题的充分性, 由“结论”?“条件”是证明命题的必要性. 证明要分两个 环节:一是充分性;二是必要性. 证明 (1)必要性:设方程 x2+2ax+b2=0 与 x2+2cx-b2=0 有公共根 x0, 2 2 2 则 x2 0+2ax0+b =0,x0+2cx0-b =0, 2 b 2 两式相减可得 x0= ,将此式代入 x2 0+2ax0+b =0, c-a 可得 b2+c2=a2,故∠A=90° , (2)充分性:∵∠A=90° , ∴b2+c2=a2,b2=a2-c2.① 将①代入方程 x2+2ax+b2=0, 可得 x2+2ax+a2-c2=0, 即(x+a-c)(x+a+c)=0. 将①代入方程 x2+2cx-b2=0, 可得 x2+2cx+c2-a2=0,即(x+c-a)(x+c+a)=0. 故两方程有公共根 x=-(a+c). 所以方程 x2+2ax+b2=0 与 x2+2cx-b2=0 有公共根的充要条件是∠A=90° . 变式迁移 3 已知 ab≠0,求证:a+b=1 的充要条件是 a3+b3+ab-a2-b2=0. 证明 (1)必要性:∵a+b=1,∴a+b-1=0. ∴a3+b3+ab-a2-b2 =(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2) =(a+b-1)(a2-ab+b2)=0. (2)充分性: ∵a3+b3+ab-a2-b2=0, 即(a+b-1)(a2-ab+b2)=0. 又 ab≠0,∴a≠0 且 b≠0. b 3 ∵a2-ab+b2=(a- )2+ b2>0. 2 4 ∴a+b-1=0,即 a+b=1. 综上可知,当 ab≠0 时,a+b=1 的充要条件是 a3+b3+ab-a2-b2=0.

转化与化归思想的应用
例 (12 分)已知两个关于 x 的一元二次方程 mx2-4x+4=0 和 x2-4mx+4m2-4m-5

=0,且 m∈Z.求两方程的根都是整数的充要条件. 【答题模板】 解 ∵mx2-4x+4=0 是一元二次方程, ∴m≠0. 分] 另一方程为 x2-4mx+4m2-4m-5=0,两方程都要有实根, ?Δ1=16?1-m?≥0, ? ∴? 2 2 ? ?Δ2=16m -4?4m -4m-5?≥0, 5 解得 m∈[- ,1]. 4 分] ∵两根为整数,故和与积也为整数, 4 ∈Z m ∴ 4m∈Z ,∴m 为 4 的约数,

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? ? ? ? ?4m -4m-5∈Z
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分] ∴m=-1 或 1,当 m=-1 时, 第一个方程 x2+4x-4=0 的根为非整数, 而当 m=1 时,两方程均为整数根, ∴两方程的根均为整数的充要条件是 m=1. 分] 【突破思维障碍】 本题涉及到参数问题,先用转化思想将生疏复杂的问题化归为简单、熟悉的问题解决, 两方程有实根易想 Δ≥0.求出 m 的范围, 要使两方程根都为整数可转化为它们的两根之和与 两根之积都是整数. 【易错点剖析】 易忽略一元二次方程这个条件隐含着 m≠0,不易把方程的根都是整数转化为两根之和 与两根之积都是整数.

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1. 研究命题及其关系时, 要分清命题的题设和结论, 把命题写成“如果??, 那么??” 的形式, 当一个命题有大前提时, 必须保留大前提, 只有互为逆否的命题才有相同的真假性. 2.在解决充分条件、必要条件等问题时,要给出 p 与 q 是否可以相互推出的两次判断, 同时还要弄清是 p 对 q 而言,还是 q 对 p 而言.还要分清否命题与命题的否定的区别. 3.本节体现了转化与化归的数学思想.

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2010· 天津模拟)给出以下四个命题: ①若 ab≤0,则 a≤0 或 b≤0;②若 a>b,则 am2>bm2;③在△ABC 中,若 sin A=sin B, 则 A=B;④在一元二次方程 ax2+bx+c=0 中,若 b2-4ac<0,则方程有实数根.其中原命 题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( ) A.① B.② C.③ D.④

答案 C 解析 对命题①,其原命题和逆否命题为真,但逆命题和否命题为假;对命题②,其原 命题和逆否命题为假,但逆命题和否命题为真;对命题③,其原命题、逆命题、否命题、逆 否命题全部为真;对命题④,其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为假. π 2.(2010· 浙江)设 0<x< ,则“xsin2x<1”是“xsin x<1”的( ) 2 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B π 解析 ∵0<x< ,∴0<sin x<1. 2 ∴xsin x<1?xsin2x<1,而 xsin2x<1 xsin x<1. 故 选 B. π 1 3.(2009· 北京)“α= +2kπ(k∈Z)”是“cos 2α= ”的( ) 6 2 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A π 1 解析 由 α= +2kπ(k∈Z)可得到 cos 2α= . 6 2 1 π 由 cos 2α= 得 2α=2kπ± (k∈Z). 2 3 π ∴α=kπ± (k∈Z). 6 1 π 所以 cos 2α= 不一定得到 α= +2kπ(k∈Z). 2 6 4.(2011· 威海模拟)关于命题“若抛物线 y=ax2+bx+c 的开口向下,则{x|ax2+bx+ c<0}≠?”的逆命题、否命题、逆否命题,下列结论成立的是( ) A.都真 B.都假 C.否命题真 D.逆否命题真 答案 D 解析 本题考查四种命题之间的关系及真假判断. 对于原命题:“若抛物线 y=ax2+bx+c 的开口向下,则{x|ax2+bx+c<0}≠?”,这是 一个真命题,所以其逆否命题也为真命题,但其逆命题:“若{x|ax2+bx+c<0}≠?,则抛物 线 y=ax2+bx+c 的开口向下”是一个假命题,因为当不等式 ax2+bx+c<0 的解集非空时, 可以有 a>0,即抛物线的开口可以向上.因此否命题也是假命题. 5. (2011· 枣庄模拟)集合 A={x||x|≤4, x∈R}, B={x|x<a}, 则“A?B”是“a>5”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 A={x|-4≤x≤4},若 A?B,则 a>4,a>4 a>5,但 a>5?a>4.故选 B. 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.“x1>0 且 x2>0”是“x1+x2>0 且 x1x2>0”的________条件. 答案 充要 7.(2011· 惠州模拟)已知 p:(x-1)(y-2)=0,q:(x-1)2+(y-2)2=0,则 p 是 q 的 ____________条件. 答案 必要不充分

解析 由(x-1)(y-2)=0 得 x=1 或 y=2,由(x-1)2+(y-2)2 =0 得 x=1 且 y=2,所 以由 q 能推出 p,由 p 推不出 q, 所以填必要不充分条件. 8.已知 p(x):x2+2x-m>0,如果 p(1)是假命题,p(2)是真命题,则实数 m 的取值范围 为________. 答案 [3,8) 解析 因为 p(1)是假命题,所以 1+2-m≤0, 解得 m≥3;又因为 p(2)是真命题,所以 4+4-m>0, 解得 m<8.故实数 m 的取值范围是 3≤m<8. 三、解答题(共 38 分) 9.(12 分)(2011· 许昌月考)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它 们的真假. (1)若 q<1,则方程 x2+2x+q=0 有实根; (2)若 ab=0,则 a=0 或 b=0; (3)若 x2+y2=0,则 x、y 全为零. 解 (1)逆命题:若方程 x2+2x+q=0 有实根,则 q<1,为假命题. 否命题:若 q≥1,则方程 x2+2x+q=0 无实根,为假命题. 逆否命题:若方程 x2+2x+q=0 无实根,则 q≥1,为真命题.(4 分) (2)逆命题:若 a=0 或 b=0,则 ab=0,为真命题. 否命题:若 ab≠0,则 a≠0 且 b≠0,为真命题. 逆否命题:若 a≠0 且 b≠0,则 ab≠0,为真命题.(8 分) (3)逆命题:若 x、y 全为零,则 x2+y2=0,为真命题. 否命题:若 x2+y2≠0,则 x、y 不全为零,为真命题. 逆否命题:若 x、y 不全为零,则 x2+y2≠0,为真命题.(12 分) 10.(12 分)设 p:实数 x 满足 x2-4ax+3a2<0,其中 a<0;q:实数 x 满足 x2-x-6≤0, 2 或 x +2x-8>0,且非 p 是非 q 的必要不充分条件,求 a 的取值范围. 解 设 A={x|p}={x|x2-4ax+3a2<0,a<0}={x|3a<x<a,a<0},(2 分) B={x|q}={x|x2-x-6≤0 或 x2+2x-8>0}={x|x2-x-6≤0}∪{x|x2+2x-8>0} ={x|-2≤x≤3}∪{x|x<-4 或 x>2} ={x|x<-4 或 x≥-2}.(4 分) ∵非 p 是非 q 的必要不充分条件, ∴非 q?非 p,且非 p 非 q. 则{x|非 q} ? {x|非 p},(6 分) 而{x|非 q}=?RB={x|-4≤x<-2}, {x|非 p}=?RA={x|x≤3a 或 x≥a,a<0}, ∴{x|-4≤x<-2} ? {x|x≤3a 或 x≥a,a<0}, (10 分) ?3a≥-2, ?a≤-4, ? ? 则? 或? (11 分) ?a<0 ?a<0. ? ? 2 综上,可得- ≤a<0 或 x≤-4.(12 分) 3 11.(14 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=pn+q(p≠0,且 p≠1),求证:数列{an}为等比 数列的充要条件为 q=-1. 证明 充分性:当 q=-1 时, a1=S1=p+q=p-1.(2 分) - 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=pn 1(p-1). 当 n=1 时也成立.(4 分) an+1 pn?p-1? 于是 = =p(n∈N*), an pn-1?p-1? 即数列{an}为等比数列.(6 分) 必要性:当 n=1 时,a1=S1=p+q. - 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=pn 1(p-1).

∵p≠0,p≠1, an+1 pn?p-1? ∴ = =p.(10 分) an pn-1?p-1? ∵{an}为等比数列, p?p-1? a2 an+1 ∴ = =p,即 =p, a1 an p+q 即 p-1=p+q.∴q=-1.(13 分) 综上所述,q=-1 是数列{an}为等比数列的充要条件.(14 分)


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