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一道平面几何竞赛题的简证


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中 等 数 学

短  论  集  锦
一道平面几何竞赛题的简证
刘宜兵
( 湖北省宜都市第一中学 ,443300)

CE A F = . B E AB

故 A E ∥CF. 从而 , ∠EAD = ∠MCD . 又 ∠CBD = ∠EAD ] ∠CBM = ∠DCM ] △DMC ∽ △CMB ] MB ? MD = MC2 .
参考文献 :
[1 ]   2003 美国数学奥林匹克 [J ]. 中等数学 , 2004 ( 3) .

   题目   一个圆通过 △ABC 的顶点 A 、 B, 分别交线段 AC 、 BC 于点 D 、 E , 直线 BA 和 ED 交于点 F , 直线 BD 和 CF 交于点 M . 证 明 : M F = MC 的充要条件为 MB ? MD = MC2 [ 1 ] . ( 2003 , 美国数学奥林匹克) 本文给出一种较简捷的证法 . 证明 : 如图 1 , 联结 A E. 在 △CB F 中 , 因 为 AC 、 BM 、 EF 交于点 D , 由塞 瓦定理可得
CE AB M F ? ? B E A F MC
图1

一道美国竞赛题的推广
杨  波
( 陕西省城固师范学校 , 723200)

   题目  a 、 b、 c 是正实数 . 证明 :
( a5 - a2 + 3) ( b5 - b2 + 3) ( c5 - c2 + 3)

≥( a + b + c) 3 . ( 2004 , 美国数学奥林匹克) 研究该题 , 笔者发现可以将其堆广 . 命题   若 ai ∈R + , i = 1 , 2 , …, n , 则
n n

= 1.



i =1



n( a2 i

1

- 1 - an + n) ≥ i

i =1

∑a

n i

, n ∈

充分性 . 由 MB ? MD = MC2 ] MC = MB
MD MC

N+ .

证明 : 因为 ai ∈R + , i = 1 , 2 , …, n , 所 以,
- 1 ( a in - 1) ( a n - 1) ≥ 0 ( n ∈N + ) i - 1 Ζ a2i n - 1 - ain - a n +1≥ 0 i 2 n 1 n 1 n Ζ ai - a i + n ≥ai + ( n - 1) .

] △DMC ∽ △CMB ] ∠CBM = ∠DCM . 又 ∠CBD = ∠EAD , 于是 , 由 ∠EAD = ∠MCD ] A E ∥CF
AB 代入式 ①, 即得 M F = MC.

记 A in = ain + ( n - 1) , 则由上式知
n n i =1

] CE = A F .
BE



n- 1 - 1 ( a2 - an + n) ≥ i i
n n

i =1

∏( A ) .
n i n i



必要性 . 若 M F = MC , 代入式 ①, 可得
   收稿日期 :2004 - 10 - 27

下面证明 因为 1 =

i =1


n n

( A in ) ≥

i =1

∑a
n

.

a1

A1

+

n - 1 a1 1 1 n = n + n + …+ n , A1 A1 A1 A1


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