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二轮复习之不等式的综合应用(基础篇)


二轮复习之不等式的综合应用(基础篇)
适用学科 适用区域
高中数学 人教版 1.不等式的性质; 2.一元二次不等式的解法;

适用年级 课时时长(分钟)

高三 60

知识点

3.含参数一元二次不等式的解法; 4.二元一次不等式组与平面区域; 5.基本不等式的变形形式及其应用; 6.用基本不等式求最值的变性技巧;

教学目标

1. 掌握不等式的基本性质。 2. 会求常见不等式的解集。

3. 能用基本不等值求最值。 4. 会用线性规划解决问题。 1. 基本不等式的使用条件及变性技巧。

教学重点

2. 不等式的性质。 3. 常见不等式的解法。 4. 线性规划的步骤。

教学难点

1. 变形技巧。 2. 不等式的解法

教学过程
一、高考解读
不等式是继函数与方程之后的又一重点内容之一,作为解决问题的工具,与其他知识综合运用的特点比较突出 等式的应用大致可分为两类
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一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题;另一类是建立函数关系,

利用均值不等式求最值问题、本难点提供相关的思想方法,使考生能够运用不等式的性质、定理和方法解决函数、方程、 实际应用等方面的问题
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二、复习预习
1.什么是不等式? 2.不等式的基本性质有哪些? 3.常见不等式的类型及解法. 4.基本不等式的特征. 5.线性规划的基本思想是什么?

三、知识讲解
考点1
不等式的基本性质: (1)对称性: a ? b ? b ? a ; (2)传递性: a ? b, b ? c ? a ? c ; (3)加法法则: a ? b ? a ? c ? b ? c ; (4)乘法法则: a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ; a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ; (5)同向不等式可加性: a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d ; (6)同向同正可乘性: a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ? 0 ; (7)乘方法则: a ? b ? an ? bn (n ? N , n ? 2) .

考点2
简单分式、指数、对数不等式的解法: (1)简单分式不等式的解法 ①变形
f ( x) f ( x) ? 0(? 0) ? f ( x) g ( x) ? 0(? 0) ;②变形 ? 0(? 0) ? f ( x) g ( x) ? 0(? 0), 且 g ( x) ? 0 g ( x) g ( x)

(2)简单指数不等式的解法 ①当 a ? 1 时, a f ( x ) ? a g ( x ) ? f ( x) ? g ( x) ;②当 0 ? a ? 1 时, a f ( x ) ? a g ( x ) ? f ( x) ? g ( x) . (3)简单对数不等式的解法 ①当 a ? 1 时, loga f ( x) ? loga g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 0 ; ②当 0 ? a ? 1 时, loga f ( x) ? loga g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) .

考点3
几个重要不等式: (1)| | a |? 0, a2 ? 0(a ? R) .(2) a2 ? b2 ? 2ab,(a, b ? R) . (3) (5)
a?b a?b 2 ? ab (a ? 0, b ? 0) .(4) ab ? ( ) ( a, b ? R ) . 2 2

a 2 ? b2 a ? b 2 ? ? ab ? (a ? 0, b ? 0) . 1 1 2 2 ? a b

考点 4 一元二次不等式及其解集
解一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a≠0)或 ax2+bx+c<0(a≠0),可利用一元二次方程、一元二次不等式和二次函数间 的关系.一元二次不等式的解集如下表所示: (a ? 0)

考点5
二元一次不等式表示平面区域: 在平面直角坐标系中,平面内所有的点被直线 Ax+By+C=0(A,B 不同时为零)分成三类: (1)在直线 Ax+By+C=0 上的点; (2)在直线 Ax+By+C=0 一侧区域内的点; (3)在直线 Ax+By+C=0 另一侧区域内的点. 如果在直线 Ax+By+C=0 一侧区域内的点的坐标满足 Ax+By+C>0,那么在直线 Ax+By+C=0 另一侧区域内的点 的坐标一定满足 Ax+By+C<0.

四、例题精析
例题 1 用一块钢锭烧铸一个厚度均匀,且表面积为 2 平方米的正四棱锥形有盖容器(如右图)设容器高为 h 米,盖子边长 为 a 米, (1)求 a 关于 h 的解析式; (2)设容器的容积为 V 立方米,则当 h 为何值时,V 最大?求出 V 的最大值(求解本题时,不 计容器厚度)

【规范解答】解 ①设 h′是正四棱锥的斜高,由题设可得
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1 ? 2 a ? 4 ? h ?a ? 2 ? ? 2 ? 1 ?a 2 ? a 2 ? h12 ? 4 ?

消去 h ?.解得 : a ?

1 h2 ?1

( a ? 0)

②由 V ? a 2 h ? 得 V?
1

1 3

h 3( h ? 1)
2

(h>0)

1 3(h ? ) h 1 1 所以 V≤ ,当且仅当 h= 即 h=1 时取等号 6 h 1 故当 h=1 米时,V 有最大值,V 的最大值为 立方米 6

而h ?

1 1 ? 2 h? ? 2 h h

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【总结与思考】本题主要考查建立函数关系式,棱锥表面积和体积的计算及用均值定论求函数的最值 本题求得体积V的
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关系式后,应用

? 1 ? 例题 2 已知集合 P= ? x ? x ? 2?,函数y ? log2 ?ax ? 2 x ? 2? 的定义域为 Q. ? 2 ?

(1)若 P∩Q≠?,求实数 a 的取值范围;
?1 ? (2)若方程 log2 ?ax ? 2 x ? 2? ? 2在? , 求实数 a的取值 的取值范围. 2 内有解, ?2 ? ?

?1 ? 【规范解答】 (1)由已知 Q ? ?x ax ? 2x ? 2 ? 0?,若 P∩Q≠? 则说明在 ? , 2 ? 内至少有一个 x 值,使不等式 ax2 ? 2 x ? 2 ? 0 , ?2 ?
1 ? 2 2 2 2 即,在 ? 2?内至少有一个 x值,使a ? ? 2 成立,令u ? ? 2 ,则只需a ? u min . ? , ?2 ? x x x x

1 1? ?1 1? ?1 ? 1 ?1 ? ? 又u ? ?2? ? ? ? ,当x ? ? , 2?时, ? ? , 2?,从而u ? ?? 4, ?, 2 x ?2 ? 2? ? x 2? ?2 ? ? ? a的取值范围是 a ? ?4.
?1 ? ?1 ? 2? 内有解 ? ax2 ? 2 x ? 2 ? 4 即 ax2 ? 2 x ? 2 ? 0 在 ? , 2? 内有解,分离 a 与 x ,得 ( 2 )∵方程 log2 ?ax ? 2 x ? 2? ? 2 在 ? , ?2 ? ?2 ?
2 2 3 ?1 ? 2 2 3 ?1 1? 1 ?1 1? 1 , 2 a ? ? 2 ? 2? ? ? ? ,在 ? 上有 x 的值,使上式恒成立,? ? 2? ? ? ? ? 12 ,? ? a ? 12 ,即 a 的取值范 ? 2 ?2 ? x x 2 2 ? x 2? 2 ? x 2?

2

围是 ? 2 ,12 ? . 【总结与思考】含字母不等式的解法及某一范围求不等式解集问题

?3 ?

? ?

? x ? 4 y ? ?3 ? 例题 3 设 x, y 满足约束条件: ?3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 ?

分别求(1) z ? 6 x ? 10 y ; (2) ? ? x 2 ? y 2 ; (3) ? ?

y 的最大值与最小值. x ?1

【规范解答】 (1)先作可行域,如下图所示中 ?ABC 的区域,且求得 A(5,2) 、 B(1,1) 、 C (1,

22 ) 5

作出直线 l0 : 6 x ? 10y ? 0 ,再将直线 l0 平移,当 l0 的平行线 l1 过点 B 时,可使 z ? 6 x ? 10 y 达到最小值;当 l0 的平行线 l 2 过 点 A 时,可使 z ? 6 x ? 10 y 达到最大值. 故: zmin ? 6 ?1 ? 10?1 ? 16 ,

zmax ? 6 ? 5 ? 10? 2 ? 50
(2)? 表示区域内的点 ( x, y ) 到原点的距离.则 ( x, y ) 落在点 B(1,1) 时,? 最小,
( x, y ) 落在点 A(5,2) 时, ? 最大,故 ?min ? 2 , ?max ? 25 ? 4 ? 29

(3 ) ? 表示区域内的点 ( x, y ) 与点 D(?1,0) 连线的斜率.则 ( x, y ) 落在点 A(5,2) 时, ? 最小,( x, y ) 落在点 C (1,

22 ) 时, 5

? 最大,故 ? min ? , ?max ?

1 3

11 5

【总结与思考】线性规划问题求最大最小值

例题 4 某种商品原来定价每件 p 元,每月将卖出 n 件,假若定价上涨 x 成(这里 x 成即 量将减少 y 成,而售货金额变成原来的 z 倍
1 3
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x ,0<x≤10 ) 每月卖出数 10
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(1)设 y=ax,其中 a 是满足 ≤a<1 的常数,用 a 来表示当售货金额最大时的 x 的值; (2)若 y= x,求使售货金额比原来有所增加的 x 的取值范围
2 3
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【规范解答】(1)由题意知某商品定价上涨x成时,上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是 p(1+
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x )元、n(1 10

y )元、npz元, 10 x y 1 因而 npz ? p(1 ? ) ? n(1 ? ),? z ? (10 ? x)(10 ? y) , 10 10 100 25(1 ? a ) 2 1 5(1 ? a) 2 在 y=ax 的条件下,z= [-a[x- ] +100+ ] a 100 a 1 5(1 ? a) 由于 ≤a<1,则 0< ≤10 3 a 5(1 ? a) 要使售货金额最大,即使 z 值最大,此时 x= a 2 1 (2)由 z= (10+x)(10- x)>1,解得 0<x<5 3 100



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【总结与思考】二次函数及不等式的综合应用问题

例题 5 已知 a,b,c 是实数,函数 f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1 时|f(x)|≤1 (1)证明 |c|≤1;
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(2)证明 当-1 ≤x≤1 时,|g(x)|≤2;
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(3)设 a>0,有-1≤x≤1 时, g(x)的最大值为 2,求 f(x)

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【规范解答】(1)证明 由条件当=1≤x≤1 时,|f(x)|≤1,
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取 x=0 得 |c|=|f(0)|≤1,即|c|≤1
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(2)证法一 依题设|f(0)|≤1 而 f(0)=c,
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所以|c|≤1 当 a>0 时,g(x)=ax+b 在[-1,1]上是增函数,
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于是 g(-1)≤g(x)≤g(1),(-1≤x≤1) ∵|f(x)|≤1,(-1≤x≤1),|c|≤1, ∴g(1)=a+b=f(1)-c≤|f(1)|+|c|=2,

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g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(|f(-2)|+|c|)≥-2,
因此得|g(x)|≤2 (-1≤x≤1);

当 a<0 时,g(x)=ax+b 在[-1,1]上是减函数, 于是 g(-1)≥g(x)≥g(1),(-1≤x≤1),

∵|f(x)|≤1

(-1≤x≤1),|c|≤1
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∴|g(x)|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤2

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综合以上结果,当-1≤x≤1 时,都有|g(x)|≤2 证法二 ∵|f(x)|≤1(-1≤x≤1)
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∴|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1,|f(0)|≤1, ∵f(x)=ax2+bx+c,∴|a-b+c|≤1,|a+b+c|≤1,|c|≤1, 因此,根据绝对值不等式性质得
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|a-b|=|(a-b+c)-c|≤|a-b+c|+|c|≤2, |a+b|=|(a+b+c)-c|≤|a+b+c|+|c|≤2, ∵g(x)=ax+b,∴|g(±1)|=|±a+b|=|a±b|≤2, 函数 g(x)=ax+b 的图象是一条直线,

因此|g(x)|在[-1,1]上的最大值只能在区间的端点 x=-1 或 x=1 处取得,于是由|g(±1)|≤2 得|g(x)|≤2,(-1<x< 1)
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( x ? 1) 2 ? ( x ? 1) 2 x ?1 2 x ?1 2 ?( ) ?( ) , 4 2 2 x ?1 2 x ?1 2 x ?1 x ?1 ? g ( x ) ? ax ? b ? a[( ) ?( ) ] ? b( ? ) 2 2 2 2 x ?1 2 x ?1 x ?1 2 x ?1 ? [a ( ) ? b( ) ? c ] ? [a ( ) ? b( ) ? c] 2 2 2 2 x ?1 x ?1 ? f( )? f ( ) 2 2 证法三 :? x ?

x ?1 x ?1 ≤1,-1≤ ≤0, 2 2 x ?1 x ?1 ∵|f(x)|≤1,(-1≤x≤1),∴|f ( )|≤1; ) |≤1,|f( 2 2 x ?1 x ?1 因此当-1≤x≤1 时,|g(x)|≤|f ( )|≤2 ) |+|f( 2 2

当-1≤x≤1 时,有 0≤

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(3)解 因为 a>0,g(x)在[-1,1]上是增函数,当 x=1 时取得最大值 2,即 g(1)=a+b=f(1)-f(0)=2
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∵-1≤f(0)=f(1)-2≤1-2=-1,∴c=f(0)=-1 因为当-1≤x≤1 时,f(x)≥-1,即 f(x)≥f(0),

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根据二次函数的性质,直线 x=0 为 f(x)的图象的对称轴, 由此得-
b <0 ,即 b=0 2a
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由①得 a=2,所以 f(x)=2x2-1

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【总结与思考】二次函数的有关性质、函数的单调性是药引,而绝对值不等式的性质灵活运用是本题的灵魂 本题(2)
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问有三种证法,证法一利用 g(x)的单调性;证法二利用绝对值不等式 ||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|;而证法三则是整体处理
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g(x)与 f(x)的关系

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课程小结
1 应用不等式知识可以解决函数、方程等方面的问题,在解决这些问题时,关键是把非不等式问题转化为不等式问
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题,在化归与转化中,要注意等价性 2
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对于应用题要通过阅读,理解所给定的材料,寻找量与量之间的内在联系,抽象出事物系统的主要特征与关系,
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建立起能反映其本质属性的数学结构,从而建立起数学模型,然后利用不等式的知识求出题中的问题

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